空中加油问题

论文题目：空中加油问题
参赛选手：
题目：空中加油的优化解法
[摘要]本文讨论了空中加油问题中如何获取最大的作战半径的加油方式。

首先我们通过逻辑推理，算出在总辅机数n 4情况下的最佳作战方案，找出其一般规律。

然后证明了对称性方法的最优性，求解时将辅机分为两类，一类专为飞机前进服务，第二类专为飞机返回
服务，通过对称性方法、逐层分析和对比，利用穷尽列举法，得出了在满足假设条件下，按照n取值不同而确定的最优作战方案，依据得出的数据结果，利用spss软件拟合函数，预测r关于n的渐进关系式。

接着在前两问的基础上，引进飞机可重复飞行的条出在n→∞时的
n
r。

在第4问中先通过图解法，件，通过对称性方法将模型简化为问题2的一种情况，求得
n
r。

最后以1架辅机确定另两个基地的位置，由于基地的不可移动性，联系问题3，讨论出
n
利用图解法，与前几问联系求出第5问的解。

期间用到的大部分模型都做出了选择或舍去的证明。

本模型虽然在假设条件的限制下有一定的约束性，可是其通过计算机穷尽列举的方法，在许多问题中都有所应用，具有普遍性，也不失为一种算法。

本模型对于其它运输规划问题有一定的参考价值。

关键词：图解计算机穷尽列举逐层分析渐进关系式
一、问题的重述
对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力。

为了简化问题，便于讨论，我们作如下假设。

设A 为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n 架加油机（简称辅机）。

主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L （公里）。

辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。

今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。

主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n 架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A 的最远距离。

显然当0=n 时，作战半径2/0L r =。

问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为n r 。

当4,3,2,1=n 时，求作战半径n r 。

问题2 在问题1的假设下，当4>n 时，尽你的可能求出n r （提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出n r 的上、下界； 讨论当∞→n 的过程中n r 与n 的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到n r 处）的必要条件或充分条件。

问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L 的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为n R ，讨论与问题1、问题2类似的问题。

问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,A A ，有n 架辅机，主机从基地A 起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A 降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且
可在任一基地降落。

其它同问题3的假设，讨论21,A A 的选址和主机的作战半径*
n R 。

问题5 设ABCD 为矩形，L AB 4=，L AD 2=，D B A ,,为三个空军基地，主机从A 起飞，到C 执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A 。

假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其它同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。

二、 模型假设
1． 辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油； 2． 辅机在同一时刻可以给多加飞机加油；
3． 油箱装满油后的最大航程为L ，为了便于计算我们以油量代替航程，假设一架飞机每公
里耗油量为1，即一架最大载油量为L ；
4． 假设飞机的航速为1；
5． 飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、空中加油的耗时均忽略不计；
三、 符号说明
i x ：第i 个加油点与基地的距离；
n r ：n 架辅机时的作战半径
L ：飞机最大航程或最大载油量
四、 模型建立与求解
问题1 问题分析：根据假设4，飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，我们不难得出，在辅机数量一定的情况下，要使主机航行最远，需使每一架飞机的油量都用于飞行，并且回到基地时无剩余。

根据条件：主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，使得辅机给主机加油只能有两种情况：○1与主机同时起飞在某一地点加过油后返回；○2接应主机，相遇后加油在与主机一起返回。

题目中要求求出n=1，2，3，4时的作战半径n r ，必须先确定此要求下的加油最优方式，
然后按照最优的加油方式分别求出结果。

根据最直观的想法我们让尽可能少的辅机在空中飞行，这要求辅机在接应主机时是陆续起飞的。

模型建立和求解： 补充假设：
（1）辅机可同时给其它飞机加油，并且有足够的油量使自己返回基地。

（2）某个加油机在某个地点给其它每架飞机的加油量相等（使送走的飞机的储油量最大），并且加完油后立即返回。

定理1（引理）：每次加油均将其它飞机油箱装满，所有返回基地时油量刚好用完的情况下作战半径最大。

证明：在每次加油未将其它飞机油箱均装满的情况下，设加油点为'i x ，我们知道所有飞机的油，要么用于主机飞行，要么用于辅机飞行。

即辅机飞行的越多主机飞行的越少。

第i 个辅机，其在没有其它辅机的接应情况下安全返回基地的条件
1
120i i i i k L T T x -=+--≥∑
i T 为
要使飞行距离最远，即i x 最大，则条件是应该取等号，即辅机返回基地时油量刚好用完。

又 1
1
2
i k i
k i L T T x -=+-=
∑
当存在第i 架飞机未将其它飞机油箱均装满的情况下返航，则由i T 减小推出'
i x >i x ,即辅
机总飞行距离增大，主机飞行距离减少。

证毕。

按照给出的最优加油方式，1k +架飞机一起起飞，到1x 点处辅机1w （第一架飞机）给其它飞机加满油并返回，则可视为i w 的油量用于1k +架飞机走完1x 的距离，即12
L x k =+。

那么对于辅机i w (i ≤k),有
11(3)()1i i i x k i x x --+-+-=
由类推关系式得
2
i iL
x k =
+ 主机在距离基地为2+k kL 处加完油，此时主机有两种选择，○1向前飞2
+k L
后自行返回；○
2由辅机接应返回。

当增加一架飞机时，对于第一种选择，其作战半径为(
)123
k k L
r k +'=
+， 当增加一架飞机时，对于第二种选择，由这一架飞机接应则有
12322
k kL L L kL k r k -++=++ 化简得
()112
6
k k L L
r k +=
++
显然
'
1k r <1k r
那么当增加i 架飞机时，其中i ≤k
对于第一种选择，其作战半径为'ki r =()21++++i k L
i k
对于第二种选择
ki r =
()2
1++k L k +
()
22+i iL
用数学归纳法容易证明ki r >'
ki r
显然ki r 是关于i 的单调递增函数。

那么，最优的加油方式是k 架辅机送主机，k 架辅机接主机。

但此时总的辅机数量n=2k 始终为偶数。

当n 为奇数时，最优的加油方式：
2
1
+n 架辅机送主
机，
2
1
-n 架辅机接主机。

在此种加油方式下 当n=2k 时
n r =
4+n nL +2
L
当n=2k-1时
n r =
()5
3++n L n +()()321+-n L n
则
()()()()
nL (2)
n 42
n 31215
23n L n k r L n L n k n n ⎧+=⎪+⎪=⎨
+-⎪+=-⎪++⎩（k=3，4，5，6…..）
1. n=1时， 主机与辅机同时起飞，辅机在位置1x 为处给主机加满油， 123
L
r =
.如图：
2. n=2时， 一辅机负责送主机，另一辅机负责接主机，这种方案满足同一时刻在空中飞行的辅机数量最少，则此时256
L
r =
.如图：
3. n=3时，两个辅机送主机一个辅机接主机，与一个辅机送主机两个辅机接主机情况相同（对称性原则）。

作战半径31112
L
r = 如图：
4. n=4时，两个辅机送，两个辅机接， 此时4L r =
结果如下表 1x
2x
3x
4x
n r n=1 1/3 2L/3 n=2 1/3 1/3 5L/6 n=3 1/4 1/2 1/3 11L/12 n=4 1/4
1/2
1/2
1/4
L
问题2
问题分析：
由第一问建立的模型对于n 比较小时是有积极意义的，但通过计算，当n>16时，增加飞机数对n r 的增大贡献不大。

并且这一模型有极值为1.5。

与实际有矛盾，那么，当15n ≥时，需要另外建立模型。

模型建立和求解： 按照第一问的结果
()()()()
nL (2)
n 42
n 31215
23n L n k r L n L n k n n ⎧+=⎪+⎪=⎨
+-⎪+=-⎪++⎩
当∞→n 时5.1→n r L ，显然当n 到达某个值之后，在增加辅机数对作战半径的增加贡献小到没有意义了。

那么，改进模型，假设存在辅机接辅机的情况，即递返模型。

如图，最上面的一层表示k 架辅机送主机，第二层表示k 架飞机被2k 送，以此类推 得出当有i 层时（不包括主机的最后一层）。

此时
2(1)2i n k =+-
()2
lg
2*lg 122
n n k L r L k
k +=
+++ 求导得，当k=1时n r 取最大值。

所以
2
lg
2lg 232
n n L L r +=
+ 以上只讨论了每一层均为k 送1的情况，而实际情况可以每一层的几送几是一个组合情况，例如最上面一层选择2送1，则倒数第二层可选择m 送3的情况，其中m 可取大于3 的符合组合数的整数，例如6，9，12等。

由此，当n 一定时，用穷举法列举出所有可能，求其使半径最大的最优解，就是最优方案，当n 过大时，在实际过程中难以实现，没有实际意义，并且计算量过于庞大，下面，我们用MATLAB6.5编程计算出当n ≤1200，有8个加油点，由于6送1到7送1时n r ∆很小，所以只讨论最多6送1的情况下的最优解。

（程序见附录） 将数据做处理后用spss10.0作出拟合曲线并作出图像如下：
结果显示其可绝系数2R=0.99194，拟合残差平方和为0.360665，拟合函数为r=0.448252ln
（n）+0.268119
拟合效果较好。

r处）的必要条件
最优作战方案（主机能够飞到
n
通过解题过程，基于对第一问和第二问的认识，我们认为判断一种作战方案是否为最优方案必须满足以下条件：
○1让尽可能少的辅机同时在天空飞行。

○2辅机可同时给其它飞机加油，并且有足够的油量使自己返回前一次加油地点。

○3每次加油均将其它飞机油箱装满，并且加完油后立即返回。

○4任意一架飞机返回基地时的油量为空。

○5送主机的辅机同时起飞。

问题3
辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12
L的
/
L
时间，我们取辅机的二次起飞间隔为
12
每架辅机可以多次上天，在不考虑二次起飞间隔时，就与问题2模型类似，相当于有2n 架飞机，其中n架为主机前进服务，n架为主机返航服务。

我们只以问题2中的1送1模型求解
由于所有送主机的飞机都是同时起飞，所以无论有多少层，只要一层的飞机可以二次起飞，则所有的飞机都可以。

当k 架飞机送主机时，第i （i ≤k ）架飞机的加油点（距离上一次加油点）为：
(1,2,3......)2
i iL
x k k =
=+ 则第i 架飞机最大等待时间
12(1,2,3......)222
i kL iL k i
t L L i k k k k +-=+--=+++
即：
12
i k i t k +-=+
则：
min 12
i t k =
+ 也就是说，当n ≤10时，不用考虑飞机二次起飞的时间间隔，它们都小或等于12
L
，可按照问题2中的情况讨论。

22
n kL L
r k =
++
当k>10时， 第10架以后的飞机都不能保证作战半径最大前提下按时起飞，因此可以减少主机在被第k 架辅机加油后飞行的距离，即主机提前返航，从而保证每架飞机都能二次起飞并接到主机。

由于辅机最大等待时间的最小值min 1
2
i t k =
+，如下图所示：
主机须在返航点不能超过B ，设放航点为C 点只要 min 1
212
i BC t ≥-所有辅机就都有足够的二次起飞时间，可得：
min 11()2122
L BC k =
-+ 则最大作战半径
k max max min i
222
kL kL L
r AC i BC k k =+=+-++ 即：
综上可得
n kL L k 10k+22
2+111r =+151024242i +111
+152424
k k k k k k ⎧
+≤⎪⎪
⎪>>⎨+⎪
⎪>⎪+⎩
当采用2中的递归模型时取k=1，i=
1lg
2lg 2
n + 通过计算可得到n=1～20的最大作战半径k r 见下表：
表1 最大作战半径n r
k max
k max 11
()2221222i +111
=
+k>10)
2424
kL L L r i k k k r k =+--+++化简得：
（
由于k>15时1lg
22
+111lg 2
+
152424
n n k r k k +=>+，显然当n →∞，n r →∞
问题4
为了获得最大的作战半径，我们将21,A A 与A 建在同一条直线上。

我们假定待建的空军基地位置一旦确定就不再变动，因此我们首先讨论n=1时的情况： 首先，我们将加油机始初位置置于1A
当主机飞向1A ，加油机来接应，此点主机将油全部用完。

其飞行路程为L ，在此地点接受第一次加油后同加油机一同飞至1A 。

在此时主机剩余油量
12
L
，在空中盘旋；加油机油量为零，在基地中；然后经
12
L
的时间后加油机飞出，将主机加满，然后飞回基地；主机仍盘旋与空中，12L 的时间后与,加油机再次将主机加满然后一同飞至2A 。

其油量分别为主机L ，加油机为L 1211，到2A 时，主机仍剩余
12L ，再次重复1A 时的做法，使油量为主机L ，加油机为L 12
11。

然后一
同飞行往F ，到达D 时，加油机将油加给主机，留足油量返回。

主机依旧向前飞行，到达F 返回，加油机再次去迎接，然后一同返回。

重复去时的过程。

详细过程如图：
其最大作战半径就为AF ，以飞行方式列出方程组：
L L DF L L
D A L L A A L L BA ⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
==++
=+=+212312
11
1221232211 求解得L AA 36471=,L A A 121121=,L AF 36109= n=1时，. L R 36
109
*1=
当n=2时，我们可以将一量加油机置于2A ，一量置于1A 。

因此主机与加油机1飞至一同飞至
2A 次过程同n=1。

然后问题相当于1辆主机2两主机从2A 往前飞，
n=2, L R 72
71
*2
= 这一阶段问题等同于问题3，但初始油量少
12
L
，缺少的要被均摊到加油机k 与主机上，为)
1(2+k L。

L L k L L k kL R n 36
80
)1(222*++-++=
(10≤k ) 当15>k >10时*
2+11180
24242(1)36
n k L R L L L k k =
+-+++
当*
1
lg
22
+11180lg 215+24242(1)36
n n k L k R L L k k +>=-+++
问题5 如图
5.1
情况○1，以最短时间到达C ，则必须沿路线AC 并且不能停止，即始终向前，利用递返模
型（k=1）求解，即
1
lg
2lg 232
n n L L r +=
+ 当n r
=时，解得n=7730 5.2
情况○2，用最少飞机到达C ，则必须充分利用基地B 和D ，由第4问，为了获得最长半
径基地最好在其飞行路线上，那么现在有两种飞行路线：
当飞机沿A →B →C 路线飞行时，由第3问的模型求解，需要主机相对于A ，B 的作战半
径为2L，由此对照第3问中的软件结果得总辅机数为48⨯3+1=145架，分配方式是，A点48架，B点97架。

当飞机沿A→D→C路线飞行时，由第3问模型求解，只研究D到C这一段路程就需要大于300架辅机。

已经大于第一种飞行路线所需的辅机数量，所以，飞行路线为A→B →C 的结果，那么依据假设条件，最少飞机为145架。

五、模型的评价和推广
本模型分为5个小问，每一问所包含的问题基本是要求选择最优的加油方式，这种问题在实际生活中有重要意义，基于问题的限制。

此模型还可用于空中运输，沙地推车等问题的解决，当然对于不同的限制条件与实际问题，此模型还需要修正，但其解题思想不变：优中选优，以求最优。

六、总结评价
优点：
○1本模型通过逐步证明求解，以发散式思想，在限制条件下不断优化加油方式，寻求最
优结果，这在思考方式上是一种创新。

○2整体的求解过程符合人的一般思考方式，简单易懂。

○3在计算过程中，将时间和油量都融入路程中，简化了模型。

改进:
问题条件中并未考虑到机垂直起飞、垂直降落、空中转向、空中加油的耗时，显然与实际有差距。

这是需要进一步解决的问题。

实际生活中，加油机的加油量一般比较大，这要求其总油量为kL（k R+
∈，k>1）,此时的
问题解决可在原模型上经过改进求解。

在有其它基地的情况下，最大作战半径并不一定能扫描到最大面积实际中，也是应该讨论的。

参考文献
[1] 雷功炎.数学模型讲义.北京：北京大学出版社，1999.
[2] 刘卫国,陈昭平，张颖.北京：高等教育出版社，2002.
附程序
clc
clear all
rzuo=[];
s=[];
v=[];
k=[];
g=0;
i=0;
rzuo(10000000)=0;s(1)=0;
for i1=0:6;
for i2=0:6;
for i3=0:6;
for i4=0:6;
for i5=0:6;
for i6=0:6;
for i7=0:6;
for i8=0:6;
z=i1./(i1+2)+i2./(i2+2)+
i3./(i3+2)+i4./(i4+2)+i5./(i5+2)+i6./(i6+2)+i7./(i7+2)+i8./(i8+2);
m=(i1+1).*(i2+1).*(i3+1).*(i4+1).*(i5+1)*(i6+1)*(i7+1)*(i8+1);
if z> rzuo(m)
rzuo(m)= z;
s(m)=m;
end
z=0;
m=0;
end
end
end
end
end
end
end
end
for t=1:5000000
if s(t)>0&s(t)<1200
g=g+1;
k(g)=rzuo(t);
v(g)=s(t);
if g>3
if k(g)<k(g-1)
k(g)=k(g-1);
end
end
end
end
v
k。