2[1][1]11合情推理归纳推理.ppt

（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=2,3,4代入
an1
an 1 an
得:
1
1
11 a2 11 2
a3
2 1 1
1 3
2
a4
3 1 1
1 4
3
1 观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。
a 由此猜想（归纳）这个数列的通项公式为： n
n
可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
这种由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些 已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称 为类比推理。(简称类比)
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
因为43，47，53，61都是质数 所以由此归纳猜想：当n N，f (n) n2 n 41的值都是质数
f (40) 402 40 41 40(40 1) 41 41 40 41 41(40 1) 41 41 故上面的归纳猜想不正确.
练习
根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程。 推理一般由两部分组成：前提和结论
例：在推理 1 2，2＝3 1＝3中 前提是1 2，2＝3，结论是 1＝3
推理演 合绎 情推 推理 理归类纳比推推理理
世界近代三大数学难题之一 歌德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和
不小于6的偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
2
1
3
练习
设f (n) n2 n 41，n N，计算f (1)，f (2)，f (3)， f (4)的值.同时作出归纳猜想，并用n 40验证猜想.
解 f (1) 1 1 41 43 f (2) 4 2 41 47 f (3) 9 3 41 53 f (4) 16 4 41 61
复习
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程。
推理演 合绎 情推 推理 理
归纳推理 类比推理
(由特殊到一般的推理)
归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察特例发现特例的某些共性; (2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想.
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2
1
3
解;当设na=n1表时示,a移1=动1=n2块-1金=2属1-片1 时的移动次数.
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
=4-1=22-1 =8-1=23-1
当n=4时,a4= 15 =16-1=24-1
由此归纳 : 数列1，3，7，15的通项公式为 an 2n 1
猜想：把n个金属片从1号针移到3号针，最少要移动 2n 1 次
…
根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶 数都等于两个奇质数之和
歌德巴赫提出猜想的推理过程:通过对一些偶数的验证，发 现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于 是猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.
试猜测第n个图形中有n2 n 1 个点.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3 2 1
431
5 4 1
第n个图形的点数 n(n 1) 1 n2 n 1
小结
推理演 合绎 情推 推理 理归类纳比推推理理(由特殊到一般的推理)
归纳推理的一般步骤: (1)通过观察特例发现特例的某些共性; (2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想).
简言之：归纳推理是由特殊到一般的推理
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。 （但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察特例发现特例的某些共性; (2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题(猜想).
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
P84 例4
如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
简言之：类比推理是由特殊到特殊的推理
在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识 出发，通过类比而提出新问题和作出新发现。 （但要注意，结论可能为真，也可能为假。但是它所具有的 由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实都是十 分有用的）
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类对象之间的相似特征 (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 得出一个命题(猜想)。