仿射变换

第2章 仿射变换
2．1 平行射影 知识点解析
平行射影：对应点之间的连线互相平行．
平行射影与方向有关，方向变了，就得出了另外的透视仿射． 仿射对应：有限次平行射影的复合就是一个仿射对应． 仿射变换：平面π到自身的仿射对应，称为仿射变换．
平行射影把点映成点，把直线映成直线，这叫做平行射影的保持同素性． 点与线的结合性质在平行射影下保持不变．
仿射对应也保持同素性与结合性．即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线．若A 在
a 上，则A '在a '上．
注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过来，平行射影一定是仿射对应．
解题指导 练习２－１
１． 试举例说明在一般仿射对应下，二直线上的对应点的连线不一定是平行的． 解 设1T 为1a 到2a 的平行射影，2T 为2a 到3a 的
平行射影，取3a 为1A 到2A 的延长线，取2A 与3A 重合，显 然，在1a 到3a 的仿射对应3112:a a T T →下，直线1a 和3a 上 的对应点的连线31A A 和31B B 不平行．
２．在仿射对应下，若对应点之间连线相互平行，试问仿射对应是不是平行射影？ 解 由平行射影定义，对应点之间的连线平行于已知直线l ，即与方向l 平行，又因为对应点之间的连线平行，所以，对应点之间的连线都平行于方向l ，因此，是平行射影．
３．在仿射对应下，圆的象是什么？ 解 椭圆．
２．２ 仿射不变性与不变量
1
A 2A 3A 1a 2
a 3
a 1
B
2
B 3
B 题图
第1
经过平行射影不改变的性质和数，叫做仿射不变性质和仿射不变量． 经过仿射对应，它们也是不变的． 同素性和结合性都是仿射不变性质． 仿射对应把共点的线变成共点的线． 仿射对应把共线的点变成共线的点．
定理２．１ 二直线间的平行性是仿射不变性质．即，两条平行直线经过仿射对应后仍然是平行直线．
推论２．２ 平行四边形在仿射对应下还是平行四边形．即，平行四边形经过仿射对应后仍然是平行四边形．
定义２．１ 简比（单比）．
BC
AC
ABC =
）（ 有向线段的数量之比． （１） 当C 在A ，B 之间时，0)(<ABC ； （２） 当C 在A ，B 之外时，0)(>ABC ； （３） 当A C =时，0)(=ABC ； （４） 当B C =时，∞=)(ABC ．
定理２．３ 共线三点的简比是仿射不变量．即，共线三点的简比在仿射对应下不变．
定理２．４ 两条平行线段的比是仿射不变量．即，两条平行线段的比在仿射对应下不变．
定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．即直线上两条线段的比在仿射对应下不变．
注意：一般地，任意两条线段的比，不是仿射不变量．即，如果两条线段不平行，则它们的比在仿射对应下会改变．
定理２．７ 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．
推论２．８ 任意两个多边形面积之比是仿射不变量．因此，任意两个图形面积之比是仿射不变量．
A B C
图
定义1.2
补充题 证明定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．
证明 如图，D
C D A CD AD '''
'=
， 其中 CD CD BC AB CD AD ++=
11+'
'''+=++=D C C B CD AB CD BC CD AB 1+'
'''+''''=''''+''+''=''''D C C B D C B A D C D C C B B A D C D A
所以
D C B A CD AB '
''
'=
． 练习２－２
１．证明：三角形的重心具有仿射不变性．
解 因为共线三点的简比具有仿射不变性，所以，仿射对应把三角形中点变成中点；同素性和结合性都是仿射不变性质，仿射对应把共点的线变成共点的线，仿射对应把共线的点变成共线的点，所以，仿射对应把三角形的重心变成三角形重心．
２．证明：平行四边形的重心具有仿射不变性． 解 同第１题．
３．证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．
解 因为二直线的平行性是仿射不变性，所以，仿射对应把梯形的上下底变成梯形的上下底，因此，梯形在仿射变换下仍然变成梯形．
４．证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．
解 将多边形划分成n 个三角形1S ，Λ,2S ，n S ，对应的划分得到对应的三角形1
S '，Λ,2
S '，n S '，由定理２．７，在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量，所以有
k S S S S S S n
n ='=='='Λ22
11，于是
)(2121
21n n n S S S k S k S k S k S S S '++'+'='++'+'=+++ΛΛΛ 即
k S S S S S S n n
='++'+'+++ΛΛ2
121
A B C D
A '
B '
C '
D '
补充题图
所以，任意两个多边形面积之比是仿射不变量．
５．已知平面上的一条定直线l ，P 为平面上的任意一点，P 点的对应点P '是点P 关于直线l 的对称点，这种变换称为反射变换，定直线叫做它的轴．试证明：反射变换是仿射变换．
解 因为平面上关于反射轴的对称点是唯一确定的，反射变换是平面到自身内的一一对应，所以，由仿射变换的定义，反射变换是仿射变换．
２．３ 仿射变换的代数表达式
知识点解析
定理2．9 在仿射坐标系下，设共线三点A ，B ，C 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，
),(33y x ，则三点的交比为
2
313231
3)(y y y y x x x x BC AC ABC --=--==
定理2．１０ 不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换．（见习题２－３第４题）． 解题指导 练习２－３
１．在仿射坐标系下，证明直线的方程是一次方程． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式 ⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y
a x a a x 22211211
［技巧］设直线方程b x k y '+'='，将仿射变换代入． 这时，得
b y a x a a k y a x a b '+++=++)(12112221 整理得
12
2212222111ka a b b ka x ka a a ka y -'
+-+--=
可见，仍为直线方程，即一次方程．
２．求使三点)0,0(，)1,1(，)1,1(-的对应点分别为)3,2(，)5,2(，)7,3(-的仿射变换
式．
解 ［关键］ 将每对对应点分别代入仿射变换公式
⎩
⎨
⎧++='++='y a x a b y y
a x a a x 22211211 ［注意］ 仿射变换把点),(y x 变成),(y x ''时，有
⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y
a x a a x 22211211 将每对对应点分别代入仿射变换公式
⎩
⎨
⎧++='++='y a x a b y y
a x a a x 22211211 得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=++=++===22
211211222112
11735232a a b a a a a a b a a a b a
解得
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-====6
2142
1322212
2111a a a a b a
代入仿射变换式，得所求的仿射变换式
⎪⎩⎪⎨⎧+-='-+='
y
x y y
x x 64321212
３．利用仿射变换的表达式证明：直线上三点的简比是仿射不变量． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式
⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y
a x a a x 22211211
设三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22
y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y
a x a a x 22211211 得
3223213
2222212
1221211
3123113
2122112
1121111
y a x a b y y a x a b y y a x a b y y a x a a x y a x a a x y a x a a x ++='++='++='++='++='++='
于是
)
()()()(23122311131213112313
y y a x x a y y a x x a x x x x -+--+-='-''-' （*） 由定理２．９，
k x x x x y y y y =--=--2
31
32313
即，)(2313y y k y y -=-，)(2313x x k x x -=-，代入（*）式得
k y y a x x a y y k a x x k a x x x x =-+--+-='-''-')
()()()(23122311231223112313
同理
k y y a x x a y y k a x x k a y y y y =-+--+-='-''-')
()()()(23222321232223212313
所以
231323
13
x x x x y y y y '-''-'='-''-'
即，直线上三点的简比是仿射不变量．
４．利用解析方法证明：不共线的三对对应点决定一个仿射变换．
证明 ［关键］ 利用仿射变换的式
⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y
a x a a x 22211211
设不共线的三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22
y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨
⎧++='++='y
a x a
b y y a x a a x 22211211 得
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧++='++='++='++='++='++='3223213
312311322222122122112
1221211
1121111
y a x a b y y a x a a x y a x a b y y a x a a x y
a x a
b y y a x a a x 注意：三对对应点的坐标为已知数，a ，b ，11a ，12a ，21a ，22a 为未知数，写成矩阵形式为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''''''2221121133332222111133221110
00
0011000000110000001a a b a a a y x y x y x y x y x y x y x y x y x 记作
AX b =
计算得
2
12131312)])(())([(y y x x y y x x A ------= 这里0≠A ，因为如果0=A ，则
0))(())((12131312=-----y y x x y y x x
即
1
21
31213x x x x y y y y --=--
这时),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 三点共线，与已知这三点不共线矛盾． 所以0≠A ．于是，方程组AX b =有唯一解．即，不共线三对对应点决定一个仿射变换．
５．利用仿射变换导出椭圆
122
22=+b
y a x 的面积公式． 解 仿射变换把圆变成椭圆． 如图．由推论２．８，任意两个 图形面积的比是仿射不变量，有
C B A ABC
S S S S '
''∆∆=
椭圆圆
b a r
r S r ⋅⋅⋅⋅=22
1
221
2
椭圆π
于是
ab S π=椭圆．
２．４ 仿射变换的特例
知识点解析 １． 平移变换
把点),(y x P 平移到点),(y x Q ''，坐标关系式为
⎩
⎨
⎧+='+='b y y a
x x 平移变换保持线段的长度不变． ２．
旋转变换
以原点)0,0(O 为旋转中心，旋转角为θ，点),(y x P 旋转后变成),(y x P '''，坐标关系
题图
第5
式为
⎩⎨⎧+='-='θ
θθ
θcos sin sin cos y x y y x x
其中
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A
满足I A A A A ='='，即，A 为正交矩阵． ３． 反射变换
在平面上取一定直线l ，使平面上的点P 对应到它关于直线l 的对称点P '，这样的变换叫做反射变换．
直线l 上的点都是自对称点，称为反射变换的不动点． 直线l 称为反射对称轴． 坐标关系式为
⎩⎨⎧-='='y
y x
x
４．
位似变换
在平面上取一定点O 和一个非０常数k ，使O 对应自己，其它的点P 对应P '，三点O ，
P ，P '在一条直线上，简比为k P OP =')(，
⎩⎨
⎧='='ky
y kx
x
位似变换把直线变成与之平行的直线，把图形变成相似形． 解题指导 练习２－４
１．求把点)3,0(变为点)4,2(-的平移变换，并将平移变换作用于曲线
06432=--+y x x ．
解 ［关键］ 将)3,0(P 和)4,2(-'P 代入平移变换公式
⎩⎨
⎧+='+='b
y y a
x x ．
得
⎩⎨⎧+=+=-b
a
3402
解得
⎩
⎨⎧=-=12
b a
于是，所求的平移变换为
⎩
⎨⎧+='-='12
y y x x
将平移变换作用于曲线06432
=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧+='-='1
2
y y x x 的x ，y 解出来
代入06432
=--+y x x ，代入得
08472
=+'-'+'y x x
２．求把点)3,2(-变为点)3,2(-的旋转变换，并将旋转变换作用于曲线
06432=--+y x x ．
解 把)3,2(-P 和)3,2(-'P 代入旋转变换公式
⎩⎨⎧+='-='θ
θθ
θcos sin sin cos y x y y x x
得
⎩
⎨⎧+-=---=θθθ
θcos 3sin 23sin 3cos 22
解得
0sin =θ， 1cos -=θ 再代入旋转变换公式得
⎩
⎨⎧-='-='y y x
x
将这个变换作用于曲线06432
=--+y x x ，就是将变换⎩⎨
⎧-='-='y
y x
x 的x ，y 解出来代
入06432=--+y x x ，代入得
06432=-'+'-'y x x
３．求中心在原点，半轴分别为1和２并以直线025=-y x 为对称轴的椭圆方程． 解 1=a ，2=b ，中心在原点的椭圆方程为
142
2=+y x
对称轴为025=-y x ，即x y 52
=，这时，
25
tan ==θk
于是
292
tan 11
cos 2=+=θθ，
295
cos 1sin 2=-=θθ，
所以，旋转方程为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-='29
2295
29
5
292y x y y x x
于是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='+'=29
229529
5
292y x y y x x 代入142
2=+y x ，得
0116601044122=-''+'+'y x y x ．
４．证明：位似变换把直线变成直线．
证明 ［关键］设直线b ax y +=，从位似变换⎩⎨⎧='='ky y kx x 中解出x ，
y 代入直线
b ax y +=内．
代入得
kb x a y +'='
显然仍为一条直线．
５．证明：位似变换把直线变成与自己平行的直线．
证明 由第４题结果可知，位似变换把直线b ax y +=变成直线kb x a y +'='，因为斜率都为a ，所以二者平行．。