数学·选修4-5(人教A版)课件:第二讲2.1比较法

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左边 a+1- a a+ a-1
证明: =

<1,
右边 a- a-1 a+1+ a
又 a+1- a>0, a- a-1>0.
所以原不等式成立.
1.比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法,比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a>b⇔ a-b>0),还有作商比较法 即要证明a>b,而b>0,只要证明ab>1.
TIP4:早晨起床后,由于不受前摄抑制的影响,我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容,那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆规 律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七:美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定:通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
+(a2b-ab2)=(a-b)(a2+ab+b2)+ab(a-b)=(a-b)(a+
b)2≥0,所以 a3+a2b≥ab2+b3.故应选 B. 答案:B
3.已知 a,b 都是正实数,则下列关系式成立的是 ()
A.aabb=abba B.aabb≥abba C.aabb<abba D.aabb≤abba 解析:因为 a,b∈R+,故 abba>0.
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.若 a>b,则代数式 a3+a2b 与 ab2+b3 的值的大小 关系是( )
A.a3+a2b<ab2+b3 B.a3+a2b≥ab2+b3 C.a3+a2b=ab2+b2 D.不能确定 解析:因为 a>b,所以(a3+a2b)-(ab2+b3)=(a3-b3)
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1:听懂看到≈认知获取; TIP2:什么叫认知获取:知道一些概念、过程、信息、现象、方法,知道它们 大 概可以用来解决什么问题,而这些东西过去你都不知道;
TIP3:认知获取是学习的开始,而不是结束。
为啥总是听懂了, 但不会做,做不好?
高效学习模型-内外脑模 型
2
内脑- 思考内化
TIP2:采用一些怪诞夸张的方法,比如上面例子中腿上面生长出了很多植物, 正 常在我们常识中不可能发生的事情,会让我们印象更深。
TIP1:我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后! TIP2:可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识,由于不受后摄抑制的 影 响,更容易储存记忆信息,由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆规 律
TIP3:另外,还有研究表明,记忆在我们的睡眠过程中也并未停止,我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以,睡前的这段时间可是 非常宝 贵的,不要全部用来玩手机哦~
2.用比较法证明不等式时,当差式或商式中含有字 母时,一般需对字母的取值进行分类讨论.
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨,起早贪黑,
上课认真,笔记认真, 就是成绩不咋地……
小A
好像天天在玩, 上课没事儿还调皮气老师, 笔记有时让人看不懂,
但一考试就挺好…… 小B
作差比较法的基本步骤是:作差、变形、判断符号.变 形是关键,目的在于能判断差的符号.为便于判断差式 的符号.通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式.多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明.作商比较法的基本步骤是: 作商、变形、判断商值与 1 的大小,适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式.其中判断差值的正负及商值 与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点.
2.作商比较法 依据:当 b>0 时, ab>1⇔a>b; ab=1⇔a=b; ab<1⇔a<b.
温馨提示 使用作商法证明不等式 a>b 时,一定要 注意 b>0 这个前提条件.
[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)当 b>0 时,a>b⇔ab>1.( ) (2)当 b>0 时,a<b⇔ab<1.( ) (3)当 a>0,b>0 时,ab>1⇔a>b.( ) (4)当 ab>0 时,ab>1⇔a>b.( )
超级记忆法-记忆规 律
TIP1:我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内! TIP2:很多我们觉得比较容易背的古诗词,大多不超过七个字,很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内 (每一组不代表只有一个字哦,这7组中的每一组容量可适当加大)。 TIP3:比如我 们记忆一个手机号码18820568803,如果一个一组的记忆,我 们就要记11组,而如果我们拆解一下,按照188-2056-8803,我们就只需要 记忆3 组就可以了,记忆效率也会大大提高。
场景记忆法小妙 招
超级记忆法--身体 法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆方 法
TIP1:在使用身体记忆法时,可以与前面提到过的五感法结合起来,比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉,记忆印象会更加深刻;
所以 a2+b2+1>a(b+1). (2)(an+bn)-(an-1b+abn-1)=(a-b)(an-1-bn-1). 因为 a,b∈R-,n>1,n-1>0,a≠b,
所以当 a>b 时,an-1>bn-1, 所以 a-b>0,an-1-bn-1>0, 所以(a-b)(an-1-bn-1)>0, 即 an+bn>an-1b+abn-1. 当 a<b 时,an-1<bn-1, 所以 a-b<0,an-1-bn-1<0,
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack?
超级记忆法-记忆方 法
TIP1:在使用场景记忆法时,我们可以多使用自己熟悉的场景(如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等),这样记忆起来更加轻松;
TIP2:在场景中记忆时,可以适当采用一些顺序,比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆规 律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规 律
TIP1:我们可以选择巩固记忆的时间! TIP2:人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第 一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
又 c-b= 1 -(1+x)= x2 >0,
1-x
1-x
所以 c>b.所以 c>b>a.
答案:c
类型 1 作差比较法证明不等式
[典例 1] (1)已知 a,b∈R,求证:a2+b2+1>a(b +1);
(2)已知 a,b 是互不相等的正数,n>1,求证:an+ bn>an-1b+abn-1.
证明:(1)因为 a2+b2+1-a(b+1)=12[(a-b)2+(1- a)2+b2+1]>0,
所以(a-b)(an-1-bn-1)>0, 即 an+bn>an-1b+abn-1. 因此总有 an+bn>an-1b+abn-1.
归纳升华 1.作差比较法的一般步骤为:作差→变形(因式分解 或配方)→判断符号→下结论,有时需要分类讨论. 2.作差比较法把比较两个实数(或式)的大小转化为 判断两个实数(或式)的差的符号.其中,作差后如何变形 是证明的关键,对差进行变形时要变彻底,
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆规 律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固,可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法--场景 法
解析:对于(1),当 b>0 时,a>b,两边同除以 b, 所以ab>1,所以(1)正确;对于(2),当 b>0 时,a<b,两 边同除以 b,所以ab<1,所以(2)正确;对于(3),当 a>0, b>0 时,ab>1,两边同乘以 b,所以 a>b,所以(3)正确;
对于(4),当 a>0,b>0 时成立,当 a<0,b<0 时, 不成立.
常用的变形手段有配方、通分、有理化和分解因式等, 即可以运用一切有效的恒等变形方法.为便于判断“差 式”的符号,常将“差式”变形为一个常数、几个因式的 积或一个分式等等.总之,通过变形只要能够判断出差的 符号是正或负即可.
[变式训练]
已知
a>0,b>0,求证:ab+
b≥ a
a+
b. 证明:
a b
[典例 2] 已知 a,b∈R+,求证:aabb≥(ab) 2 .
解:
aabba+b=aa-2 b·bb-2 a=aba-2 b.
(ab) 2
aa-b 当 a=b 时,b 2 =1;
当 a>b 时,ab>1,a-2 b>0, aa-b
由指数函数的性质知b 2 >1,
当 a<b 时,0<ab<1,a-2 b<0, aa-b
由指数函数的性质知b 2 >1.
a+b
所以 aabb≥(ab) 2 .
归纳升华 使用作商法证明不等式 a>b 时,一定要注意 b>0 这个前提条件,其一般的证明步骤为:(1)作商;(2)变形; (3)判断商与 1 的大小;(4)下结论.
[变式训练] 已知 a≥1,利用作商比较法,求证:
a+1- a< a- a-1.
学习知识的能力 (学习新知识 速 度、质量等)
长久坚持的能力 (自律性等)
什么是学习力-常见错误学习 方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备 习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题 了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一做 就错
看得懂,但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含 义
管理知识的能力 (利用现有知识 解决问题)
又aaabbbba=aba·bab=aba-b, 当 a>b>0 时,ab>1,且 a-b>0,故aaabbbba>1;
当 b>a>0 时,0<ab<1,且 a-b<0,故aababbab>1; 当 a=b 时,aababbab=1. 答案:B
4. 设 P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若 P>Q,则实 数 a,b 满足的条件为________.
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模 型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规 律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制:可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制:可以理解为因为接受了新的内容,而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规 律
解析:P-Q=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a +2)2,因为 P>Q⇒P-Q>0.所以 ab≠1 或 a≠-2.
答案:ab≠1 或 a≠-2
5.已知 0<x<1,a=2 x,b=1+x,c=1-1 x,则 其中最大的是________.
解析:因为 0<x<1,所以 a>0,b>0,c>0. 又 a2-b2=(2 x)2-(1+x)2=-(1-x)2<0, 所以 a2-b2<0.所以 a<b.

b a

(
a+
b)=
( a)3+( b)3-( a+ b) abab Nhomakorabea=
( a+ b)( a- b)2
ab

因为 a>0,b>0,
所以 a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0,
所以 ab+ ba-( a+ b)≥0,

ab+
b≥ a
a+
b.
类型 2 作商比较法证明不等式(自主研析)
a+b
第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点). 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法. 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点).
[知识提炼·梳理] 1.作差比较法 要比较两个实数的大小,只要考查它们的差的符号: a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0.
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