高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)-文档资料

高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)

选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

一、选择题

1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()

A．2n－1 B．2n－1

C．2n＋1－1 D．2n

[答案] C

[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)

＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.

解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()

A．第4项 B．第4、5两项

C．第5项 D．第3、4两项

[答案] B

[解析] (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()

A．210 B．120

C．461 D．416

[答案] A

[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.

Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.

令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.

4．(2019安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()

A．2 B．3

C．4 D．5

[答案] A

[解析] ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，故选A.

5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n －k＋…＋(－1)nCnn＝()

A．2n B．0

C．－1 D．1

[答案] D

[解析] 原式＝(2－1)n＝1，故选D.

6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋

C5732＋1，则A－B＝()

A．128 B．129

C．47 D．0

[答案] A

[解析] A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.

7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()

A．16 B．70

C．560 D．1120

[答案] D

[解析] 考查二项式定理的展开式．

设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r

＝Cr82rx16－3r，

16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2019广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n －5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()

A．第9项 B．第10项

C．第19项 D．第20项

[答案] D

[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D.

9．若n为正奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－

1n7被9除所得的余数是()

A．0 B．2

C．7 D．8

[答案] C

[解析] 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7. 10．(2019江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()

A．－1 B．0

C．1 D．2

[答案] B

[解析] (2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选

B.

二、填空题

11．若(1－2x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019＋a2019x2019(xR)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2019)＋(a0＋a2019)＝________.(用数字作答) [答案] 2009

[解析] 令x＝0，则a0＝1.

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2019＋a2019＝(1－2)2019＝－1.

(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2019)＋(a0

＋a2019)

＝2019a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2019)

＝2019－1＝2009.

12．(2019北京11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．

[答案] 5 10

[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.

13．(2019全国Ⅱ理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.

[答案] 1

[解析] 由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得

9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，

解得a＝1.

14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次