利用导数求函数的最值

1.3.3运用导数求函数的最大（小）值

一、学习目标

1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。

2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。

二、学习重难点

重点是求最值的方法和最值的应用。

难点最值与极值的区别及参数问题。

三、知识链接

1、若函数)(x f y =是在闭区间],[b a 上的连续函数，即在闭区间],[b a 上函数)(x f 的图像是一条 的曲线，则该函数在闭区间],[b a 上一定能够取得到 和 。

2、若函数)(x f y =是开区间),(b a 上的可导函数，则该函数在闭区间],[b a 上的最大值与最小值必在 或 取得。函数的最大值和最小值统称 。

四、导学过程

【例1】求函数)(x f 536342

3+-+=x x x ，]2,2[-∈x 的最值。

【例2】已知函数)(x f a x x x +++-=9323

（1）求)(x f 的单调递减区间

（2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

变式：已知函数)(x f c bx ax x +++=23在3

2-

=x 与1=x 时都取得极值。 （1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间。 （2）若对]2,1[-∈x ，不等式)(x f 2

c <恒成立，求c 的取值范围。

【例3】如图，ABCD 是一块边长为a 2的正方形铁板，剪掉四个小正方形角，沿虚线折叠后焊

接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数)0(>k k 。

(1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数表达式。 （2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大，

并求出其最大值。

变式：用长为18的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问

该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

五、方法、技巧、规律小结

1、单调函数在闭区间上的最值必在 或 处取得。

2、求函数的最值与 不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的左右两侧的函数值判断是 或 ，只需将导数为0的点和 处的函数值进行比较即可得到。

3、高考热点恒成立求参问题常转化为求函数的 。

六、当堂检测（分A 、B 两个档次）

A ：1、函数x e x y =

在]2,0[上的最大值为 ( ) A 、e 1 B 、21e C 、0 D 、e

21 A ：2、已知93,0,0=+≥≥y x y x ，则y x 2的最大值为 ( )

A 、36

B 、18

C 、25

D 、42

B ：3、若函数a x x x f --=3)(3在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，

则M - N 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．18

D ．20 4、直线a y =与函数x x y 33-=的图像有相异的三个交点，则a 的取值范围

是 .

5、函数2cos y x x =+在区间[0,

]2π上的最大值是

七、针对性练习作业（分A 、B 、C 三个梯度）

一、选择题

A ：1、函数y 5123223+--=x x x 在区间]3,0[上的最大值和最小值分别为( )

A 、5，-15

B 、5，-4

C 、-4，-15

D 、5，-16

B ：2、已知函数)(x f 322+--=x x 在区间]2,[a 上的最大值为

415，则a 等于( ) A 、23- B 、21 C 、21- D 、23-或2

1 C: 3在区间]2,21[上，函数)(x f q px x ++=2与212)(x

x x g +=在同一点取得相同的最小值，那么)(x f 在]2,2

1[上的最大值为 ( ) A 、413 B 、4

5 C 、8 D 、4 二、填空题

B ：4、如果函数)(x f a x x +-=232

3在]1,1[-上的最大值是2，那么)(x f 在]1,1[- 的最小值是 .

B ：5、设函数)(x f 522

123+--=x x x ，若对任意]2,1[-∈x ，都有)(x f m >，则实数m 的取值范围是 .

C ：6、已知0>a ，且函数ax x y -=3在),1[+∞上是单调增函数，则a 的最大值

是 .

三、解答题

7、设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3.

（1）求)(x f 的单调区间和极值；

（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.

（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.