菱形问题分类例析

菱形问题分类例析

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动手操作折菱形

折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动,通过折纸可以得到许多美丽的图案,下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

一、从三角形纸片中折出菱形

例1、将一张三角形的纸片A ＢC 按照如下的折叠步骤进行折叠：

（1)将三角形的纸片ＡBC 沿过B 点的某条直线折叠，

使BC 与BA 重合,得到折痕与ＡＣ的交点D 。

（2）再将三角形的纸片ＡBC 沿某条直线折叠，使点B 与点Ｄ重合，得到折痕与BA 、B Ｃ的交点E 、F 。

则四边形EBFD 是菱形。

分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等,然后

熟练利用菱形的判定进行说理。本题说明四边形E ＢFD 是菱形的方法很多,下面一一予以说明。

解:由第一步折叠可知：∠ABD=∠CBD ，由第二步折叠可知:EF 垂直平分ＢＤ， ∴BE=DE,D Ｆ=ＢＦ，OD ＝OB, ∴∠A ＢＤ＝∠ED Ｂ． ∴∠EDB=∠ＣBD ．

又∵∠ＥOD=∠F ＯＢ,∴△EOD ≌△F ＯB,∴DE ＝BF . ∴ B Ｅ=ＤE=D Ｆ＝BF ．

∴四边形EBFD 是菱形（四边相等的矩形是菱形）. 二、从矩形纸片中折出菱形

例2、把一张矩形的纸ＡBCD 按照如下的折叠步骤进行折叠：

将矩形的纸片ABCD 沿某条直线折叠，使点Ｂ与点Ｄ重

合,得到折痕与AD 、B Ｃ的交点E 、Ｆ。

则四边形E ＢＦD 是菱形。

分析：虽然纸片不同,但方法同例1一样,说明四边形EBFD 是菱形的方法还有很多,下面只选一种予以说明。

解:由折叠可知：EF 垂直平分BD,∴BE ＝D Ｅ,ＤF=B Ｆ,O Ｄ=O Ｂ,

O 图

图

O

∴∠EB Ｄ=∠EDB ．

∵四边形ABC Ｄ是矩形，∴A Ｄ∥B Ｃ，∴∠E ＤB=∠F ＢD,又∵∠E ＯD=∠FOB ，∴△ＥOD ≌△FOB ，∴DE=BF ．

∴ BE=D Ｅ=DF=B Ｆ．

∴四边形ＥB ＦD 是菱形（四边相等的矩形是菱形)．

菱形中的计算题

在矩形中，常见的计算题有求线段的长,角的度数,图形的周长与面积等。菱形作为特殊的平行四边形问题，平行四边形的性质它都具有，同时还具有它本身所特有的性质,即菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。下面举例说明这些性质在解题中的应用。

一、求角的度数

例１、如图1，菱形ABCD 的一条对角线BD 长为1２

cm,周长为48㎝,求这个菱形的内角的度数。

解析：如图1,因为四边形ＡＢCD 为菱形,周长为48㎝， 所以AB=BC=CD=DA=12㎝, 又若BD=12㎝,所以ＡB=ＡD=ＢＤ， 所以 ＡBD 为等边三角形,所以∠A=60°， 所以又∠ABC=∠AD Ｃ =１20°，则∠Ｃ=60°。

例2、如图2，在菱形ＡBCD 中,∠B =∠E ＡF =６０°,∠ＢAE ＝20°,求∠CEF .

解析:连结AC .因为∠B ＝６0°,AB ＝BC , 所以△ＡBC 是等边三角形, 所以AB =AC ，∠BA Ｃ＝６0°，

因为∠CAF +∠CA Ｅ=60°，∠CAE +∠BAE =6０°, 所以∠ＢＡE ＝∠CA Ｆ.

图

A B D

F

C

E

图

因为四边形ABCD 是菱形，所以∠B ＣＤ=１8０°－∠B =1２0°,AC 平分∠ＢＣD , 所以∠ACF =60°,即∠B =∠ＡCF ，

在△ＡＢE 和△A ＣF 中,因为∠B ＝∠A ＣF ，AB ＝AC ,∠BAE ＝∠C ＡF , 所以△ABE ≌△ＡCF ,所以A Ｅ=ＡF ,

因为∠EAF =６０°,所以△ＡEF 是等边三角形,即∠ＡEF ＝6０°, 因为∠AEC ＝∠Ｂ+∠BAE =６0°+2０°＝80°， 所以∠CEF ＝∠AEC -∠AEF =８0°－6０°=２0°． 二、求线段的长

例３、菱形的周长为20㎝,相邻两角的度数之比为１：2，

求菱形的较短的对角线长。

解析:如图3,因为四边形ABCD 为菱形，则CD ∥AB ，所以∠Ａ+∠AD Ｃ=180°,又∠A:∠ADC=１:2,则∠Ａ=60°，又因为菱形的四条边相等,即A Ｂ=A Ｄ=5㎝,所以∆A ＢＤ为等边三角形,所以A Ｂ=B Ｄ=５cm,则菱形的较短的对角线长为5c ｍ。

三、求图形的周长

例4、如图４,菱形AB ＣD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是24

和10,则菱形的周长为 ,面积为 。

解析：由于菱形的两条对角线互相垂直平分，所以OA=12,O Ｂ＝5，所以AB=22OB OA +=22512+＝13,又菱形的四条边都相等,所以菱形的周长为52。

又菱形的面积为Ｓ△ＡBD +S △BC Ｄ=21ＢD ×OA+21B D ×ＯC=21B D ×（ＯＡ+ＯC ）＝2

1

ＢD ×AC=1２0。

由此可以得到,菱形的面积等于两条对角线积的一半。 四、求图形的面积

例5、如图５，菱形ＡBCD 中，AB=4,E 为ＢC 的中点，AE ⊥ＢＣ于E,AF ⊥ＣD

于点F,C Ｇ∥AE ，C Ｇ与ＡF 交于点H ，交AD 于点G (１）求菱形ＡBCD 的面积 （2）求∠CH Ａ的度数

解析:（1)连结A Ｃ，∵E 为BC 的中点，AE ⊥BC ，∴A Ｂ=AC ，

A

B

C

D

O

图

图

图