对顶角和三线八角

1
1 (6)
2
2 (7)
同位角
内错角
同旁内角
例8 如图，直线DE,BC被直线AB所截. （1）∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？ 解：（1）∠1与∠2是内错角，
A E
∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是 D F 4 2 3 同旁内角.
B 1
C
温馨提示：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线 所截.
A E
2 1 3
A D
4
E
2
1 3
D
4
B
F
图1
C
B
F
图2
C
(3)如图3,∠1与∠3是AB和AF被_____ DE 所截构成的内错角；
(4)如图4,∠2与∠4是AB 和 A 被BC所截构成的____ 同位角.
A E
2 1 3
F
E D
4 2 1
A
3
D
4
B
F
图3
C
B
F
图4
C
6.如图,直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°， OA平分∠EOC，求∠BOD的度数. 解：∵OA平分∠EOC, ∴∠AOC=
找出图中与∠2 互补的角. 解：∵ ∠1+∠2=180°
∠2+∠3= 180°
∴∠2的补角有∠1和∠3 E
1
4 3 5 6 2 8 7
∵ ∠5+∠8=180°，
∠5+∠6=180 °且∠2=∠5 ∴∠2的补角有∠6和∠8
三 同位角、内错角、同旁内角
交流与合作
若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线
b 2 （ 1 （ ） a 4
） 3
方法
掌握对顶角的性质是解题的关键!
• 变式训练： 1.若∠1+∠3= 60º ，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度 30º 、150º 、30º 、150º 数分别为________________________ 2.若∠2是∠1的 3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度 45º 、 135º 、 45º 、 135º 数分别为________________________ 3 .若 1: 2 = 2: 7 ，则∠1,∠2,∠3,∠4各个角的度
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
视频：寻找对顶角
视频：三线八角微课
课堂小结
对顶角 相交线所 成的角
对顶角相等
三线八角
同位角、内错角、同旁 内角
课后作业
见《学练优》本课时练习
1 2 1 1 2 1 2
2
A
B
C
D
归纳总结
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
1 2 1 1 2 1 2 2
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
总结归纳
角的名称 角的特质 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
截线:同侧 被截线:同旁
1 2
F
都在截 线同侧
同旁内角 截线:同侧
被截线:之间
A
3 D
B
应用格式：∵直线AB与CD相交于O点 ∴∠1=∠3.
想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它
测量角的原理吗？
对顶角相等
例2 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4
的度数. 解: ∵∠3=∠1, ∠1=40°, ∴∠3=40°, ∴∠2=180°－∠1=140°,
∴∠4=∠2=140°.
1( 2
不是
1(
是
2
1(
)2
不是
2.如图，∠DAB和∠ABC的位置关系是 （ C ） A.同位角 B.同旁内角 A D C.内错角 D.以上结论都不对
B C
E
3.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ D ）
4.如图,直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠AOC, ∠BOE的补角； (2)写出∠DOA, ∠EOC的对顶角； (3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
b O
D
G BA C
E
c O F D B H
图b
图c
⑴ 如图a，图中共有 2 对对顶角； ⑵ 如图b，图中共有 6 对对顶角； ⑶ 如图c，图中共有 12 对对顶角； ⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的 关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 n(n-1) 对对 顶角； ⑸ 若有10条直线相交于一点，则可形成 90 对对顶角.
数分别为________________________ 40º 、140º 、40º 、140º
例3 如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝ 40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数. 解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 所以∠2＝70°(等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”.
解:(1)∠AOC的补角是∠AOD和 ∠COB;∠BOE的补角是 E ∠EOA和∠BOF.
D
(2)∠DOA的对顶角是∠COB; A ∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°; C ∠COB=180°-∠AOC=130°.
O
B
F
5.看图填空：
（1）如图1,若ED,BF被AB所截,则∠1与____ ∠2 是同位角. （2）如图2,若ED,BC被AF所截,则∠3与___ ∠4 是内错角.
1 2
E
D
∠EOC=35°, A
C
∴∠BOD=∠AOC=35°.
O
B
7.根据地图显示填空：
学校与游乐场所在的角形
成一对（ 同位 ）角 学校与超市所在的角形成 一对（ 同旁内 ）角 学校与飞机场所在的角形
成一对（ 内错 ）角
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
A C a O
图a
D A B C
讲授新课
一 对顶角的概念
活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，
剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀 的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直 线所成的角的问题.
概念学习
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边
的 反向延长线 ，那么这两个角互为对顶角.图中
∠3 ∠1的对顶角是______.
学练优七年级数学下（JJ） 教学课件
第七章 相交线与平行线
7.2 相交线
第1课时 对顶角与三线八角
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 1.理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念；
2.掌握对顶角的性质，并能运用它的性质进行角的
运算及一些实际问题.（重点、难点）
导入新课
图片引入
你发现了什么？ 直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与
∠3互补吗？ 为什么？
解：(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那
么∠1=∠2.因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，又 因为∠1=∠4,所以∠4+∠3=180°,即∠1与∠3互补.
A D F 4 2 3
E
B
1
C
当堂练习
1.下列各图中， ∠1 ，∠2是对顶角吗？
二、内错角的概念 活动2 观察∠3与∠5的位置关系： ①在直线EF的两侧 内错角 ②在直线AB、CD之间
E
2
A C 3
1 4 6 5
B
3 5
7
8
F
D
图中的内错角还有哪些？
∠4和∠6
例5：如图，与∠1是内错角的是（ B A. ∠2
3 5
)
1 2 4
B. ∠3
D. ∠5
C. ∠4
归纳总结
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
例4：下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（ A
1 2 （ 1） A.(1)，(2) C.(1)，(2)，(3)
）
1 2
（ 2）
1 2
（ 3）
1 2 （ 4） B.(3)，(4) D.(2)，(3) ，(3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳总结
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
2
1
1
2
1 2
1
2
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
1 2 1 1 2 2 2 1
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
三、同旁内角的概念 活动3 观察∠4与∠5的位置关系 ①在直线EF的同旁 ②在直线AB、CD之间
E 2 A C 3 6 7 1 4 5 8 F D B 4 5
同旁内角
图中还有哪些同旁内角？ ∠3和∠6
例6：下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ A ）
C 2
猜想：对顶角相等
A
1
4O
3 D
B
思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关
系吗？
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3，
∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. 同理可得∠2=∠4.
C 1 4 2
O
A 5 8 6 7 E C
变式：∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角? 它们是什么关系的角?∠A与∠5呢?∠A与∠6呢?
练一练：识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角
1 2 (1) 1 (2) 2 2 (3) (4) 1 1 2 1 (5) 2
同位角
同位角
同位角
1 2 (8)
同位角
1 2 (9) 1 2 (10)
U
1 2
内错角
截线:两侧 被截线:之间
Z
都在被 截线之 间
这三类 角都是 没有公 共顶点 的.
典例精析
例7 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所 有的同位角,内错角,同旁内角. 解：两条直线是AB，AC，截线是 DE，所以8个角中，同位角：∠2 与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6 2 1 和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与 D3 4 ∠6；同旁内角：∠1与∠5，∠4与 B ∠6.
CD所截，构成了几个角？有什么特点？
E 1 A 4 3 6 B C
2
7 5 8 D F
简称“三线八角”
一、同位角的概念 活动1 观察∠1与∠5的位置关系： ①在直线EF的同旁（右边） 同位角 ②在直线AB、CD的同一侧（上方）
E 2 A C 1 4 6 7 5 8 F D 5 B 1
3
∠2和∠6；∠3和∠7； 图中的同位角还有哪些？ ∠4和∠8
C A 1
2
4O 3 D
B
典例精析
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ D ）
1 2 1
2
A
2 1 2
B
1
D C 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的， 只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
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二 对顶角的性质 在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为 180°，因而互为邻补角的两个角和为180°. 问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
• 变式训练：
1.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1 +∠5=180°
找出图中与∠1 相等的角.
2 1 4 5 8 6 7
解：∵ ∠1= ∠3（对顶角相等）
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180° ∴∠8= ∠1 A ∵ ∠8= ∠6（对顶角相等） C ∴∠6= ∠1.
3
F
2.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，