求曲边梯形的面积
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Sn S1 S2 Si Sn
O
y
y=x2
1 2 n n
i 1 i n n
n 1 n
1
x
案例探究
2、近似代替(以直代曲） 思考3：对每个小曲边梯形
y
y=x2
i i f ( ) ( )2 n n
i 1 i 1 2 f( )( ) n n
1、分割
把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边 的垂线, 这样[0,1]区间 1 1 2 n 1 0, , , , ,1 分成n个小区间： n n n n
i 1 i 记第i个区间为 , i 1,2,, n n n i i 1 1 长度 : x n n n 对应的小曲边梯形面积为△Si
分割 以曲代直 求和 取极限
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的 函数值影响结果吗 ？
2. 在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值 作为近似值，结果也是一样的。
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
y
o
1
x
课堂小结
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想
方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
1.5.1曲边梯形 的面积
高二数学 选修2-2
第一章
导数及其应用
一,学习目标:
1、掌握曲边梯形面积的求法. 2、深刻理解化曲为直的思想.
3、初步认识定积分的概念.
二,重点:
1、曲边梯形的面积
2、化曲为直的思想 3、定积分的概念
三,难点:
化曲为直的思想及定积分概念
引入：
这些图形的面积 该怎样计算？
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
ba S lim f i n n i 1
n
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
y
近似代替
求和
y
取极限
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
学以致用
假设上半部分的抛物线 的方程为y 1 - x 2，x [0,1], 求抛物线部分的断面面 积。
o
1
x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y A
y A
oห้องสมุดไป่ตู้
B
x
o
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
∟
B
∟
x
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
y
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？
yx
2
o
1
x
案例探究
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
思维导航
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
（4）取极限 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n(2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 n i-1 1 1 1 1 1 S = lim Sn lim f( ) = lim (1 )(2 ) x 0 x 0 n n x0 6 n n 3 i 1 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的面积为 。 3 3
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
（3）求和
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
S S1 S2 Sn Si
情境创设
金门大桥 （美国）
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形。
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
y
yx
2
i 1 n i-1 1 i-1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n 1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6 n n
i i f ( ) ( )2 n n
如何“以直代曲”？
O
i 1 i n n
1
x
方案.
方案.. 方案… 方案….
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
深入思考 • 通过动画演示我们可以看出，n越大， 区间分的越细，各个结果就越接近真 实值。为此，我们让n无限变大，这 就是一个求极限的过程。
（2）近似代替(以直代曲）
O
y
y=x2
1 2 n n
i 1 i n n
n 1 n
1
x
案例探究
2、近似代替(以直代曲） 思考3：对每个小曲边梯形
y
y=x2
i i f ( ) ( )2 n n
i 1 i 1 2 f( )( ) n n
1、分割
把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边 的垂线, 这样[0,1]区间 1 1 2 n 1 0, , , , ,1 分成n个小区间： n n n n
i 1 i 记第i个区间为 , i 1,2,, n n n i i 1 1 长度 : x n n n 对应的小曲边梯形面积为△Si
分割 以曲代直 求和 取极限
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。
• （2）在近似代替时用小区间内任一点处的 函数值影响结果吗 ？
2. 在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值 作为近似值，结果也是一样的。
• （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？
y
o
1
x
课堂小结
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想
方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
1.5.1曲边梯形 的面积
高二数学 选修2-2
第一章
导数及其应用
一,学习目标:
1、掌握曲边梯形面积的求法. 2、深刻理解化曲为直的思想.
3、初步认识定积分的概念.
二,重点:
1、曲边梯形的面积
2、化曲为直的思想 3、定积分的概念
三,难点:
化曲为直的思想及定积分概念
引入：
这些图形的面积 该怎样计算？
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
ba S lim f i n n i 1
n
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
y
近似代替
求和
y
取极限
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
学以致用
假设上半部分的抛物线 的方程为y 1 - x 2，x [0,1], 求抛物线部分的断面面 积。
o
1
x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y A
y A
oห้องสมุดไป่ตู้
B
x
o
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
∟
B
∟
x
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
y
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？
yx
2
o
1
x
案例探究
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
思维导航
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
（4）取极限 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n(2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 n i-1 1 1 1 1 1 S = lim Sn lim f( ) = lim (1 )(2 ) x 0 x 0 n n x0 6 n n 3 i 1 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的面积为 。 3 3
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
（3）求和
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
S S1 S2 Sn Si
情境创设
金门大桥 （美国）
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形。
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
y
yx
2
i 1 n i-1 1 i-1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n 1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6 n n
i i f ( ) ( )2 n n
如何“以直代曲”？
O
i 1 i n n
1
x
方案.
方案.. 方案… 方案….
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
深入思考 • 通过动画演示我们可以看出，n越大， 区间分的越细，各个结果就越接近真 实值。为此，我们让n无限变大，这 就是一个求极限的过程。
（2）近似代替(以直代曲）