直线与平面垂直的性质定理

已知：a⊥α ， b⊥α
与直线a平行的直线
因为a // c, a ,

O
所以c
即经过同一点O的两条直线b，c都 垂直于平面，这是不可能的
因此a // b
直线和平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行.即： 线面垂直⇒ 线线平行
a
b
符号语言： a ，b a // b α
作用：证线线平行
练习1:设l为直线，α ，β 为平面， 若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关 系如何？
l
α β
练习2:设l为直线，α 、β 为平面， 若l⊥α ，l⊥β ，则平面α 、β 的位 置关系如何？
l α
β
例1 如图，已知 l , CA , 于点A， a , a AB, 于点B， CB C 求证：a // l .
(4)
转化关系：
判定定理 性质定理 线线垂直 线面垂直 线线平行． 定义 性质判定定理
思考： 四面体中，PA 面ABC , G是BC的动点（不含B, C） E是PG的中点，F在平面ABC上。 当F在哪个位置时，EF 面ABC ?
P
.E
C F
G
A
B
作业：P79：B组1,2
P E
N
A M B D
C
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分 别是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
P
N
A M B D Q
C
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分 别是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
知识回顾
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
2、直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 符号表示 m ,n a mnO a m a m, a n O n
探究：如果直线a，b都垂直于平 面 ，由观察可知a//b，从理论上 如何证明这个结论？
a b
α
已知：a⊥α ， b⊥α
源自文库
求证：a∥b．
反证法
问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？
否定结论→推出矛盾→肯定结论
求证：a∥b． 证明: 假设b不平行于a, 反证法 a b 设 b O, c是经过点O c
P E
N
A M B D
C
练习：1.判断下列命题是否正确
• （1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行 （ ） • （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行 （ ） • （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平 面垂直，则这两条直线互相垂直 （ ）
2.已知直线a, b和平面，且a b, a , 则b与的位置关系是
线线垂直

线面垂直
关键：线不在多，相交则行
3、如何判定线面垂直？
1、定义 2、判定定理
3、例１的结论：如果两条平行线中 的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个一平面
• 在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树 ， 它们像 哨兵一样守卫着祖国的疆土．一排排的白杨树都与地面 垂直，如果把这些白杨树看成直线，地面看成平面，则 这些直线之间存在什么位置关系呢？
β 点评:直线与平面垂直的性质定 理给出了判断两条直线平行的另 一种方法，即“线面垂直，则线 线平行”，它揭示了“平行”与 “垂直”的内在联系．证明线线 平行可转化为线面垂直，即转化 为证明这两条直线同时垂直于一 个平面. B α l A a
例2、如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分 别是AB,PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
课堂小结： 直线与平面垂直的性质
如果直线和平面垂直，则这条直线和这个 ⇒l⊥b； 平面内的 任意一条直线垂直 (1) b⊂α
l⊥α a⊥α
α∥β a⊥α
(2)
(3)
⇒a∥b； b⊥α
⇒a⊥β； a⊥α ⇒α∥β. a⊥β
垂直于同一平面的两条直线互相平行 如果一条直线与两平行平面中的一个 垂直则与另一个平面也垂直 垂直于同一条直线的两个平面互相平行