有理数教材分析

5．多种方式途径提高学生的数学学习积极性
• • • • • 手抄报 数学竞赛（24点、百题、速算等） 思维导图 手持技术（科学计算器、图形计算器等） 让课堂更有趣一些（数学游戏）
用三个３设计一个最大的数 用四个１设计一个最小的数和最大的数
6．合理利用资源
不建议多加太多的习题计算题
可以改编试题，为后续学习做准备
• 为了表示具有相反意义的量，引入了正数 和负数，但根据需要，有时需考虑某些量 的相反意义，以汽车行驶为例，如果要说 明汽车从某地出发，几小时后在什么方位 ，就要从路程和方向两个方面去考虑，因 此要用正数或负数表示；当计算汽车的耗 油量等问题时，则只需考虑汽车行驶的路 程，而不必考虑行驶的方向，这样就引出 了绝对值的概念．
• 抽象——三次抽象
• “数轴”中的数形结合思想 • 数轴是数形结合的产物。在数轴概念的建立过程中， 通过“数轴三要素”的学习渗透数形结合的思想 • “0是正数和负数的分界点，原点是数轴的基准点”； “东”与“西”、“左”与“右”等表示了相反方向 ，它们与数的“负”与“正”正好对应；数轴上，一 个点到原点的距离，与一个数的绝对值对应；等
加 法
1. 计算：
①定类型；②定符号；③定加减.
同号 零 异号
这是什么样的两个数相加？
（1） 9 6
定类型
定符号
9 6 15
定加减
计算中遵循的法则是什么？
注意学生的思考过程不 要觉得法则很简单，可 ( 2 ) 5 11 (11 5) 6 能对于学生有困难.
3．采用“归纳式”教学
• 本章教材的编写，从有理数的概念到运算法则和 运算律，始终坚持“归纳式”呈现内容。目的： 为了体现以数学知识发生发展过程为载体进行“ 思维的教学”这一数学课程的核心任务。 • 在课堂教学中，要体现好教材的编写意图，为学 生安排一个“具体事例——观察、试验——比较 、分类——分析、综合——抽象、概括”的过程 ，使学生有机会通过自己的类比、归纳而获得对 有理数及其运算的知识。
知识结构框图
数 形
本章知识特点
基本概念多
(正负数、有理数、数轴、相反数、 倒数、绝对值、科学记数法…)
计算问题的解决直接影 响后续的学习，整式分 式的计算，解方程等 运算法则：加与减、乘与除、乘方
法则多
有理数大小比较
运算律：交换律、结合律、分配律
课时多 (19课时约占30%)
根据学生情况适当增加课时，补充小学未解决 的问题，比如带分数的计算等.
第一章 有理数
提纲
• • • • • 1、本章学习目标 2、本章知识结构 3、具体课时分析 4、本章教学建议 5、开展数学活动
课标要求目标
（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的 大小； （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝 对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）； 有理数的概念
2．把握好教学要求
• 学生对负数及运算的认识不能一蹴而就。教学时 ，不要操之过急，要给他们接受这些知识的时间 。
• 绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程。 数轴上两点之间距离的表示 绝对值不等式 绝对值出现字母并讨论 • 有理数的加、减、乘、除、乘方运算中涉及的数 应简单一些，特别是混合运算。 课标明确提出“以三步以内为主”。
7．利用好“数学活动”、选学内容
问题的扩展与加深
开阔眼界 增长见识 • 必要性：1、学生数学活动经验积累的必要过程 • 2、学生能力和经验是否能够应对问题的检验 • 3、中考会考
二“ 十人 章教 的版 “” 课八 题年 学级 习下 ”册 第
“数学活动”的实施
▶首先要明确“数学活动”属于“综合与实践” 课程内容。“综合与实践”是以问题为载体、 以学生自主参与为主的学习活动。
• 例：数轴概念的教学
• 关键就是要用好教材的具体实例、学生熟悉的生 活事例，引导学生的观察、比较、分析和综合等 思维活动，并抽象出“基准点”“方向”和“与 基准点的距离”在刻画事物相对位置中的作用， 然后再结合负数概念引入过程中，用正、负数表 示“相反意义的量”的经验，概括出数轴“三要 素”。
பைடு நூலகம்
• 原点 0（原点是区分方向的“基准”，0是区分正负的基准） • 单位长度 1（单位长度是度量线段长度的单位，1是实数单位 ，“单位”实际上给出了一个度量的统一标准） • 方向符号（空间中，“由A到B ”和“由B到A”是两件不同的 事情，其差别由“方向”来标记。A，B 两点“位置差别”的 定量化定义，必需且只需用“方向”和“长度”。数轴上，方 向有“左”和“右”，可以理解为“相反方向”。负数的引入 是应描述现实中的“相反意义的量”之需，确定一个实数，需 要“符号”和“绝对值”两个要素，它们正好对应了定量化定 义A，B 两点“位置差别”的“方向”和“长度”。）
有理数的运算
学生的常见错误（易错点）： 概念要讲清，
1. 符号错误；
2. 运算顺序错误； 3. 分配律运用错误； 4. 减法变加法时, 只改变运算符号, 性质符号不改变错误(除法同)；
教师的常见问题：
1. 讲解不到位；
2. 对学生要求不到位； 3. 训练不到位； 4. 纠错不及时； 5. 没有耐心； 6.题目过繁、过难.
4．处理好纸笔运算和用计算器运算的关系
• 本章的核心内容是有理数运算，是训练学生运算 能力的重要载体，因此必须把运算技能的熟练作 为重要的教学目标。 • 关键是体现好“合理”二字。合理性主要体现在 两个方面：一是不能削弱有理数运算的基本要求 ，二是较复杂的计算、用有理数知识解决实际问 题和探索运算规律等提倡用计算器。
• 利用数轴数形结合的研究相关问题 关于原点对称的点——相反数
不同的点到原点的距离——绝对值
数轴上各点的左右顺序——有理数比较大小
利用数轴分析物体两次运动的结果——有理数 的加法
1.2.4绝对值
• “绝对值”是初一代数中的一个重要概念，在 进行代数式的化简和求值中应用很灵活． 绝对值的定义体现了数形结合和分类讨论 的重要思想，它将实数和数轴有机结合， 为我们解决问题带来了很大的便利．因此 ，我们必须深刻领会概念的内涵，从多个 角度理解概念，这样才能真正运用概念， 灵活解题．
• 负数的概念和算法首先出现在《九章算术》 “方程”章，因为对“方程”进行两行之间 的加减消元时，就必须引入负数和建立正负 数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这 点：今两算得失相反，要令正负以名之。正 算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有 赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之 势不得广通，故使赤黑相消夺之 ………
+
绝对 值
正数的绝对值是它本身；
如果 a >0,那么|a|=a.
代数意义
负数的绝对值是它的相反数； 如果 a <0,那么|a|=-a. 0的绝对值是0.
如果 a =0,那么|a|=0.
有理数的运算
五种运算法则 的共性 有理数的运算 加 法 交换律 结合律 减 法
分配律
先确定符号
再计算绝对值
乘 法 乘 方
除 法
同号
零
异号
与负数有关的运算，都借助绝对值， 把它们转化为正数之间的运算
核心素养： 运算能力
加 法
修订前教 材有理数 的加法的 引入
修订后教 材有理数 的加法的 引入
• • • •
思考：引入负数后，加法有哪几种情况？ 思考：物体先向右运动5m，再向右运动3m 思考：物体先向左运动5m，再向左运动3m 探究：物体先向左运动3m，再向右运动5m 物体先向右运动3m，再向左运动5m 注意：避免大量刷题，体会法则获得的过程 ，积累数学活动经验.最好每次归纳之后还有 验证的过程.
B
-10 O A 15
15 -10
A
O B
情境2
哈利法塔在75层和100层各 有一间避难所.如果发生火灾 时，一位游客恰好在85层.如 果仅从距离的角度考虑，他 会选择哪一层的避难所呢?
情境3
小明家正东3千米处有家超市A，正东2千米 处有家超市C ，正西2千米处有家超市B.如果仅 从距离的角度考虑，他会选择哪家超市?
定类型 定符号 定加减
乘 法
修订前教 材有理数 的乘法的 引入方式
教学方法
“归纳式”教学
修订后教 材有理数 的乘法的 引入方式
• 类比加法 • 思考：观察下面的乘法算式，你能发现什 么规律？ • 引导学生明确这里的观察指的是看算式两 边左边的两个乘数有什么共同点和不同点 ，右边的积有什么变化规律. • 因为没有交换律所以第二个思考是必须的 ，模仿第一个思考解决.
方法要得当， 指导要到位， 纠错要及时。
5.乘方意义出错（底数理解错误）.
对教学的几个建议
1．做好与前两个学段的衔接 • 前两个学段学过自然数、正分数（即正有理数和0 ）及其运算的知识，还学过用字母表示数的知识 ，这些都是学习本章的基础。 • 要做好与以往算术知识和方法的衔接，在原有基 础上自然引伸出新的问题和思路。
B
C
A
情境3
你能建立数轴加以解释吗?
B
-3 -2 -1
O
0 1
C
2
A
3
情境3
你能举出类似的 例子吗?
B
-3 -2 -1
O
0 1
C
2
A
3
§1.2.4绝对值
一. 定义： 一般地，数轴上表示数a的点与原点的 距离叫做数a的绝对值. 记作|a|.
|a|
0
a
a
0 几何意义
a
性质 符号
-3
数轴上表示数a的点与原点的 距离叫做数a的绝对值，
（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混 合运算（以三步以内为主）；
（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；
（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。
有理数的运算
本章的主要内容
有理数的有关概念及其运算
本章的教学重点:
有理数的概念、有理数的运算
本章的教学难点:
对有理数概念的理解 对有理数的运算法则的理解 运算法则的获得过程
O
情境1
2015年9月3日，在北京举行的纪念抗日战争胜利 70周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经 过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城 中轴线与长安街的交汇处的距离为20米?
O
-30 -20 -10 0 10 20
A
30
情境1
2015年9月3日，在北京举行的纪念抗日战争胜利 70周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经 过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城 中轴线与长安街的交汇处的距离为20米?
O
-30 -20 -10 0 10 20 30
情境1
2015年9月3日，在北京举行的纪念抗日战争胜利 70周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经 过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城 中轴线与长安街的交汇处的距离为20米?
O
-30 -20 -10 0 10 20 30
情境2
哈利法塔在75层和100层各 有一间避难所.如果发生火灾 时，一位游客恰好在85层.如 果仅从距离的角度考虑，他 会选择哪一层的避难所呢?
有 理 数 的 引 言
1.1正数和负数
让学生逐渐体会 “负数”引起的新变化
• 1.1正数和负数 • 本节的核心是负数引进的必要性 ： • 生活和生产需要 • 数学本身的需要 容易证明，分数系是一个稠密的数系，对于 加、乘、除三种运算是封闭的.为了使减法运 算在数系内也通行无阻，负数的出现就是必 然的了.
让学生逐渐认识 “负数” 1.“+”、“一”号的新涵义——三种意义
（1）表示运算符号; （2）表示一个数是正数、负数的性质符号; （3）“一”号还用来表示相反数。
第1 次:负数的概念（负号） 第2 次:数轴（负号） 第3 次:相反数
2. 整数与分数的范围扩大了 3. 本章对“负数”的6次认知
第4 次:绝对值
情境1
2015年9月3日，在北京举行的纪念抗日战争胜利 70周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经 过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城 中轴线与长安街的交汇处的距离为20米?
情境1
2015年9月3日，在北京举行的纪念抗日战争胜利 70周年的阅兵活动中，一个受阅方阵自东向西经 过长安街，则该方阵在行进时共有几次和北京城 中轴线与长安街的交汇处的距离为20米?
第5 次:加减乘除运算 第6 次:乘方
1.2.1有理数
• 课标要求：理解有理数的意义 • 了解：从具体实例中知道或举例说明对象 的有关特征；根据对象的特征，从具体情 境中辨认或者举例说明对象 • 理解：描述对象的特征和由来，阐述此对 象与相关对象之间的区别和联系. • 有理数分类的教学
1.2.2数轴