空中加油问题

论文题目：空中加油问题

参赛选手：

题目：空中加油的优化解法

[摘要]本文讨论了空中加油问题中如何获取最大的作战半径的加油方式。首先我们通过逻辑推理，算出在总辅机数n 4情况下的最佳作战方案，找出其一般规律。然后证明了对称性方法的最优性，求解时将辅机分为两类，一类专为飞机前进服务，第二类专为飞机返回

服务，通过对称性方法、逐层分析和对比，利用穷尽列举法，得出了在满足假设条件下，按照n取值不同而确定的最优作战方案，依据得出的数据结果，利用spss软件拟合函数，预测r关于n的渐进关系式。接着在前两问的基础上，引进飞机可重复飞行的条出在n→∞时的

n

r。在第4问中先通过图解法，件，通过对称性方法将模型简化为问题2的一种情况，求得

n

r。最后以1架辅机确定另两个基地的位置，由于基地的不可移动性，联系问题3，讨论出

n

利用图解法，与前几问联系求出第5问的解。期间用到的大部分模型都做出了选择或舍去的证明。本模型虽然在假设条件的限制下有一定的约束性，可是其通过计算机穷尽列举的方法，在许多问题中都有所应用，具有普遍性，也不失为一种算法。本模型对于其它运输规划问题有一定的参考价值。

关键词：图解计算机穷尽列举逐层分析渐进关系式

一、问题的重述

对飞行中的飞机进行空中加油，可以大大提高飞机的直航能力。为了简化问题，便于讨论，我们作如下假设。

设A 为空军基地，基地有一架作战飞机（简称主机）和n 架加油机（简称辅机）。主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为L （公里）。辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油。今主机要执行某作战任务（如侦察或空投），所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地。

主机的最大作战半径（简称作战半径）是指主机在n 架辅机的协助下所能飞到的（并安全返回）离基地A 的最远距离。显然当0=n 时，作战半径2/0L r =。

问题1 设飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，在上述假设下的作战半径记为n r 。当4,3,2,1=n 时，求作战半径n r 。

问题2 在问题1的假设下，当4>n 时，尽你的可能求出n r （提示：先假设辅机可以分为两类，第一类专为主机前进服务，第二类专为主机返回服务，再考虑一般情形），或给出n r 的上、下界； 讨论当∞→n 的过程中n r 与n 的渐近关系； 试给出判断最优作战方案（主机能够飞到n r 处）的必要条件或充分条件。

问题3 若每架辅机可以多次上天，辅机从机场上空降落及在地面检修、加油、再起飞到机场上空的时间相当于飞行12/L 的时间，飞机第一次起飞、转向、在空中加油的耗时仍忽略不计，此时的作战半径记为n R ，讨论与问题1、问题2类似的问题。

问题4 若另有2个待建的空军基地（或航空母舰）21,A A ，有n 架辅机，主机从基地A 起飞，向一给定的方向飞行，必须在基地A 降落，辅机可在任一基地待命，可多次起飞，且

可在任一基地降落。其它同问题3的假设，讨论21,A A 的选址和主机的作战半径*

n R 。

问题5 设ABCD 为矩形，L AB 4=，L AD 2=，D B A ,,为三个空军基地，主机从A 起飞，到C 执行任务（执行任务时间仍忽略不计）再返回A 。假设辅机起飞、降落的基地可任意选择，其它同问题3的假设，试按最快到达并返回和最少辅机架数两种情况给出你的作战方案。

二、 模型假设

1． 辅机可以对主机加油，辅机之间也可以相互加油； 2． 辅机在同一时刻可以给多加飞机加油；

3． 油箱装满油后的最大航程为L ，为了便于计算我们以油量代替航程，假设一架飞机每公

里耗油量为1，即一架最大载油量为L ；

4． 假设飞机的航速为1；

5． 飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、空中加油的耗时均忽略不计；

三、 符号说明

i x ：第i 个加油点与基地的距离；

n r ：n 架辅机时的作战半径

L ：飞机最大航程或最大载油量

四、 模型建立与求解

问题1 问题分析：根据假设4，飞机垂直起飞、垂直降落、空中转向、在地面或空中加油的耗时均忽略不计，每架飞机只能上天一次，我们不难得出，在辅机数量一定的情况下，要使主机航行最远，需使每一架飞机的油量都用于飞行，并且回到基地时无剩余。 根据条件：主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，使得辅机给主机加油只能有两种情况：○1与主机同时起飞在某一地点加过油后返回；○2接应主机，相遇后加油在与主机一起返回。

题目中要求求出n=1，2，3，4时的作战半径n r ，必须先确定此要求下的加油最优方式，

然后按照最优的加油方式分别求出结果。根据最直观的想法我们让尽可能少的辅机在空中飞行，这要求辅机在接应主机时是陆续起飞的。 模型建立和求解： 补充假设：

（1）辅机可同时给其它飞机加油，并且有足够的油量使自己返回基地。 （2）某个加油机在某个地点给其它每架飞机的加油量相等（使送走的飞机的储油量最大），并且加完油后立即返回。

定理1（引理）：每次加油均将其它飞机油箱装满，所有返回基地时油量刚好用完的情况下作战半径最大。

证明：在每次加油未将其它飞机油箱均装满的情况下，设加油点为'i x ，我们知道所有飞机的油，要么用于主机飞行，要么用于辅机飞行。即辅机飞行的越多主机飞行的越少。第i 个辅机，其在没有其它辅机的接应情况下安全返回基地的条件

1

120i i i i k L T T x -=+--≥∑

i T 为

要使飞行距离最远，即i x 最大，则条件是应该取等号，即辅机返回基地时油量刚好用完。

又 1

1

2

i k i

k i L T T x -=+-=

∑

当存在第i 架飞机未将其它飞机油箱均装满的情况下返航，则由i T 减小推出'

i x >i x ,即辅

机总飞行距离增大，主机飞行距离减少。

证毕。