隐函数存在定理在几何方面的应用.

§11.4. 隐函数存在定理在几何方面的应用
一、空间曲线的切线与法平面
1. 设空间曲线C的参数方程是
x=x(t),y=y(t),z=z(t),t∈I（区间）.
它们在区间I可导，且∀t∈I,有x'2(t)+y'2(t)+z'2(t)≠（即0x'(t),y'(t),z'(t)不同时为0）.取定t0∈I，对应曲线C上一点P0(x0,y0,z0)=P0[x(t0),y(t0),z(t0)].任取改变量∆t≠0，使t0+∆t∈I，对应曲线C上另一点P1(x0+∆x,y0+∆y,z0+∆z)
=P1[x(t0+∆t),y(t0+∆t),z(t0+∆t)].
由空间解析几何知，过曲线C上两点P0与P1割线方程是
或 x-x0y-y0z-z0==, ∆x∆y∆zx-x0y-y0z-z0==. ∆x∆y∆z
∆t∆t∆t
当点P1沿曲线C无限趋近于点P即∆t→0，割线P0P1的极限位置就是曲0时，线C上点P0的切线.于是，曲线C上点P0的切线方程是 x-x(t0)y-y(t0)z-z(t0)==. x'(t0)y'(t0)z'(t0)
切线的方向向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]称为曲线C在点P0的切向量. 一个平面通过空间曲线C上一点P且与过点P称此0的切线垂直，0(x0y0,z0)，平面是空间曲线C在点P0的法平面.如图11.4.于是切线的切向量就是法平面的
法向量.若在法平面上任取一点P(x,y,z)，则向量P0P=(x-x0,y-y0,z-z0)与切
线的切向量T[x'(t0),y'(t0),z'(t0)]垂直，即
(x'(t0),y'(t0),z'(t0))⋅(x-x0,y-y0,z-z0)=0. 由向量的内积（向量的数量积）公式，法平面的方程是 1
x'(t0)(x-x0)+y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0 或 x'(t0)[x-x(t0)]+y'(t0)[y-y(t0)]+z'(t0)[z-
z(t0)]=0.
在t0=例1. 求螺旋线x=acost,y=asint,z=bt
π
3
处的切线方程与法线方
程.
解： x'=-asint,
y'=acost,z'=b. 切线方程是
x-acos
π
=
y-asinacos
π
=
z-bb
π
.
-asin
x-
3
3
πayz-b
. ==即
b2 法线方程是
⎛a⎫a⎛⎫⎛π⎫
x-⎪+ y-+bz-b⎪=0. ⎪⎪⎝2⎭2⎝⎭⎝3⎭
2. 设三维欧氏空间R3的曲线C是由函数方程组F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0上所确定，即曲线C是这两个曲面的交线.在空间曲线C上任取一个定点
P(x0,y0,z0)，即F1(x0,y0,z0)=0与F2(x0,y0,z0)=0.设F1(x,y,z)与F2(x,y,z)对
x,y,z的偏导数在点P的邻域内都连续，且
∂(F1,F2)∂(F1,F2)∂(F1,F2)
不同,,
∂(x,y)P∂(y,z)P∂(z,x)P
时为零，不防设
∂(F1,F2)
≠0.根据§11.1定理4，在点x0某邻域，空间曲线C
∂(y,z)P
可表为 y=y(x) 与 z=z(x). 于是，空间曲线C可表为以x为参数的参数方程 x=x, y=y(x),z=z(x).
dydzdydz,)，下面求,. dxdxdxdx
从而，空间曲线C在点P的切线向量是T(1,
由隐函数的求导公式，有
⎧∂F1∂F1dy∂F1dz⎪∂x+∂ydx+∂zdx=0,⎪⎨
⎪∂F2+∂F2dy+∂F2dz=0.⎪∂ydx∂zdx⎩∂x
∂(F1,F2)∂(F1,F2)
dydz∂(z,x)∂(x,y)=解得， =. dxdx1212
∂(y,z)∂(y,z)
由切线方程的公式，三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的切线方程是 x-
x0y-y0z-z0 ==1∂(F1,F2)∂(F1,F2)
∂(z,x)P∂(x,y)P
∂(F1,F2)
∂(y,z)P∂(F1,F2)∂(y,z)P
或 x-x0y-y0z-z0. （1）==∂(F1,F2)∂(F1,F2)∂(F1,F2)
∂(y,z)P∂(z,x)P∂(x,y)P
三维欧氏空间R3曲线C在点P(x0,y0,z0)的法平面方程是∂(F1,F2)∂(F1,F2)∂(F1,F2) (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0. （2）∂(y,z)P∂(z,x)P∂(x,y)P
例2. 求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点P(1,-2,1)的切线方程与法平面
方程.
解： F1=x2+y2+z2-6,
∂F1=2x,∂x
∂F2=1,∂xF2=x+y+z. ∂F1=2z, ∂z∂F2=1. ∂z∂F1=2y,∂y∂F2=1,∂y
∂(F1,F2)∂(F1,F2)∂(F1,F2)=-6 =0 =6 ∂(y,z)p∂(z,x)p∂(x,y)p
由公式（1）与（2），曲线在点P(1,-2,1)的切线方程与法平面方程分别是
x-1y+2z-1==. -606
与 -6(x-1)+6(z-1)=0 或 x-z=0.
二、曲面的切平面与法线
1. 设三维欧氏空间R3曲面S的方程是
z=f(x,y), (x,∈y)（区域）D
由§10.3定理3知，若二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)∈D可微，则曲面S上点
M(x0,y0,z0)(z=f(x0,y0))的切平面方程是
fx'(x0,y0)(x-x0)+fy'(x0,y0)(y-y0)-(z-z0)=0,
即切平面的法向量是n(fx'(x0,y0),fy'(x0,y0),-1).于是，法线方程是 x-x0y-y0z-z0==. fx'(x0,y0)fy'x(0y,0)-1
2. 设曲面S的方程是
F(x,y,z)=0.
在曲面S上任取一点M(x0,y0,z0)，即F(x0,y0,z0)=0.若三元函数F(x,y,z)所有的偏导数在点M的邻域连续，且∂F∂F∂F∂F,,在点M不同时为零.设∂x∂y∂z∂z≠0.根
M
据§11.1定理2，在点(x0,y0)的某邻域，曲面S可表为
z=f(x,y),0z=f(0x,0 y).
求曲面S上点M(x0,y0,z0)的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量
n(fx'(x0,y0),fy'(x0,y0),-1).由隐函数求导数公式，有
∂F∂F∂z+=0,∂x∂z∂x∂F∂F∂z=0. ∂y∂z∂y
∂F
∂z解得 =fx'(x,y)=-∂x
∂z∂F∂z∂y ,=fy'x(y,=-)∂y∂z.
由切平面方程公式，曲面S上点M(x0,y0,z0)的切平面方程是 4
∂F
-∂F∂z
M
∂F∂y
(x-x)-0
∂F∂z
(y-
M
y-)(-z
z=) 0,
或
∂F
∂x
(x-x0)+
M
∂F∂y
y(-y0+)
M
∂F
∂z
z(-z0=)
M
0. （3）
曲面S上点M(x0,y0,z0)的法线方程是
x-x0y-y0z-z0
（4） ==
∂F∂F∂F∂xM∂zM∂yM
23
23
例3. 求曲面x+y+z=a上在点P(x0,y0,z0)的切平面方程与法线方程. 解： F(x,y,z=) 2
3
2323
x+
23
y+
23
z- a.
2
3
11--2-122
Fx'=x3, Fy'=y3, Fz'=z3.
333
于是，曲面在点P(x0,y0,z0)的切平面方程与法线方程分别是 x0(x-x-0y)+z(-
z0)+y0(y与
x-x0x0
1
3-13
-
13
13
130
0z)=
=
y-0y
=1y03
130
z-0z 1z03
130
或 x0(x-x-0y)=z(-z 0z).0)=y(y
3. 设曲面S是参数方程
x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D（区域）.
取定一点Q(u0,v0)∈D，对应曲面S上一点M(x0,y0,z0)，即 x0=x(u=0,v0),y0
y(uv),=z0,00 ,v).z(0u
若上述函数组的所有偏导数在点Q(u0,v0)的邻域都连续，且
∂(x,y)∂(y,z)
,,
∂(u,v)Q∂(u,v)Q
∂(z,x)∂(x,y)
≠0.根据§11.1定理3的推论，函数组不同时为0.不妨设
∂(u,v)Q∂(u,v)Q
x=x(u,v),y=y(u,v)在点(x0,y0)邻域存在有连续偏导数的反函数组u=u(x,y)，
v=v(x,y).将它们代入z=z(u,v)之中，有 [u(x,y),v(x, y) z=z
求曲面S上点M(x0,y0,z0)的切平面方程.首先求曲面S在点M的法向量
'n(z'x(x0,y0),zy(x0,y0),-1). 由隐函数的求导法则（注意，z是x，y的函数，而x，y又是u，v的函数），有
⎧∂z∂z∂x∂z
+⎪∂u=∂x∂u∂y∂⎪
⎨
∂∂z⎪∂z=∂z∂x+
⎪∂⎩∂v∂x∂v∂y
∂(y,z)∂z∂(u,v)=,解得
∂(x,y)∂x
∂(u,v)
-
-
∂y,v y.v
∂z(x,)∂z∂u(v,)=. ∂(x,y)∂y
∂(u,v)
由切平面方程公式，曲面S在点M(x0,y0,z0)的切平面方程是
-∂(y,z∂(u,vQ
-
(y-y0)+
∂z(x,)
∂u(v,Q)
z-z0=
∂(x,y∂(u,vQ∂x(y,)∂u(v,Q)
y(-y0 )
或
∂(y,z∂(z,)∂x(y,)
0 （5） (x-x)(y-y)(z-0z)=00
∂(u,vQ∂(u,Q)∂u(v,Q)
曲面S在点M(x0,y0,z0)的法线方程是
x-xy-0y0
==
∂(y,z∂(z,)∂∂(u,vQ∂(u,Q)∂z-0z
. （6） x(y,)u(v,Q)
例4. 求曲面x=u+v,y=u2+v2,z=u3+v3在点Q(0,2)对应曲面上的点的切平面方程与法线方程.
解：点Q(0,2)对应曲面上的点P(2,4,8).
∂x
=1,∂u
∂x=1,∂v
∂y
=2u,∂u
∂y
=2v,∂v
∂z
=3u2,∂u
∂z
=3v2. ∂v
∂(y,z)∂(z,x)∂(x,y)=0， =-12，=4. ∂(u,v)Q∂(u,v)Q∂(u,v)Q由公式（5）与（6），曲面在点P(2,4,8)的切平面方程与法线方程分别是
(-4+)z4-(=8) -12y 或 3y-z=4
与
x-2y-4z-8x-2y-4z-8==== 或 . 0-1240-31。