最优化方法-线性规划

例1 将下述线性规划模型化 为标准型。
2 x1 x 2 3 x 3 x 4 3 3x 2x 2x 7 1 2 4 s .t . x1 4 x 2 3 x 3 x 4 6 x1 , x 3 , x 4 0 , x 2无约束
x3 4 令 x1 x 2 0 , 则 x4 5
基本可行解x 1 ( 0 , 0 , 4 , 5 )T 。 目标函数值z 1 0。
是否为最优解？利用目标函数分析。
z 0 4 x1 3 x2 目标函数中非基变量x1 和 x2 的系数为负数，因此若 1 和 x2 的 x
2. 化标准型 (1)目标函数：
原问题 目标函数 max cT x min cT x :
( 2) 约束条件：
(i ) 原问题条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ：
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x n i bi x n i 0
x i 0 , i 1,2,3
4. 数学模型
S 4 x1 5 x2 7 x3 2 x1 1.5 x 2 3 x 3 100 s .t . x1 2 x 2 2 x 3 150 x i 0, i 1,2,3 min
线性规划模型：
二. 标准型
1. 标准型
m in
c x
i 1 i
n
i
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s.t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x i 0 , i 1 , 2 , , n
解： 令x2 u2 v2 , 则
max 2 x1 3 x2 x3 3 x4
min 2 x1 3u2 3v2 x3 3 x4
2 x1 u 2 v 2 3 x 3 x 4 x 5 3 3 x1 2 u 2 2 v 2 2 x 4 7 s .t . x1 4 u 2 4 v 2 3 x 3 x 4 x 7 6 x1 , x 3 , x 4 , x 5 , x 7 , u 2 , v 2 0
s .t .
x1 2 x 2 x 3 4 x4 8 2 x1 2 x 2 2 x 3 x4 2 x1 , x 2 , x 3 , x4 0
求此问题的一个基本解和一个基本可行解。
1 2 1 4 解： 系数矩阵A 。 2 2 2 1 1 2 取B x ，则令非基变量 3 x4 0 , 得 2 2 10 x1 3 x1 2 x 2 8 7 2 x1 2 x 2 2 x2 3 10 7 1 x ( , , 0 , 0 )T 是基本解，但不是基本 可行解。 3 3 1 4 取B x ，则令非基变量 2 x3 0 , 得 2 1 16 x1 x1 4 x4 8 9 14 2 x1 x4 2 x4 9 16 14 T 2 x ( , 0 , 0 , ) 是基本可行解。 9 9
可行解
基本可行解
基本解
m 基本解数量 C n
是否在基本可行解中一定存在最优解？
退化： 非 零 分 量 个 数 小 于的 基 本 解 为 退 化 的 基 解 ； 称 m 本
否 则 称 非 退 化 的 基 本 。 如 果 LP)的 所 有 基 本 解 都 是 解 ( 非 退 化 的 ， 称LP)是 非 退 化 的 。 (
2. 线性规划解的性质
定 理1 设x ( x1 , x2 , , xn )T 是Ax b的 一 个 解 ， 则是 基 本 x 解 的 充 要 条 件 是的 非 零 分 量 i1 , xi2 , , xir 对 应 的 的 列 向 量 x x A pi1 , pi2 , , pir 线 性 无 关 。
令非基变量xm1 xn 0 , 解得
( x1 ,, xm )T B 1b
基本解： 取定线性规划问题的基 B，令非基变量取零，求得基 变量的取值B 1b, 称解 ( B 1b , 0)T 为对应于基 B的基本解。
基本可行解：满足非负 的基本解称为基本可行 条件 解。
例 给定(LP )问题 m in z x 2 x x 2 x 1 2 3 4
三. 图解法
例2 求解线性规划max
s .t . z 4 x1 3 x 2 x1 2 x 2 4 2 x1 x 2 5 x ,x 0 1 2
解：1) 画出可行解的范围 ( 。
(2) 利用等值线平移的方法 求极值点。 x2
以 z 为参数，则方程 4 x1 3 x 2 z 表示一族等值平行线。
A
B
x1 x1 2 x2 4
极大值点为 顶点B。
o
C
2 x1 x2 5
例 3 将例2中的目标函数改为 x1 2 x2 。 z x2 解：分析同例2。 等值线：1 2 x2 z。 x
A
B
x1 x1 2 x2 4
极大值点为线段 上的 AB 任一点。
o
C
2 x1 x2 5
产品
资源 原材料
工时
A 2 1
B
C
资源总量
1.5
2
3
2
100 150
解：1. 确定决策变量
设 A、B、C 的产量分别为 1、x2、x3 。 x
2. 确定目标函数
设总利润为S，则
S 4 x1 5 x2 7 x3 3. 确定约束条件 2 x1 1.5 x2 3 x3 100 x1 2 x 2 2 x 3 150
(1) 一组决策变量； (2) 一个线性目标函数； (3) 一组线性的约束条件。
线性规划模型 )的一般形式： (LP
min (max)
c x
i i 1
n
i
a11 x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 a x a x a x ( , )b 22 2 2n n 2 21 1 s.t . a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x i ( , )0 , i 1 , 2 ,, n
( 2) ( 3)
可行解： 满足（2）、（3）式的解x ( x1 , x 2 ,, x n )T 称为
可行域： { x | Ax b , x 0 }。 D
定理 线性规划问题的可行域 是凸集。 D
证明： 任取 x1 , x2 D , 0 1。
A( x1 Байду номын сангаас(1 ) x2 ) Ax1 (1 ) Ax2
max 例4 求解线性规划 s.t .
解：分析同例2。
z 4 x1 3 x 2 x1 x 2 2 x1 x 2 2 x ,x 0 1 2
x2
等值线：x1 3 x2 z。 4
A
x1 x2 2
C
x1
不存在最大值。
o
B
原问题无界。
x1 x2 2
记 c ( c1 , c2 , , cn )T , b ( b1 , b2 , , bm )T 0, x ( x1 , x 2 , , x n )T , A (a ij ) mn 。 则 线 性 规 划 标准型可记为
min cT x
Ax b s .t . x0
已知 r ( Amn ) m ， 不妨设 A的前m 列向量线性无关，则可取 B ( P1 , P2 , , Pm ) 为基，则 x1 , , x m 为基变量。
因为 即 所以
Ax b
P1 x1 Pm xm Pm1 xm Pn xn b P1 x1 Pm xm b Pm1 xm Pn xn
b (1 )b b
所以x1 (1 ) x2 D。即D是凸集。
顶点： S为凸集，x S。如果不存在 x 1 x 2 S ， 0 1。 设 及 使 x x 1 (1 ) x 2 ， 则称 x 为 S 的一个顶点。
x
x2 x1
结果：
在顶点取到唯一最优解 有最优解 有无穷多最优解 线性规划问题的解 解无界 无最优解 可行域为空集
四. 线性规划解的概念和性 质
1. 线性规划解的概念
(LP )
min z cT x (1)
Ax b s.t . x0
( LP )的可行解。
基 : 设 A为m n的系数矩阵 秩为m。 B 为A中m m 阶的非 , 若 退化子阵，则称 为A的(或( LP )问题)一个基。 B
设 基 B ( Pi1 , Pi2 , , Pim ) , 称 Pik ( k 1 , , m ) 为 基 向 量 ， 称 ik P 对 应 的 变 量 ik ( k 1 , , m ) 为 基 变 量 ， 不 是 基 变 的 变 量 称 为 x 量 非基变量。
1. 线性规划模型 2. 标准型 3. 图解法 4. 解的概念和性质 5. 单纯形算法
一. 线性规划模型
例1 生产计划问题
某工厂利用某种原材料 生产A、B、C三种产品，它们的单位 产品所需材料的数量和 耗费的加工时间各不相 同，如下表。 A、B、C单位产品的利润为、、千元。问：该厂应如何 457 安排 生产计划，才能使所获 利润最大？
xn i 称为松弛变量。
(ii) 原问题条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ：
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x n i bi xn i 称为剩余变量。 x n i 0 x i ui v i ( iii) 原问题： x i 无非负约束，则令 。 ui , v i 0
定理2 线性规划问题LP) 如果有可行解，则必有 ( 基本 可行解。 定 理3 线 性规 划问 题LP) 如 果有 最优 解 ， 则 必有 优 ( 最 的 基本 可行 解 。 定理4 线性规划问题LP) 的解 x 是基本可行解的 ( 充分必要条件是 是 可行域D 的顶点。 x
五. 单纯形算法
1. 算法思路： 从一个基本可行解开始，判断其是否为最优解。 是则算法结束。不是，则转换到另一个更好的基本可行解， 直到找到最优解，或者判断出不存在最优解。
1 2 1 0 。 系数矩阵A 解： 2 1 0 1
1 0 , 则基变量为x 3 和 x4 , 非基变量为x1和 x 2 。 令基 B 0 1
x 3 4 x1 2 x 2 x 4 5 2 x1 x 2
代入目标函数得
z 0 4 x1 3 x2
问题：
(1) 如何得到第一个基本可 行解？ (2) 最优解的判定法则？ (3) 如何从一个基本可行解 变换到另一个基本可行 解？
2. 单纯形算法分析
例1 求解线性规划问题 LP) (
m in Z 4 x1 3 x 2 s .t . x1 2 x 2 x 3 4 2 x1 x 2 x4 5 x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4