高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)-文档资料
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高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)
选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
一、选择题
1.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为()
A.2n-1 B.2n-1
C.2n+1-1 D.2n
[答案] C
[解析] 解法一:令x=1得,1+2+22+ (2)
=1(2n+1-1)2-1=2n+1-1.
解法二:令n=1,知各项系数和为3,排除A、B、D,选C. 2.(x-y)7的展开式中,系数绝对值最大的是()
A.第4项 B.第4、5两项
C.第5项 D.第3、4两项
[答案] B
[解析] (x-y)n的展开式,当n为偶数时,展开式共有n +1项,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,展开式有n+1项,中间两项的二项式系数最大,而(x-y)7的展开式中,系数绝对值最大的是中间两项,即第4、5两项.3.若x3+1x2n展开式中的第6项的系数最大,则不含x的项等于()
A.210 B.120
C.461 D.416
[答案] A
[解析] 由已知得,第6项应为中间项,则n=10.
Tr+1=Cr10(x3)10-r1x2r=Cr10x30-5r.
令30-5r=0,得r=6.T7=C610=210.
4.(2019安徽6)设(1+x)8=a0+a1x+…+a8x8,则a0,a1,…,a8中奇数的个数为()
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] A
[解析] ∵a0=a8=C08=1,a1=a7=C18=8,a2=a6=C28=28,a3=a5=C38=56,a4=C48=70,奇数的个数是2,故选A.
5.设n为自然数,则C0n2n-C1n2n-1+…+(-1)kCkn2n -k+…+(-1)nCnn=()
A.2n B.0
C.-1 D.1
[答案] D
[解析] 原式=(2-1)n=1,故选D.
6.设A=37+C2735+C4733+C673,B=C1736+C3734+
C5732+1,则A-B=()
A.128 B.129
C.47 D.0
[答案] A
[解析] A-B=37-C1736+C2735-C3734+…-1=(3-1)7=128.
7.x2+2x8的展开式中x4项的系数是()
A.16 B.70
C.560 D.1120
[答案] D
[解析] 考查二项式定理的展开式.
设第r+1项含有x4,则Tr+1=Cr8(x2)8-r(2x-1)r
=Cr82rx16-3r,
16-3r=4,即r=4,所以x4项的系数为C4824=1120. 8.(2019广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an=3n -5,则(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()
A.第9项 B.第10项
C.第19项 D.第20项
[答案] D
[解析] ∵(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7展开式中含x4项的系数是C4511+C4612+C4713=5+15+35=55,由3n-5=55得n=20,故选D.
9.若n为正奇数,则7n+C1n7n-1+C2n7n-2+…+Cn-
1n7被9除所得的余数是()
A.0 B.2
C.7 D.8
[答案] C
[解析] 原式=(7+1)n-Cnn=8n-1=(9-1)n-1=9n-C1n9n-1+C2n9n-2-…+Cn-1n9(-1)n-1+(-1)n-1,n为正奇数,(-1)n-1=-2=-9+7,则余数为7. 10.(2019江西理,6)(2-x)8展开式中不含x4项的系数的和为()
A.-1 B.0
C.1 D.2
[答案] B
[解析] (2-x)8的通项式为Tr+1=Cr828-r(-x)r=(-1)r28-rCr8xr2,则x4项的系数为1,展开式中所有项的系数之和为(2-1)8=1,故不含x4项的系数之和为0,故选
B.
二、填空题
11.若(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+…+a2019x2019+a2019x2019(xR),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)+(a0+a2019)=________.(用数字作答) [答案] 2009
[解析] 令x=0,则a0=1.
令x=1,则a0+a1+a2+…+a2019+a2019=(1-2)2019=-1.
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)+(a0
+a2019)
=2019a0+(a0+a1+a2+a3+…+a2019)
=2019-1=2009.
12.(2019北京11)若x2+1x3n展开式的各项系数之和为32,则n=________,其展开式中的常数项为________(用数字作答).
[答案] 5 10
[解析] 令x=1,得2n=32,得n=5,则Tr+1=Cr5(x2)5-r1x3r=Cr5x10-5r,令10-5r=0,r=2.故常数项为T3=10.
13.(2019全国Ⅱ理,14)若x-ax9的展开式中x3的系数是-84,则a=________.
[答案] 1
[解析] 由Tr+1=Cr9x9-r-axr=(-a)rCr9x9-2r得
9-2r=3,得r=3,x3的系数为(-a)3C39=-84,
解得a=1.
14.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的01三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n次
全行的数都为1的是第______行;第61行中1的个数是______.
[答案] 2n-1 32
[解析] 用不完全归纳法,猜想得出.
三、解答题
15.设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0.求:
(1)a8+a7+…+a1;
(2)a8+a6+a4+a2+a0.
[解析] 令x=0,得a0=1.
(1)令x=1得
(3-1)8=a8+a7+…+a1+a0,①
a8+a7+…+a2+a1=28-a0=256-1=255.
(2)令x=-1得
(-3-1)8=a8-a7+a6-…-a1+a0.②
①+②得28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0),
a8+a6+a4+a2+a0=12(28+48)=32 896.
16.设(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+…+
a2019x2019(xR).
(1)求a0+a1+a2+…+a2019的值.
(2)求a1+a3+a5+…+a2009的值.
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2019|的值.
[分析] 分析题意令x=1求(1)式的值
令x=-1求(2)式的值令x=-1求(3)式的值
[解析] (1)令x=1,得:
a0+a1+a2+…+a2019=(-1)2019=1①
(2)令x=-1,得:a0-a1+a2-…+a2019=32019②
与①式联立,①-②得:
2(a1+a3+…+a2009)=1-32019,
a1+a3+a5+…+a2009=1-320192.
(3)∵Tr+1=Cr201912019-r(-2x)r
=(-1)rCr2019(2x)r,
a2k-10(kN*),a2k0(kN*).
|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2019|
=a0-a1+a2-a3+…+a2019,
所以令x=-1得:a0-a1+a2-a3+…+a2019=32019. 17.证明:(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=Cn2n. [证明] ∵(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,
(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)=(1+x)2n,
而Cn2n是(1+x)2n的展开式中xn的系数,
由多项式的恒等定理得
C0nCnn+C1nCn-1n+…+CnnC0n=Cn2n.
∵Cmn=Cn-mn(0n),
(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=Cn2n.
18.求(1+x-2x2)5展开式中含x4的项.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
①n=5;②三项的和与差.
解答本题可把三项看成两项,利用通项公式求解,也可先分解因式,根据多项式相乘的法则,由组合数的定义求解.[解析] 方法一:(1+x-2x2)5=[1+(x-2x2)]5,
则Tr+1=Cr5(x-2x2)r(x-2x2)r展开式中第k+1项为Tk +1=Ckrxr-k(-2x2)k=(-2)kCkrxx+k.
令r+k=4,则k=4-r.
∵0r,05,且k、rN,
r=2k=2或r=3k=1或r=4k=0.
展开式中含x4的项为[C25(-2)2C22+C35(-2)C13+
C45(-2)0C04]x4=-15x4.
方法二:(1+x-2x2)5=(1-x)5(1+2x)5,
则展开式中含x4的项为
C05C45(2x)4+C15(-x)C35(2x)3+C25(-x)2C25(2x)2+C35(-x)3C15(2x)+C45(-x)4C05(2x)0=-15x4.。