积分中值定理的推广及其应用

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摘要······································································错误!未定义书签。关键词······································································错误!未定义书签。Abstract····································································错误!未定义书签。Keywords··································································错误!未定义书签。前言·········································································错误!未定义书签。

1.积分中值定理 (1)

1.1 积分第一中值定理 (1)

1.2积分第二中值定理 (2)

2积分中值定理的推广 (4)

2.1 积分第一中值定理的推广 (4)

2.2 积分第二中值定理的推广 (6)

3积分中值定理的应用 (8)

3.1积分第一中值定理的应用 (8)

3.1.1用于确定数列极限 (8)

3.1.2用于确定函数极限 (8)

3.1.3用于判别级数的收敛性 ·······························错误!未定义书签。

3.2积分第二中值定理的应用····································错误!未定义书签。

3.2.1定理的直接应用 ········································错误!未定义书签。

3.2.2积分第二中值定理在不等式中的应用·············错误!未定义书签。参考文献···································································错误!未定义书签。

积分中值定理的推广及其应用

摘 要：本文根据讨论积分中值定理及其若干改进与推广形式,结合积分中值定理及其推广形式的相关证明,例举了积分中值定理的一些典型应用.

关键词：积分中值定理;推广;应用

The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading and

Application

Abstract: This paper discusses the integral mean value theorem and its improved and promoted form, combining the integral mean value theorem and its promoted form, and giving examples for its typical applications. Keywords : the integral mean value theorem ；spreading; application

前言

积分中值定理是数学分析中的一个基本定理之一，对一元函数的积分中值定理进入了深入讨论，更加深对此问题的理解，同时对于学习重积分及曲线曲面积分的中值定理都有很大的意义.

本文将借助积分上限函数的性质及微分中值定理证明积分中值定理，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,使我们对它有了更深一层的理解.

1.积分中值定理

1.1 积分第一中值定理

定理1 若()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点[],a b ξ∈,使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰.

证 由于()f x 在[],a b 上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由

()[],,m f x M x a b ≤≤∈,

使用积分不等式性质得到

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-⎰,

或

()1b

a m f x dx M

b a

≤

≤-⎰. 再由连续函数的介值性，至少存在一点[],a b ξ∈,使得

()()1b

a

f f x dx b a ξ=-⎰,

即有

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰.

定理2 若()f x 在[],a b 上连续,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰.

证 由于()f x 在[],a b 上连续，从而()f x 在[],a b 上可积.设其原函数为

()F x ，则根据原函数存在定理可知，()F x 在[],a b 上连续，且()F x 在[],a b 上可导，由由拉格朗日中值定理知存在一点(),a b ξ∈使得，

()()()

F b F a F b a

ξ-'=

-，

则得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰．

显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些,这不仅是由于在很多应用中要用到这个“内”字,而且也与微分中值定理的叙述相一致. 1.2积分第二中值定理

积分中值定理无论在理论上还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面给出该定理与其证明.

定理3 设函数()f x 在[],a b 上可积，()g x 在[],a b 上单调且在,a b 上连续，那么存在一点[],a b ξ∈，使得()f x 在[],a b 上可积

()()()()()()b

b

a a f x g x dx g a f x dx g

b f x dx ξξ

=+⎰⎰⎰. ()1