离散数学(一阶逻辑等值演算与推理)64页PPT
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5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果AB 是永真式, 则称A与B等值, 记作AB, 并称 AB是等值式.
由定义显然可以看出：公式A，B等值的充 要条件是：对A，B的任意解释I，A，B在I 下的真值相同。
因为对任意公式A，B，在解释I下，A，B就 是两个命题，所以命题逻辑中给出的基本等 价式，在谓词逻辑中仍然成立。
4
① xA(x) xA(x)的证明
对于任意给定的解释I，若I使xA( x)为真， 则I使xA(x)为假。则必有某一个x0D， A(x0) 是假命题，于是A(x0) 是真命题，即 xA(x)在I下是真命题，故I使xA(x)为真。
若I使xA(x)为假，则I使xA(x)为真。即 对任意的xD，有A(x)是真命题。也就是对 任意的xD，A(x)是假命题，于是xA(x) 是假命题，故I使xA(x)为假。
若x(A(x)B)在I下取0值，则必有一个x0D， 使A(x0) B在I下取0值。故A(x0)为假命题， 并且B为假命题。所以xA(x)取0值。从而 xA(x)B在I下取0值。
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基本等值式
关于存在量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B ④ x(BA(x)) BxA(x)
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基本等值式
第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换 实例
例如，xF(x)xF(x),
xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等
判断下列公式的类型：
（1）xP(x) →(xyQ(x,y) → xP(x)) 永真式
（2）xP(x) →(xP(x) ∨ yG(y))
永真式
（3） (P(x,y) →Q(x,y)) ∧ Q(x,y)
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实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明 两者等值:
(1) 没有不犯错误的人
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.
x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换 置换
矛盾式
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基本等值式
第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
例 设个体域 A={a,b}, 公式
(x)P(x) (x)S(x)在A上消去量词后应为: P(a)P(b)(S(a)S(b))
设I是A(x)和B(x)的一个解释。若 xA(x)xB(x)在I下取1值，则在解释I下， 对任意xD，A(x)、B(x)都是真命题，所以 A(x)B(x)是真命题，即对任意xD， A(x)B(x)是真命题，所以x(A(x)B(x))在I 下取1值。
若xA(x)xB(x)在I下取0值，则xA(x)为 假，或xB(x)为假，若xA(x)为假，必有一 个取Bx0(0值x0)。D为，若假使命xAB题(x(x0，))为在所假I以下，取x同(0A理值(x可，)证所B(。以x)A)在(xI0下)
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① x(A(x)B) xA(x)B的证明
设I是A(x)和B的一个解释。若x(A(x)B)在 I下取1值，则在I下，对任意xD，A(x)B 都是真命题。若B是真命题，则xA(x)B是 真命题；若B是假命题，则必然是对每个 xD，A(x)都是真命题，故xA(x)取1值。 所以xA(x)B在I下取1值。
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① x(A(x)B) xA(x)B的证明
设I是A(x)和B的一个解释。若x(A(x)B)在I
下取1值，则在I下，存在x0 D，A(x0)B是
真命题。若B是真命题，则xA(x)B是真命
题；若B是假命题，则必然有A(x0) 是真命题，
故xA(x)取1值。所以xA(x)B在I下取1值。 若x(A(x)B)在I下取0值，则在I下对任意的
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置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则：设(A)是含A的公式, 那么, 若 AB, 则(A)(B).
2. 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖wk.baidu.com域中个体变项的所有约束出现及相应的指导 变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变 项符号，其余部分不变，设所得公式为A， 则AA.
3. 代替规则：设A为一公式，将A中某个个体 变项的所有自由出现用A中未曾出现过的个 体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
xA(x)
(A (a 1) A (a n)) A (a 1 ) A (a n)
xA(x)
xA(x)
(A (a 1 ) A (a n)) A (a 1 ) A (a n )
xA(x)
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基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式. A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的 自由出现 关于全称量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B ④ x(BA(x)) BxA(x)
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基本等值式
(2) 量词否定等值式 ① xA(x) xA(x) ② xA(x) xA(x)
例 设论域为人，P(x): x来上课，P(x): x没来上课
xP(x):所有人都来上课 xP(x):不是所有人都来上课 xP(x): 有人没来上课 xP(x):有人来上课 xP(x):没有人来上课 xP(x): 所有人都没来上课
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实例
(2) 不是所有的人都爱吃面包 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱吃面包.
x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换 置换
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量词否定等值式（续）
设个体域中的客体变元为a1,a2,…,an，则
xD，使A(x)B在I下取0值。故A(x)和B都
为假命题，所以xA(x)B在I下取0值。
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基本等值式
(4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 注意：对，对无分配律
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① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果AB 是永真式, 则称A与B等值, 记作AB, 并称 AB是等值式.
由定义显然可以看出：公式A，B等值的充 要条件是：对A，B的任意解释I，A，B在I 下的真值相同。
因为对任意公式A，B，在解释I下，A，B就 是两个命题，所以命题逻辑中给出的基本等 价式，在谓词逻辑中仍然成立。
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① xA(x) xA(x)的证明
对于任意给定的解释I，若I使xA( x)为真， 则I使xA(x)为假。则必有某一个x0D， A(x0) 是假命题，于是A(x0) 是真命题，即 xA(x)在I下是真命题，故I使xA(x)为真。
若I使xA(x)为假，则I使xA(x)为真。即 对任意的xD，有A(x)是真命题。也就是对 任意的xD，A(x)是假命题，于是xA(x) 是假命题，故I使xA(x)为假。
若x(A(x)B)在I下取0值，则必有一个x0D， 使A(x0) B在I下取0值。故A(x0)为假命题， 并且B为假命题。所以xA(x)取0值。从而 xA(x)B在I下取0值。
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基本等值式
关于存在量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B ④ x(BA(x)) BxA(x)
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基本等值式
第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换 实例
例如，xF(x)xF(x),
xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等
判断下列公式的类型：
（1）xP(x) →(xyQ(x,y) → xP(x)) 永真式
（2）xP(x) →(xP(x) ∨ yG(y))
永真式
（3） (P(x,y) →Q(x,y)) ∧ Q(x,y)
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实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明 两者等值:
(1) 没有不犯错误的人
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.
x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换 置换
矛盾式
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基本等值式
第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
例 设个体域 A={a,b}, 公式
(x)P(x) (x)S(x)在A上消去量词后应为: P(a)P(b)(S(a)S(b))
设I是A(x)和B(x)的一个解释。若 xA(x)xB(x)在I下取1值，则在解释I下， 对任意xD，A(x)、B(x)都是真命题，所以 A(x)B(x)是真命题，即对任意xD， A(x)B(x)是真命题，所以x(A(x)B(x))在I 下取1值。
若xA(x)xB(x)在I下取0值，则xA(x)为 假，或xB(x)为假，若xA(x)为假，必有一 个取Bx0(0值x0)。D为，若假使命xAB题(x(x0，))为在所假I以下，取x同(0A理值(x可，)证所B(。以x)A)在(xI0下)
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① x(A(x)B) xA(x)B的证明
设I是A(x)和B的一个解释。若x(A(x)B)在 I下取1值，则在I下，对任意xD，A(x)B 都是真命题。若B是真命题，则xA(x)B是 真命题；若B是假命题，则必然是对每个 xD，A(x)都是真命题，故xA(x)取1值。 所以xA(x)B在I下取1值。
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① x(A(x)B) xA(x)B的证明
设I是A(x)和B的一个解释。若x(A(x)B)在I
下取1值，则在I下，存在x0 D，A(x0)B是
真命题。若B是真命题，则xA(x)B是真命
题；若B是假命题，则必然有A(x0) 是真命题，
故xA(x)取1值。所以xA(x)B在I下取1值。 若x(A(x)B)在I下取0值，则在I下对任意的
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置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则：设(A)是含A的公式, 那么, 若 AB, 则(A)(B).
2. 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖wk.baidu.com域中个体变项的所有约束出现及相应的指导 变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变 项符号，其余部分不变，设所得公式为A， 则AA.
3. 代替规则：设A为一公式，将A中某个个体 变项的所有自由出现用A中未曾出现过的个 体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
xA(x)
(A (a 1) A (a n)) A (a 1 ) A (a n)
xA(x)
xA(x)
(A (a 1 ) A (a n)) A (a 1 ) A (a n )
xA(x)
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基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式. A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的 自由出现 关于全称量词的： ① x(A(x)B) xA(x)B ② x(A(x)B) xA(x)B ③ x(A(x)B) xA(x)B ④ x(BA(x)) BxA(x)
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基本等值式
(2) 量词否定等值式 ① xA(x) xA(x) ② xA(x) xA(x)
例 设论域为人，P(x): x来上课，P(x): x没来上课
xP(x):所有人都来上课 xP(x):不是所有人都来上课 xP(x): 有人没来上课 xP(x):有人来上课 xP(x):没有人来上课 xP(x): 所有人都没来上课
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实例
(2) 不是所有的人都爱吃面包 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱吃面包.
x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换 置换
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量词否定等值式（续）
设个体域中的客体变元为a1,a2,…,an，则
xD，使A(x)B在I下取0值。故A(x)和B都
为假命题，所以xA(x)B在I下取0值。
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基本等值式
(4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 注意：对，对无分配律
13
① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)