岩石强度的损伤力学分析

σ = σ1
+
p2
mT
(18)
代入式 (2) , 即可求得切点处的 σ。中心为 ( C , 0) 且 与式 (2) 莫尔包络线相切的应力圆的半径为
τ0 = τ2 + (σ - C) 2 =
mT 4
(
2σ1
+2p
-
m T + 4 T)
(19)
注意式 (19) 只有在σ1 + p ≥ m T/ 2 - 2 T 时才有
(6)
如果在 10 m m 尺寸上考虑缺陷的影响 , 则把包
含尺寸小于 10 m - 1 m 的缺陷的介质看作相对无损伤
材料 , 设其相对损伤参量为 Dm 。于是有
σc m = (1 - Dm )σc m - 1
(7)
依次类推
σc m - 1 = (1 - D m- 1)σc m - 2
(8)
于是 10 i m 数量级与 10 j m 数量级 (设 i > j) 尺寸岩
C = (σ1 + p) / 2
(14)
式 (2) 在切点 (σ, τ) 处的斜率为
dτ dσ
=
mT
2τ
(15)
切点 (σ, τ) 与应力莫尔圆的中心 ( C , 0) 的连
线斜率为
k
τ =σ- C
= 2σ -
2τ (σ1 + p)
(16)
显然
dτ dσ
=
-
1 k
(17)
将式 (15) , (16) 的右边代入式 (17) 两侧 , 可得
( p 也是确定的) , 给定一个应力值σ1 , 我们就可依次 求得τ0 , τmax , D 及ε1 。给定一系列σ1 , 都可对应地 求出ε1 , 这样就可画出 p 围压下的σ1 ～ε1 曲线 。依 次类推 , 可以画出不同围压下的一族 σ1 ～ε1 曲线 。
图 2 所示即为 m = 6 , T = 10 M Pa , E = 30 000
1 岩石强度的概率统计特性
从岩石破裂的实验过程看 , 岩石的破坏过程是 逐渐发生的 。对岩石破裂过程的研究表明 , 岩石内部 各部位的强度可能是有差异的[1 , 2 ] 。岩石是一种或 多种矿物的集合体 。多数矿物的力学性质呈现出各 向异性的一面 , 同时各种矿物的力学性质也有很大 差异 。另外 , 岩石材料经历了复杂的结构变动历史 , 内部本身就有若干缺陷 。在经受载荷作用后 , 各部分 的差异将表现出来 。
第18 卷 第 1 期 1999 年 2 月
岩石力学与工程学报
Chi nese Jou rnal of Rock Mechanics an d Engi neeri n g
18 (1) : 23～27 Feb. , 1999
岩石强度的损伤力学分析
杨友卿
(国家地震局地质研究所 北京 100029)
·24 ·
岩石力学与工程学报
1999 年
定量 。
2 损伤参量
当材料受载荷作用后 , 在宏观裂纹出现之前 ,
局部出现的微裂隙已经影响了材料与结构的强度 。
文[6 , 7 ]从损伤力学的角度 , 考虑到材料的破坏过
程 , 提出了连续损伤力学的概念 , 并建立了以下损
伤模型 :
σ = E[1 - D ]ε
料的强度 。反之 , 岩石尺寸愈大 , 所包含的缺陷愈大
也愈多 , 其强度衰减也愈厉害 。
分数维与分形学的发展有助于解决岩石材料强
度对尺寸的依赖性问题 。这里按照缺陷分布相似性 ,
推导出如下公式 。按照前面所述的微元强度假设 ,
可知存在损伤参量 D 的介质的强度与无损介质的强
度有如下关系 :
σc = (1 - D)σco
(1) 无损岩石微元弹性模量为 E , 在微元破坏
前 , 服从虎克定律 ;
(2) 微元只具有两种状态 , 无损和损坏 , 当微元
遭受的载荷超过微元自身的强度时 , 微元即被破坏 ,
也不再具备任何抵抗变形的能力 ;
(3) 不考虑一个微元破坏后对相邻微元的影响 ,
岩石材料的宏观力学特征看作是一个个彼此独立的
意义 , 这一条件在三轴实验时一般是可以满足的 ,
在高围压试验中肯定满足 , 因为抗拉强度 T 是很小
的 , m 通常也小于 10 。
有了上述公式 , 我们就可计算由损伤模型推导
的岩石本构关系 σ1 ～ε1 。对给定岩石 , 参数 m , T , E , ν, s 就是确定的参量 。对某一围压 p 下的试验
摘要 首先论述岩石材料强度的概率统计特性 , 结合经典的莫尔准则 , 利用损伤力学理论分析了岩石强度随围压的 变化 , 给出了三轴应力状态下的岩石本构关系的表达式 , 并与 Carrara 大理岩在各种围压下的应力2应变曲线进行对 比 。研究表明 , 上述损伤力学模型可以近似地反映岩石的本构性能 , 强度分布方差是岩石材料物理性能的一种量度 。 结合分形与自相似特征 , 对岩石强度随试样尺寸增大而减小的规律作出了定量描述 , 并探讨了岩石强度分布特征与 地震活动的关系 。 关键词 岩石强度 , 概率 , 损伤力学 分类号 TU451
以看出 , s 愈大 , σ1 ～ ε1 的线性关系愈好 , 反之 , s 较小时σ1 ～ε1 曲线切线斜率随ε增大明显地由陡变 缓。
我们再比较一下不同围压的影响 。图中曲线左 端点一般不在原点 , 因为围压 p > 0 , 而在三轴实验 中总有 σ1 > p , 故起始点ε1 = (σ1 - 2νp) / E > 0 , 曲线的右端点为 τmax = [τ] = τo 状态 , 即差应力达 到峰值 , 岩石发生宏观破裂 。由图 2 可以看出 , 不论 s 多大 , 只要围压 p 增高 , 发生宏观破裂时的应变增 大 。即 p 增大 , 岩石的延性增强 。
石材料强度之间有如下关系 :
σc i = (1 - Di) (1 - Di - 1) …
(1 - Dj +1) (1 - Dj)σc j
(9)
对一种特殊的情形 , 相似性成立 , Di = Di - 1 =
… = Dj +1 = Dj = D , 则
σc i σc j
=
(1 -
D) i- j
(10)
图 3 是 Carrara 大理岩在各种围压下的应力2应 变曲线[8 ] 。可以看出 , 根据统计假设推导的应力应 变关系与真实的岩石材料应力应变关系有很好的一 致性 。一般地说 , 岩石材料随围压提高其塑性增强 。 理想塑性模型告诉我们 , 材料屈服后应力不再升高 。 但这里的计算结果及 Carrara 大理岩的实验结果均显 示出 , 围压高于 80 MPa , 岩石材料表现出加工硬化 的性质 。如果把图 3 中 84. 5 MPa 围压的应力2应变 曲线与图 2 (d) 对比 , 把图 3 中 165 M Pa 围压的应力2 应变曲线与图 2 (c) 对比 , 把图 2 中 245 M Pa 围压的 应力2应变曲线与图 2 (b) 对比 , 把图 2 中 326 M Pa 围 压的应力2应变曲线与图 2 (a) 对比 , 可以认为 , 随围 压提高岩石材料的强度分布均方差增大 。
线开口大小 。
在这里假定式 (1) 中τo是符合曲线 (2) 的一个确
1997 年 6 月 2 日收到初稿 , 1997 年 8 月 24 日收到修改稿 。 作者 杨友卿 简介 : 男 , 34 岁 , 博士 , 1989 年毕业于北京大学地质系地震地质专业 , 现任助理研究员 , 主要从事地球动力学与大地构造物理学方 面的科研工作 。
上边我们用 10 m 数量级讨论了缺陷分布在不同
等级的相似性 。实际上设岩石材料的尺寸为 L 1 , 同
种材料的另一个尺寸为 L 2 , 二者的强度与尺寸的关
系可由式 (10) 推广为
σc L 1 σc L 2
=
(1 -
D)
lg
L L
1 2
(11)
若 L 1 = 10 i , L 2 = 10 j , 则式 ( 11) 就变为式
P{ [τ] ≤τmax} =
∫τ
max
0s
1 2πexp [ -
1 2
(
x
sτoLeabharlann )2]d
x
(4)
概率 P{ [τmax ] ≤τ} 反映的正是发生破坏的微
元占总体的比例 , 正好符合我们对损伤参量 D 的定
义 , 因此 , 式 (4) 改写为
∫ D = s
1 2π
τ
max
exp
0
[
-
1 (x 2
M Pa , ν = 0. 25 , 围压 p 分别为 80 , 160 , 240 , 320 ,
400 M Pa 所画出的σ1 ～ε1 曲线 , 其中图 2 (a) 均方差
s = 300 M Pa , 图 2 ( b) 均方差 s = 100 M Pa , 图 2 (c)
均方差 s = 65 M Pa , 图 2 ( d) 均方差 s = 30 M Pa 。可
文[ 3 , 4 ]早就提出 , 构成物体的材料 , 从总体上 看可能是均质的 , 但微观上看 , 却是十分不均一的 , 岩石材料尤其如此 。宏观的破坏现象 , 是许多微观破 坏的综合表现 。这些不均质的微观破坏 , 可以用统计 学理论来研究 。
岩石材料的强度作为一个随机变化的量 , 是受 大量其他因素诸如矿物的比例 、晶体的大小 、胶结物 性质等等综合作用的结果 。而这些因素本身也不是 完全的确定量 , 即也是某种具统计规律的随机量 。由 李雅普诺夫 (Liapunov) 定理可以知道 , 大量众多随机 量的和 , 近似地服从正态分布 。本文研究岩石材料的 强度服从正态分布的情形 。
τmax = (σ1 - p) / 2
(13)
由σmax = σ1 , σmin = p 构成的应力莫尔圆 , 若与
形式为式 (2) 的破裂包络线相切 , 我们就可求出切
点 。与包络线相切的应力莫尔圆的半径就是该应力
状态下的平均抗剪强度 , 显然平均抗剪强度 τo 只与 应力莫尔圆的中心有关 。应力圆中心的应力值为
(3)
式中 : σ, ε, E 分别为岩石所受的应力 、发生的应变
及弹性模量 ; (1 - D) 为有效承载面积占总面积的比
例 , D 即为损伤参量 , D = 0 相当于无损坏的完整材
料 , D = 1 相当于体积元的破坏 。D 的大小反映了材
料内部损伤的程度 。按前面对材料内部强度的概率
分布假设 , 当岩石所受载荷为τmax 时 ,
在一受载岩石材料中任一截面取一微元 , 假设 微元 V 的尺寸大到足以包含许多微观裂纹与微观空 洞 , 但同时也充分小 , 小到可以视为连续损伤力学的
一个质点来考虑 , 即假设岩石材料是连续分布的 , 而
它的缺陷却以它们承载能力的量度附加于均匀介质
之上 。把岩石材料在加载过程中的损伤看作成一个
连续过程 , 故假设 :
=
1
1 -
D [σE1
-
2νp
E
]
(12)
当 D = 0 时 , 式 (12) 等同于三维应力状态时的
第 18 卷 第 1 期
杨友卿. 岩石强度的损伤力学分析
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虎克定律 , 而当围压 p = 0 时 , 式 (12) 退化为式 (3)
的形式 。在主压应力为 σ1 时 , 最大剪应力为
微元状态的总和 ;
(4) 虽然微元强度不等 , 但假定微元的强度服从
统计规律 , 且为正态分布 , 其概率密度函数为
f ( [τ])
= s 1 2πexp [ -
1 2
[τ] -
( s
τo ) 2 ]
(1)
式中 : [τ] 为岩石材料所能承受的最大许可剪应力
(抗剪强度) , 是所考虑的随机变量 ; τo 为随机变量
(10) 。
图 1 给出 D 分别为 0. 05 , 0. 10 , 0. 15 时强度的
尺寸效应 。
图 1 岩石强度随尺度增大而衰减的关系 Fig. 1 Rock strengt h decrement wit h size increment of t he tested samples
图 2 不同概率的岩石材料的应力2应变曲线 Fig. 2 The stress2strain curves of rock material wit h different probabilities of strengt h distribution
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岩石力学与工程学报
1999 年
3 岩石的本构关系
在这里 , 我们将式 (3) 所示的一维情形推广到三
维空间 , 并根据一定的岩石力学条件 , 来推导出岩
石的本构关系 。我们在这里假定一个给定围压 (σ2 = σ3 = p) 下的实验 , 施加σ1 , 观察ε1 。岩石的弹性 模量和泊松比分别设为 E 和ν, 则据前面的定义有
ε1
[τ] 的数学期望 (均值) , s 为[τ] 的均方差 。
众所周知 , 岩石发生破裂时的最大剪应力随围
压的增大而增大 。文[ 5 ]用抛物线或双曲线来拟合实
验结果所做出的莫尔包络线 , 下式是常见的一种 :
τ2 = m T (σ + T)
(2)
式中 : T 为岩石的抗张强度 , m 为抛物线型莫尔包络
s
τo
)
2
]
d
x
=
τ
max
-
τ
o
∫ 1
2π
s
τ
-
o
s
exp ( -
t2 2
)
d
t
(5)
宏观岩石材料中的损伤参量 , 可能与实验中某
一载荷对原来无损试件造成的损伤参量相当 。损伤
参量的概念有助于解释岩石强度随尺寸增大而减小
的现象 。相对于理想无损材料 , 岩石尺寸愈小 , 所包
含的缺陷愈小也愈少 , 其强度也愈接近理想无损材