2019年年上海高考数学理科试题及知识点解析

1
2012年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（56分）：
上海）计算：=_________（i为虚数单位）．1．（2012?
2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=
_________．
=的值域是_________．（2012?上海）函数f（x）3．
l的一个法向量，则l_________20124．（?上海）的倾斜角的大小为若=（﹣2，1）是直线
（结果用反三角函数值表示）．
的二项展开式中，常数项等于_________上海）在．5．（2012?
为公比的等比数列，体积分别记上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、6．（2012?（V+V+…
+V）═_________，则，为V，V…，V，…．n112n2
a||x﹣）上是增函数，∞+f（x）在区间[1，为常数））上海）已知函数．7（2012?f（x=e（a．若的
取值范围是_________．a则
的半圆面，则该圆锥的体积为π20128．（?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2
_________．
2（﹣+2x），则g=fxg1f+xy=f?（9．2012上海）已知（x）是奇函数，且（）=1，若（）（_________1）
=．
，若l）的直线与极轴的夹角a=02M?（10．2012上海）如图，在极坐标系中，过点（，的极坐
标方程写成将lρ_________=）θfθ=f（）的形式，则（．
11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ ．（结果用最简分数表示）
2
A=，边AB、AD的长分别为2ABCD中，∠、1，若M、12．（2012?上海）在平行四边形
，则的取值范围是_________、CD上的点，且满足．= N分别是边BC
（，5）、C0，0）、B（13．（2012?上海）已知函数y=fx）的图象是折线段ABC，其中A（（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________．
14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是
_________．
二、选择题（20分）：
2）x的实系数方程x+bx+c=0的一个复数根，则（15．（2012?上海）若i1+是关于 1 ﹣，c=．b =2b =﹣2，c=﹣1 DB．b=﹣2，c=3 CA．b =2，c=3 ．
22216．（2012?上海）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
45x、x、取值x、x、x，随机变量＜≤xx＜x＜x≤10，x=10ξ．17（2012?上海）设1051212153344
的概率也、、、的概率均为0.2，随机变量ξ、取值2均为0.2，若记Dξ、Dξ分别为ξ、ξ的方差，则（）2211A．ξ＞DξD 21B．ξ=DξD 21C．ξ
＜DDξ21D．ξ与Dξ的大小关系与x、x、x、Dx的取值有关422311
sin，S=a+a+…+a，在S，S，设（18．2012?上海）a=…S中，正数的个数是（）100n121n2n75 100 250 5 B．．C．D A．
分）74小题，满分5三、解答题（共．
3
19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E AD=2，PA=2，求：是PC的中点，已知AB=2，（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x ∈[1，2]）的反函数．
21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12
海里A处，如图，现假设：
失事船的移动路径可视为抛物线；①②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22 =1．2x中，已知双曲线?上海）在平面直角坐标系xOyC：﹣y2012．22（1轴围成的的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及C的左顶点引）过（1Cx11三角形的面积；
4
22；OP⊥OQl与圆x+y=1相切，求证：C（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若122到ON，求证：O、C上的动点，且OM⊥N3）设椭圆C：4x+y=1，若M、分别是C（212直线MN 的距离是定值．
，定义2x，n≥＜}，其中0＜x＜x…＜x上海）对于数集23．（2012?X={﹣1，x，，…，x n22n11
，，X}，使得若对任意，存在t向量集，Y={=（st），s∈X，∈则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x＞1时，x=1；1n（3）若X具有性质P，且x=1、
x=q（q为常数），求有穷数列x，x，…，x的通项公式．n2112
5
年上海市高考数学试卷（理科）2012参考答案与试题解析
：一、填空题（56分）．（i为虚数单位）=1﹣2i20121．（?上海）计算：
：复数代数形式的乘除运算。

考点：计算题。

专题﹣i，再由进行计算即可得到答案分析：
由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1
解答：解：2i
故答案为1﹣复数的四则运算是复数本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分
母都乘以分母的共轭，点评：考查的重要内容，要熟练掌握
（，1|﹣＜2}，则A∩B3?2．（2012上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x
交集及其运算。

考点：计算题。

专题：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定
义求出两个集合的交集即可得到答案分析：解答：，x＜3}2}={x|﹣1|＜﹣1＜解：由题意
A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x）（﹣，所以A∩B=3），3故答案为（﹣正确化简两个集合对解题也很重解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，本题考查交集的运算，点
评：要，要准确化简
的值域是．（?上海）函数fx）=20123．（
考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用。

专题：计算题。

分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．
解答：﹣sin2x
sinxcosx=﹣2﹣﹣）（解：fx==21
≤sin2x≤1∵﹣．
6
≤≤﹣sin2x∴﹣﹣﹣sin2x≤则﹣≤﹣2x）的值域是=
∴函数f（故答案为：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基点评：
础题．
arctan2的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（﹣2，1）是直线20124．（?l上海）若=．（结果用反三角函数值表示）
平面向量坐标表示的应用。

考点：
计算题。

专题：
可求出倾斜角．根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tan α分析：
解答：的一个法向量1）是直线l解：∵=（﹣2，=2 α得，tan），直线l的倾斜角为α∴可知直线l的一个方向向量为（1，2=arctan2
α∴arctan2
故答案为：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．点评：
．的二项展开式中，常数项等于﹣20125．（?160上海）在
二项式定理的应用。

考点：计算题。

专题：r，从而可求出常数项．的指数为0，得到相应的分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x解答：2r6rr6r﹣﹣r=3
可得﹣2r=0 x令6解：展开式的通项为T=x（﹣）=（﹣2）r+13160
2）=﹣常数项为（﹣160
故答案为：﹣本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．点评：
（2012?+V…）为公比的等比数列，体积分别记上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、6．
═．++VV，则…，，，V，为V…V（n2n112
数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。

：考点．
7
专题：计算题。

分析：为首项，以为公比的等比数，由等不数列的是以由题意可得，正方体的体积1=求和公式可求
解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则
为首项，以为公比的等比数列=1 ∴是以==…+v）则（V+V+n12
故答案为：
点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题
|xa|﹣7．（2012?上海）已知函数f（x）=e（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．
考点：指数函数单调性的应用。

专题：综合题。

分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）?[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围
|xa|﹣解答：（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数解：因为函数f（x）=e由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数
所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1
故答案为（﹣∞，1]
点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．
8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为
．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。

专题：计算题。

分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；
2 l=2，所以，l=4因为ππ，π2半圆的弧长为
8
r=1，，2πr=2π圆锥的底面半径为=所以圆柱的体积
为：．故答案为：．本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．点评：
2（﹣，则gx）+2，若g（x）=f（（．（2012?上海）已知y=f（x）+x是奇函数，且f1）=19 ．﹣
11）=
函数奇偶性的性质；函数的值。

考点：计算题。

专题：
）求值即可得到答案g（﹣11）=﹣3，再将其代入分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f （﹣2解答：，）=1f）+x是奇函数，且（1解：由题意，y=f（x23 ﹣）=解得f（﹣1））+1+f（﹣1+（﹣1）=0所以f（11 3+2=﹣1）+2=﹣（﹣所以g1）=f（﹣1
故答案为﹣本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值点评：
的方程，基本题型．
，若l）的直线与极轴的夹角a=上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0?10．（2012
．=（θ）=f将l的极坐标方程写成ρ（θ）的形式，则f
考点：简单曲线的极坐标方程。

专题：计算题。

分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．
解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ
中，利用正弦定理可知：POM在三角形=）θ（=fρ解
得．
9
故答案为：
以及余弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，点评：
想，属于基础题．
若每人都选择其中两个项目，铅球项目的比赛，三位同学参加跳高、跳远、?11．（2012上海）（结果用最简分数表示）则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是．
考点：古典概型及其概率计算公式。

专题：计算题。

分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．
解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球
三个同学共有3×3×3=27种
×=18有且仅有两人选择的项目完全相同有种×
个同学选择的项目，2表示3个同学中选表示从三种组合中选一个，其中表示剩下的一个同学有
2中选择
= 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是故答案为：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个点评：
数，属于基础题．
、12、，若M?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为．12（2012
，则的取值范围是[2，上的点，且满足5]=．分别是边NBC、CD
考点：平面向量的综合题。

专题：计算题。

分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
，）0，0（A，）0，2（B解：建立如图所示的直角坐标系，则解答：
10
==λ，λ∈（）[0，设，1]，D
（），，N M（2+））=（所以（2+）?
2=﹣λ﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，
2所以λ∈[0，1]时，﹣λ﹣2λ+5∈[2，5]．
故答案为：[2，5]．
点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．
（，5B）、C、）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）（13．2012?上海）已知函数y=f（x．x 轴围成的图形的面积为（0≤x≤1）的图象与（（1，0），函数y=xfx）
函数的图象。

考点：计算题；综合题。

专题：分析：
，y=xf（x）x根据题意求得（f）==，从而利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．
解答：
=，x）解：由题意可得，f（=，）∴y=xf（x设函数y=xf
（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，
22dx
）+10x10x（﹣dx+10xS=则．
×××+（﹣10）=10+10﹣+5= ﹣==．
故答案为：．
点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．
14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是
．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。

专题：计算题。

分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
EF=，，AB=a∴，所以EB==．×所以几何体的体积为：．故答案为：
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．
二、选择题（20分）：
2）x+bx+c=0的一个复数根，则（上海）若1+i是关于x的实系数方程15．（2012? 1 ﹣=2，c=Dc=﹣1 ．b =b﹣2，c=3 C．b=﹣2，A．b=2，c=3 B．
复数相等的充要条件。

考点：
计算题；转化思想。

专题：
2分析：的方程b整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，由题意，将根代入实系数方
程x+bx+c=0的值即可选出正确选项，b组，解方程得出a2解答：1+i是
关于x解：由题意的实系数方程x+bx+c=0
2+b+bi+c=0
i∴﹣1+2∴，解得b=﹣2，c=3
故选B
点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
222）sinC，则△ABC的形状是（＜?16．（2012上海）在△ABC中，若sinA+sinB 能确定D．不B．直角三角形C．钝角三角形A．锐角三角形
考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断。

专题：计算题。

分析：222222C ＜CA+sin由sinB＜sin，结合正弦定理可得，a+bc，由余弦定理可得CosC=可判断的取值范围
222解答：，sinsin解：∵A+sinB＜C222 c+ba由正弦定理可得，＜CosC=由余弦定理可得．
∴
∴△ABC是钝角三角形
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题
45x、、x、xx=10，随机变量ξ取值x、x（2012?上海）设10≤x＜x＜x＜x≤10，17．55314431122
的概率也，随机变量ξ、取值、、、的概率均为0.22均为0.2，若记Dξ、Dξ分别为ξ、ξ的方差，则（）2211A．ξ＞DDξ21B．ξ=DξD 21C．ξ＜DDξ21D．ξ与Dξ的大小关系与x、x、x、xD的取值有关412231
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。

专题：计算题。

分析：根据随机变量ξ、ξ的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ、ξ的取值的概率都为0.2，即2211可求得结论．
解答：解：由随机变量ξ、ξ的取值情况，它们的平均数分别为：21
= 且随机变量ξ=+（）+、+ξx=（+x+x+x+x）+，2431521的取值的概率都为0.2，所以有Dξ＞Dξ，21故选择A．
点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．
sin，S=a+a+…+a，在S，S，上海）．（2012?设a…=S中，正数的个数是（）1810021n21nn25 50 75 100 ．．CA．．DB
考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法。

专题：计算题。

分析：=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a，a，…，a＞0，a，a，…，a＜由于f（n）0，f5027125262=单调递减，a，a…a都为负数，但是|a|＜a，|a|＜a，（n）…，|a|＜a，从而可判断2449125262526250解答：=sin的周期T=50
（n）解：由于f由正弦函数性质可知，a，a，…，a＞0，a，a，…，a＜0 5022512627
=单调递减f（n且）sin，但是sin…a，a…a都为负数，但是|a|＜a，|a|＜a，…，|a|＜a 2425249125262650∴S，S，…，S中都为正，而s，s，…，s 都为正
5027262521．
14
同理S，S，…，s都为正，S，S，…，s，…，s都为正，10017575221故选D
点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
三、解答题（共5小题，满分74分）
19．（2012?上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E AD=2，PA=2，求：的中点，已知AB=2，是PC（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角。

专题：证明题；综合题。

分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；Rt△PAD中，利用勾股定理得到
，=（0，，，1）1）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E=各点的坐标，从而（2（，由此可得异面直线θ夹角满足：cosθ）2，0BC，利用空间向量数量积的公式，
得到=与所成的角的大小为AE与；
[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶
点的等腰直所成的角的大小为．，可得异面直线BC与角三角形，所以∠AEAEF=解答：
解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线
∴CD⊥平面PDC
∵PD?平面PDC，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形
AD=2，PA=2PAD中，，∵Rt△=2PD=∴
DC=2××PD ∴三角形PCD的面积S=（2）[解法一]
）1，，1（E，）0，2，2（C，）0，0，2（B如图所示，建立空间直角坐标系，可得．
15
2，0），=（0，∴=（11，，），=cosθ与= 夹角为θ=设，
则所成的角的大小为与θAE=，由此可得异面直线BC∴[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角
PC==4
△RtPAC中，∵PC=4
∴AE=PB= EF=BC=AF=，∵在△AEF中，222∴AF+EF=AE，△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△
所成的角的大小为AE ，可得异面直线BC∴∠与AEF=
点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．
20．（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1）
的取值范围；x，求1）＜x（f）﹣2x﹣1（f＜0）若1（．
16
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x ∈[1，2]）的反函数．
考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用。

专题：计算题。

分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；
（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．
解答：
）由解得：﹣1＜x（1＜1．解：＜＜10，1得：1 ＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg由0＜，＜10x+102，∴x+1＜﹣2x∵x+1＞0∴．
得：．由
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
y又∵x=3﹣10，
x∴所求反函数是y=3﹣10，x∈[0，lg2]．
点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．
21．（2012?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12
海里A处，如图，现假设：
失事船的移动路径可视为抛物线；①②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2（．
17
考点：圆锥曲线的综合。

专题：应用题。

分析：|AP|=的纵坐标，利用，即的横坐标，代入抛物线方程中，可得P（1）t=0.5时，确定P可确定救援船速度的大小和方向；
2（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t），从而可得
，整理得vt=，利用基本不等式，
即可得到结论．
解答：，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y=3．…2分解：（1）t=0.5时，P的横坐标x=7t=PP ，得救援船速度的大小为海里/时．由…|AP|=4分arctan
弧度．，得∠…OAP=arctan6∠OAP=，故救援船速度的方向为北偏东分由tan2（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t）．
，整理得．…10vt=分由22，当且仅当t=1时等号成立，所以v≥144×2+337=25因为，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分
点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．
22 y=1．xOy中，已知双曲线C：2x﹣22．（2012?上海）在平面直角坐标系1轴围成的的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x1）过C的左顶点引C（11三角形的面积；22⊥OQ；xl与圆+y=1相切，求证：OPQ于的直线（2）设斜率为1l交CP、两点，若122到O⊥CC、上的动点，且OMON，求证：分别是、，若+y：C3（）设椭圆4x=1MN212直线MN的距离是定值．
直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合。

：考点．
18
专题：计算题；转化思想。

分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出三角形的面积．
2=0．证明，通过求解PQ与已知圆相切，得到b=2（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线．PO ⊥OQ．当直线ON不垂直x垂直x轴时，直接求出O到直线MN轴时，设直线的距离为ON（3）当直线，利用y=，推出直线OM的方程为y=kx，（显然|k|，求出＞）ON的方程为：22222，|ON|d，通过（|OM|+|ON|）d=|OM|，，设O到直线OM的距离为d=．推出O到直线MN的距离是定值．求出
解答：：C（，1）双曲线解：左顶点A）（﹣1±y=渐近线方程为：x．
y=与渐近线x平行的直线方程为过y=（，即x+）Ay=，
，解得．所以
S=．所以所求三角形的面积为
y=kx+b，2）设直线PQ的方程为（与已知圆相切，故因直线PQ，
2，，由即b=2
22，1=0得x﹣2bx﹣b﹣，则，y））y，Q（x，设P（x，2112）．+b）（x+b=又yy（x211222222 2=0﹣．+2b1）xxy所以x=x+y=2x+b（+x+b=2（﹣﹣b）+b=b21121212故
PO⊥OQ．
．的距离为MN到直线O，则|OM|=，|ON|=1轴时，x垂直ON）当直线3（．
19
＞）|k|，轴时，设直线xON的方程为：y=kx，（显然当直线ON不垂直y=则直线OM 的方程为，由得，
所以．
同理，
设O到直线OM的距离为d，
22222因为（|OM|+|ON|）d=|OM||ON|，
==3所以，
d=．即
综上，O到直线MN的距离是定值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不
求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（2012?上海）对于数集X={﹣1，x，x，…，x}，其中0＜x＜x＜…＜x，n≥2，定义n12n21
使得，若对任意，，∈sX，t∈X}，向量集存在Y={=（s，t），则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x＞1时，x=1；1n（3）若X具有性质P，且x=1、x=q（q为常数），求有穷数列x，x，…，x的通项公式．n1122
考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题。

专题：计算题；证明题；综合题。

分析：中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），2中取=（x，），根据数量积的坐标公式，
可得）在（1YY所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．
）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数）2）取=（x，xt，=（s，（11集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x＞1时，x=1．1ni1﹣（3）[解法一]先猜想结论：x=q，i=1，2，3，…，n．记A═{﹣1，
x，x，…，x，n，…，3，k=2，}k21ki
20
i=qx也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出A具有性质P，则A通过反证法证明出引理：若ik+1k1﹣；…，n，2，3，，i=1，得到一正一负的特征，再记，
则s（，t）设=（s，t）等价于，[解法二]=2112B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x，﹣x，﹣x，…，﹣x}，共有n﹣1个数，所n423以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最
后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得k1k1﹣﹣，k=1，2，
3=q，…，==…n=，最终得到数列的通项公式是x=x?．（）1k解答：中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2bx，2），则Y，解：（1 ）选取=（又∵x＞2，∴只有b=2，从而
x=4．
，满足，可得（s+t）x=0，t）∈Ys+t=0，所以s2）∈）取=（x，xY、，设=（s，（111t异号．
因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，
假设x=1，其中1＜k＜n，则0＜x＜1＜x．n1k，满足，可得sx+tx=0，s，
t）∈Y再取=（x，x）∈Y ，设=（n1n1所以s、t异号，其中一个为﹣1
①若s=﹣1，则x=tx＞1≥x，矛盾；1n1②若t=﹣1，则x=sx＜s≤x，矛盾；n1n说明假设不成立，由此可得当x＞1时，x=1．1ni1﹣（2）[解法一]猜想：x=q，i=1，2，3，…，n i记A═{﹣1，x，
x，…，x}，k=2，3，…，n k12k先证明若A具有性质P，则A也具有性质P．kk+1
满足时，显然有t中出现﹣1 ，当，s、t∈As、任取=（s，t）k当s、t中都不是﹣1时，满足s
≥1且t≥1．
，使得，从而sA、t其中有一个为，st），P因为A具有性质s，所以有、t∈=（111k+111k+111
﹣=不妨设s﹣1，1A?，与≥xs∈A矛盾．）1，，则t=x．由（st）（﹣，x=0，得t∈假设tA，且s=tx kk+111k+1k+1k+11k+1k也具有性质AP．t所以∈A，从而kk11i﹣n 3x再用数学归纳法，证明=q，i=1，2，，…，i n=2时，结论显然成立；当1i﹣假设当n=k时，A═{﹣1，x，x，…，x}具有性质P，则x=q，i=1，2，…，k
i1kk2当n=k+1时，若A═{﹣1，x，x，…，x}具有性质P，则A═{﹣1，x，x，…，x}具有性质P，k1122kk+1k+12k1﹣所以A═{﹣1，q，q，…，q，x ．}k+1k+1．
21
，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣，并设=（s，t）∈Yq取=（x，）1
k+1=x1，则，不可能若t=﹣k+1jkk1ki1﹣﹣，i=1，2，3，…x=qt=q≤q且x≥q，n ，因此x=q 综上所述，x=q所以s=﹣1，ik+1k+1k+1，则设=（s，ts，等价于），
t）[解法二]=（2112B={|s∈X，t∈X且|s|＞记|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x，﹣x，﹣x，…，﹣x}，共有n﹣1个数．n234所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．
＜，已经有n﹣1＜＜＜…个数由于＜…，对以下三角形数阵：＜＜＜＜＜＜＜……
= …＞=＞=，所以注意到＞…＞k1k1﹣﹣，k=1，2，3，…）?=x从而数列的通项公式是x（，
=qn．1k点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。