工科数学分析课件 Chap6第3节 有理函数的不定积分

dt
(t 2
t a2
)n
2n
t2 a2 a2 (t 2 a2 )n1
dt
(t 2
t a2 )n
2nIn
2na 2In1
I n 1
1 2na 2
(t 2
t a2 )n
(2n
1)In
I1
dt a2
t2
1 arctan t
a
a
c
递推即可
例1 求积分
x
(
1 x
1)2
dx
.
特殊函数的积分
1 x(x
1)2
1 x
(x
1 1)2
x
1
. 1
特殊函数的积分
(1
1 2x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2 x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
Bபைடு நூலகம்
2C
0,
A C 1,
+
K x + Lm x2 + px + q
+
K-1 x + L-1 x2 + px + q -1
++
K1 x + L1 x2 + px + q
+
+
Mv x + Nv x2 + rx + s
v
+
Mv-1 x + Nv-1 x2 + rx + s v-1
++
M1x + N1 x2 + rx + s
q
dx
M 2
ln( x2
px
q)
b arctan a
x
a
p 2
C;
(2)
n 1,
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a
2
)n1
b
(t
2
1 a
2
)n
dt
.
记 In
dt (t 2 a2 )n 分部积分
特殊函数的积分
In
(t 2
t a2 )n
2n
(t 2
t2 a2 )n1
-
1 2
t t2
+1 +1
= 6t - 3ln t + 1 - 3 ln t 2 + 1 - 3arctant + c 2
x
x
x
= x - 3ln 1+ e6 1+ e 3 - 3arctane6 + c.
特殊函数的积分
三角函数有理式的不定积分
5)2 d (
x2
2x
5)
(
x
2
8 2x
5)2
dx
I2
(t 2
1 a2)2
dt
1 2a2
t2
t
a2
I1
特殊函数的积分
x2
dx
2x
2
5
dx
x -12 4
2
d x -1 x -12 4
u
2
x
1
du
u2 42
,
du u2 4
u
u2 4
2
u2 du u2 4 2
u
u2 4
2
du
u2 4
-
8
du
u2 4
2
.
因此
du u2 + 4
2
=
1 8
u u2 + 4
+
du u2 + 4
=
1 8
u u2 + 4
+
1 2
arctan
u 2
+
c
所以
5x + 3 x2 - 2x + 5
2
dx
=
-
5 2
x2
-
1 2x
+
5
+
x2
A B (3A
1, 2B)
3,
A
B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
特殊函数的积分
x(
1 x1)2
A x
(x
B 1)2
C x
1
,
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
.
其中各个Ai , , Bi , Ki , Li , Mi , Ni都是实数,且分解式中所有系数 都是惟一确定的.
特殊函数的积分
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x2
x3 5x
6
(x
x3 2)( x
3)
A x2
B x
, 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
解
x(
1 x
1)2
dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln
|
x
|
x
1
1
ln
|
x
1
|
C
.
特殊函数的积分
例2
(
x
2
5x 2x
3
5)2
dx
解
(
x
2
5x 2x
3
5)2
dx
5 (2x 2) 8
2 (x2
2x
5)2
dx
5
2
(
x2
1 2x
x2 px q
......
x2 rx s
v
,
其中a, , b, p, , q, r , s为实数, , , , , , v为整数,
则有下面分解形式:
R x
=
P x Q x
=
A
x - a
+
A -1
x - a-1
++
A1
x -a
+ +
B
x - b
+
B -1
x - b-1
++
B1
x -b
2
4
令x p t 2
a2
特殊函数的积分
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
dt
特殊函数的积分
(1)
n 1,
Mx N x2 px
例如
x5 1- x2
x5 - x3 1- x2
x3
-x3
x3 - x 1- x2
1
x -x
2
-x3
-x
x 1- x2
.
特殊函数的积分
定理3.1（有理函数的分解定理）
设R
x
P Q
x x
为 一 个 真 分 式 ,其 分 母 有 分 解 式
Q x x - a ..... x - b
x-1 - 2x +
5
+
1 2
arctan
x2
1
+
c.
特殊函数的积分
例3 求
dx
x
x
x
1+e2 +e3 +e6
x
解 令t = e 6 , 则
dx
x
x
x =6
1+ e2 + e3 + e6
t
dt 1+ t3 + t2 + t
=
6
t
t
+
dt
1
t2
+
1
=
6
1 t
-
1 2
t
1 +1
§3 有理函数的不定积分
特殊函数的积分
有理函数的不定积分 定义5.1 形如R( x) P( x)的函数,称为有理函数,
Q( x) 其中P( x)和Q( x)分别是多项式, 若P ( x)的次数大于 Q( x)的次数，则R( x)为假分式，否则为真分式.
任何一个假分式可以分解成一个多项式和一个真分式之和
A
4, 5
B
2,C 5
1, 5
(1
1 2 x )(1
x2)
1
4
5 2x
2x 5 1 x2
1 5
.
特殊函数的积分
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
(3)
(
x
Mx 2 px
N q
)n
;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,
x2 px q x p 2 q p2 ,