数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.1比较法

左边 a＋1－ a a＋ a－1
证明： ＝
＝
＜1，
右边 a－ a－1 a＋1＋ a
又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0.
所以原不等式成立．
1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法 即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规 律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)(a＋
b)2≥0，所以 a3＋a2b≥ab2＋b3.故应选 B. 答案：B
3．已知 a，b 都是正实数，则下列关系式成立的是 ()
A．aabb＝abba B．aabb≥abba C．aabb＜abba D．aabb≤abba 解析：因为 a，b∈R＋，故 abba＞0.
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．若 a＞b，则代数式 a3＋a2b 与 ab2＋b3 的值的大小 关系是( )
A．a3＋a2b＜ab2＋b3 B．a3＋a2b≥ab2＋b3 C．a3＋a2b＝ab2＋b2 D．不能确定 解析：因为 a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模 型
2
内脑- 思考内化
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规 律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝 贵的，不要全部用来玩手机哦~
2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字 母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑，
上课认真，笔记认真， 就是成绩不咋地……
小A
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂，
但一考试就挺好…… 小B
作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变 形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式 的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是： 作商、变形、判断商值与 1 的大小，适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值 与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点．
2．作商比较法 依据：当 b＞0 时， ab＞1⇔a＞b； ab＝1⇔a＝b； ab＜1⇔a＜b．
温馨提示 使用作商法证明不等式 a＞b 时，一定要 注意 b＞0 这个前提条件．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当 b＞0 时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当 b＞0 时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当 a＞0，b＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
超级记忆法-记忆规 律
TIP1：我们可以选择恰当的记忆数量——7组之内！ TIP2：很多我们觉得比较容易背的古诗词，大多不超过七个字，很大程度上也 是因 为在“魔力之七”范围内的缘故。我们可以把要记忆的内容拆解组合控制 在7组之内 （每一组不代表只有一个字哦，这7组中的每一组容量可适当加大）。 TIP3：比如我 们记忆一个手机号码18820568803，如果一个一组的记忆，我 们就要记11组，而如果我们拆解一下，按照188-2056-8803，我们就只需要 记忆3 组就可以了，记忆效率也会大大提高。
场景记忆法小妙 招
超级记忆法--身体 法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆方 法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
所以 a2＋b2＋1＞a(b＋1)． (2)(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)． 因为 a，b∈R－，n＞1，n－1＞0，a≠b，
所以当 a＞b 时，an－1＞bn－1， 所以 a－b＞0，an－1－bn－1＞0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即 an＋bn＞an－1b＋abn－1. 当 a＜b 时，an－1＜bn－1， 所以 a－b＜0，an－1－bn－1＜0，
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方 法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规 律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规 律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第 一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
又 c－b＝ 1 －(1＋x)＝ x2 ＞0，
1－x
1－x
所以 c＞b.所以 c＞b＞a.
答案：c
类型 1 作差比较法证明不等式
[典例 1] (1)已知 a，b∈R，求证：a2＋b2＋1＞a(b ＋1)；
(2)已知 a，b 是互不相等的正数，n＞1，求证：an＋ bn＞an－1b＋abn－1.
证明：(1)因为 a2＋b2＋1－a(b＋1)＝12[(a－b)2＋(1－ a)2＋b2＋1]＞0，
所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即 an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有 an＋bn＞an－1b＋abn－1.
归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解 或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法把比较两个实数(或式)的大小转化为 判断两个实数(或式)的差的符号．其中，作差后如何变形 是证明的关键，对差进行变形时要变彻底，
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规 律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景 法
解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b， 所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两 边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
对于(4)，当 a＞0，b＞0 时成立，当 a＜0，b＜0 时， 不成立．
常用的变形手段有配方、通分、有理化和分解因式等， 即可以运用一切有效的恒等变形方法．为便于判断“差 式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、几个因式的 积或一个分式等等．总之，通过变形只要能够判断出差的 符号是正或负即可．
[变式训练]
已知
a＞0，b＞0，求证：ab＋
b≥ a
a＋
b. 证明：
a b
[典例 2] 已知 a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab) 2 .
解：
aabba＋b＝aa－2 b·bb－2 a＝aba－2 b.
（ab） 2
aa－b 当 a＝b 时，b 2 ＝1；
当 a>b 时，ab>1，a－2 b>0， aa－b
由指数函数的性质知b 2 ＞1，
当 a<b 时，0<ab<1，a－2 b<0， aa－b
由指数函数的性质知b 2 >1.
a＋b
所以 aabb≥(ab) 2 .
归纳升华 使用作商法证明不等式 a＞b 时，一定要注意 b＞0 这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商；(2)变形； (3)判断商与 1 的大小；(4)下结论．
[变式训练] 已知 a≥1，利用作商比较法，求证：
a＋1－ a＜ a－ a－1.
学习知识的能力 （学习新知识 速 度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习 方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备 习惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题 了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一做 就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力-含 义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
又aaabbbba＝aba·bab＝aba－b， 当 a＞b＞0 时，ab＞1，且 a－b＞0，故aaabbbba＞1；
当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，且 a－b＜0，故aababbab＞1； 当 a＝b 时，aababbab＝1. 答案：B
4. 设 P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若 P＞Q，则实 数 a，b 满足的条件为________．
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模 型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规 律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规 律
解析：P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a ＋2)2，因为 P＞Q⇒P－Q＞0.所以 ab≠1 或 a≠－2.
答案：ab≠1 或 a≠－2
5．已知 0＜x＜1，a＝2 x，b＝1＋x，c＝1－1 x，则 其中最大的是________．
解析：因为 0＜x＜1，所以 a＞0，b＞0，c＞0. 又 a2－b2＝(2 x)2－(1＋x)2＝－(1－x)2＜0， 所以 a2－b2＜0.所以 a＜b.
＋
b a
－
(
a＋
b)＝
（ a）3＋（ b）3－（ a＋ b） abab Nhomakorabea＝
（ a＋ b）（ a－ b）2
ab
，
因为 a＞0，b＞0，
所以 a＋ b＞0， ab＞0，( a－ b)2≥0，
所以 ab＋ ba－( a＋ b)≥0，
故
ab＋
b≥ a
a＋
b.
类型 2 作商比较法证明不等式(自主研析)
a＋b
第二讲 证明不等式的基本方法
2．1 比较法
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．作差比较法 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.