1换元法巧用换元法 妙解高考题

微讲座1：巧用换元法 妙解高考题

【知识要点】

1. 把某个式子看成整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法.

2. 常用的换元法有：局部换元、三角换元、均值换元、和差换元法等.

①局部换元是在已知或未知中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题的方法. 如解不等式：0624≥−+x

x

，设()02>=t t x . 再如求函数x

x y −+=12的值域时，设()01≥=−t t x .

②三角换元，应用于去根号或当变换成三角形式易求解时，主要利用代数式与三角知识中的联系进行换元. 如求函数x x y −+=

1的值域，设⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0sin 2πθθx ，转化为求三角函数值域问题. 再如变量,x y 满足方程222(0)x y r r +=>，作三角代换

θcos r x =,[)()πθθ2,0sin ∈=r y 化为三角函数问题.

③均值换元，如方程k y x 2=+（k 为常数），设t k x +=,t k y −=，可将二元变成一元.

④和差换元法，如式子22252x xy y −+，设b a x +=,b a y −=，转化为只含平方项的式子.

3. 关键点：换元后要注意新变量的范围.

【典例分析】

1.局部换元法

例1 正实数,x y 满足2y x >，求22

2

22y xy x xy x −+−的最小值.

思路点拨：处理分式型齐次式函数的值域问题，往往将变量转化成比值的形式进行局部换元，其核心是掌握二次分式函数的最值模型.

解析：21

2222

2

22−+⎪⎭⎫

⎝⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛=−+−x

y x y x y x xy x xy y （*），令()2>=t t x y , 故（*）式可转化为()221

2212122+−+−=−+=−+−t t t t t t t ，设()02>=−m m t ，原式421≥++=m

m （当

且仅当1=m ，即x y 3=时，上式取到“等号”），所以222

22y xy x xy x

−+−的最小值为4.

2.均值换元法

例2 实数,,a b c 满足1a b c ++=，求222a b c ++的最小值.

解析：由a ＋b ＋c ＝1 想到“均值换元法”. 设a ＝31＋t 1，b ＝31＋2t ，c ＝3

1

＋t 3，其中t 1＋t 2＋t 3＝0, 则a 2＋b 2＋c 2＝（31＋t 1）2＋（31＋t 2）2＋(31＋t 3)2

＝31＋3

2(t 1＋t 2＋t 3)

＋t 12＋t 22＋t 32＝13＋t 12＋t 22＋t 32≥31. 所以a 2＋b 2＋c 2

的最小值是3

1.

3.三角换元法

例3 已知2244x y x +=，求x y +的范围.

思路点拨：寻找方程与恒等式1cos sin

22

=+θθ的联系，转化成三角函数值域问题.

解析：原方程变形为()()4222

2=+−y x ，令⎩⎨⎧==−θθsin 22cos 22y x ，即[)πθθ

θ2,0sin cos 22∈⎩⎨

⎧=+=y x ，则()[]

52,522sin 52sin cos 2+−∈++=++=+ϕθθθy x .

4.因式分解换元法

例4 若实数,x y 满足1222=−+y xy x ，y x 2>，求

22

2522x y

x xy y −−+的最大值.

思路点拨：当二元方程能因式分解时，通过因式的换元，转化成两变量四则运算的最值问题，使题目变得常规和熟悉.

解析：由122

2

=−+y xy x ，即()()12=+−y x y x ，故设n y x m y x =+=−,2，则1=mn ，

()()n m y x y x y x −=+−−=−22，()()222

2

222225n m y x y x y xy x +=++−=+−，

因为y x 2>，所以n m >.

()()422

21212222=

−⋅

−≤−+−=+−−=+−=

n

m n m n m n m mn n m n m n m n m 故原式，当2=−n m 时，

即22=−y x ，上式取到“等号”. 所以

2

22252y

xy x y

x +

−−的最大值为4.

5.采用多种换元方法解决问题

例5 实数y x ,满足224545x xy y −+=，求2

2S

x y 的范围.

思路点拨：利用已知条件22y x S +=与三角公式1sin cos

22

=+αα的联系联想到用三角换

元法，将代数问题转化为三角函数值域问题.另外利用θsin 的有界性可求S 的范围.

解法一（三角换元法）：设[)πα2,0,sin cos ∈⎪⎩⎪⎨⎧==α

S y α

S x ，由545422=+−y xy x 得：

5cos sin 54=−ααS S ，解得α

S 2sin 5810

−=

.

因为12sin 1≤≤−α，所以

≤1310≤−α2sin 5810103,故1010,133S ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

. 思路点拨：由等式22S x y =+想到用均值换元法，减少元的个数，简化题目. 解法二（均值换元法）： 22S x y =+，故设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣

⎡−∈−=+=

2,22

,222

S S t t S

y t S x ,则

2

24

t S xy −±=,代入原方程得545422=±t S S －，移项平方整理22100391601000t S S +−+=.因方程有解，故0≥∆，010*******≤+−S S ，解得

1010,133S ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

.

思路点拨：形如方程k y xy x =++22λ，可利用和差换元法消去中间项，留下只含平方项的运算，该方法与均值换元法类似.

解法三（和差换元法）：设,x a b y a b =+=−，代入原方程整理得223135a b +=，易知

25[0,]3a ∈，所以2222210201010

()()2()[,]1313133S a b a b a b a =++−=+=+∈.

解法四（局部换元法）：()2222

5454540,0x xy y x y x y S x y y x

−+==−≠≠++，令x

t y =，所以553134,44,122S t t ⎡⎫⎛⎤=−∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦+，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈310,4545,1310 S ；当y x ,中有一项为0时，

45=S .综上所述，1010[,]133

S ∈.