参数的区间估计

(2)构造U的 一个1-α区间:
/ n
由标准正态分布的上α分位点 zα定义有 0.4
P( |U|< zα/2)=1-α,
即 P{z X z }1 2 / n 2
(3)变形得到μ的1-α置信区间:
/2
0.3
1 0.2 0.1
/2
• • -2
-1
-z z /2
1 n
x n i1 xi 1259 s
ta (n1) t0.025(4) 2.776
2
1
n1
n i1
(
xi

x)2
142.5
并代入到上述区间得（1244.18，1273.82）即为所 求
2、求σ2置信度为1-α的置信区间：
(1) 总体均值μ未知
① 选择包含σ2的分布已知函数: ② 构造 2 的 一个1-α区间:
称该随机区间为未知参数的区间估计.即
当 P{ }1, (0 1) 成立时,
称概率 1 为置信度或置信水平;
称区间 ( , ) 是 的置信度为 1 的置信区间;
, 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出
两个只依赖于样本的界限(构造统计量)
(X1,…Xn) (X1,…Xn)
( )
一旦有了样本，就把 估计在区间[ , ]
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ , ]
内，就是说，概率 P{ } 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠(如90 ％ ，95 ％). 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
2
2/2 (n)}1

2
1
/
2
(n
1)
)
λ1
λ2
X

2 1
/
2
(n
1)

2
/
2
(n
1)
(2) 总体均值μ已知
① 2 n ( Xi )2 ~ 2 (n)
i1
f(x)
② P{1 2 2 } 1
n
即
(Xi )2
P{

2 1
/
2
(n)

i1
0.4
P{ z
2

X
/

n

z
2
)1
③ 变形得到μ的1-α置信区间:


( X z
2
n
,
X

z
2
) n
0.3
1 0.2 0.1
• • -2
-1
-z z /2
1
2
/2
(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间：
① 选择包含μ的分布已知函数: T X ~ t(n 1)
参数的区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
如:对明年小麦的亩产量作出估计为: 明年小麦亩产量九成为800-1000斤.
1
2
/2
P{X z X z )1
2n
所求1-α置信区间为
(X z
2

n
, X z

)
2n
2n
P{|U|<λ}=1-α
α/2
φ(x)
α/2
-λ
λ =zα/2
X
1-α 注意: 置信区间不是唯一的.对于同一个置 信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时, 当然置信区间越短越好.
即: 若设X表示明年亩产量,则估计结果为
P{800≤X≤1000}=90%
区间估计
一. 区间估计的定义
设总体X的分布中含有未知参数 ,若由样本确
定的两个统计量 ( X1,, X2 ), ( X1,, X2 ),
使得随机区间 ( , ) 包含 达到一定的把握,那么
长度 尽可能短.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
例1 设总体X~N(μ,σ2), σ2已知, X1,X2,…,Xn为X 的 一 个样本,求一个区间,使之以1 -α 的 概率 包含μ的真值.
解(1)选择包含μ的分布已知的函数: U X ~ N(0,1)
数的1 置信区间.
三、单个正态总体均值与方差的区间估计
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 1、 求μ置信度为1-α的置信区间：
(1) σ2已知,求μ的置信度为1-α的置信区间
① 选择包含μ的分布已知函数: U X ~ N(0,1)
/ n
② 构造U的 一个1-α区间:
二、求置信区间的方法与步骤:
第一步 构造一个含未知参数的分布 已知的随机变量(样本的函数)U,U中除待估 参数外不含其它任何未知参数,一般是从未 知参数的点估计着手,再进行"加工"来构造;
第二步 对给定的置信度1 ,根据U
的分布定出满足P{a U b} 1 的a, b；
第三步 利用不等式变形,求出未知参
S/ n
② 构造T的 一个1-α区间:
f(x)
P{|T | t /2(n1)}1
即
α/2
α/2
P{
X
S/n
t/2(n1)}1
③ 变形得到μ的1-α置信区间:
t/2(n1) X
1-α
S
S
( X t /2 (n1)
, n
X t /2 (n1)
) n
例3 用某种仪器间接测量温度，重复测量5次得温 度数据如下（单位：摄氏度）1250，1265，1245， 1260，1275。假设仪器无系统误差，测量值X服从正 态分布，试以95%的置信度估计温度真值的置信区间。
解：考察样本函数
X
T
~ t(n1)
S/ n
由
P{
X
S/ n
t/2(n1)}1
得
μ的1-α置信区间为：
( X t /2 (n1)
S, n
X t /2 (n1)
S) n
S
S
( X t /2 (n1)
, n
X t /2 (n1)
) n
经计算有 n 5, 5%
2

(n
1)S2 2
~
2 (n
1)
P{1 2 2 } 1
f(x)
P{
2 1
/
2
(n
1)

(n
1)
2
S
2
α/2
α/2
2/2 (n1)}1
③ 变形得到σ2的1-α置信区间:
(n1)S 2 (n1)S 2
( 2/2 (n1) ,