系统降维观测器设计的推导
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当 D 0 时，系统降维观测器设计的推导 对于完全可观测系统
X AX BU Y CX DU
（1）
任选矩阵 R ，使得
C P R nn R ，且为非奇异
记 P 的逆为 Q ，并分块为：
Q P1 Q1 Q2
， Q1 R
^
（12）
原系统的降维状态观测器的所得估计值 x 为：
x P 1 x [Q1 Q2 ] x
^ ^ ^
^
（13）
( A22 EA12 ) z [( A22 EA12 ) E EA11 A21 ] y [( Eபைடு நூலகம்12 A22 ) ED EA11D EB1 A21D B2 ]u
（11） 至此，状态向量 x 的估计值就可以由下式给出
^ x y Du I 0 y D x ^1 * *u z Ey EDu E I z ED x2
x2 ( A22 EA12 ) x2 Ew u
（8）
下面将 w 和 u 的表达式分别代入上式，可得：
1 EA11 x1 EB1u A21 x1 B2u x2 ( A22 EA12 ) x2 Ex
（9）
考虑到 y x1 Du ，即 x1 y Du ，所以上式可进一步化为
z x2 E y EDu ( A22 EA12 ) x2 EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
( A22 EA12 ) ( x2 Ey EDu ) ( A22 EA12 ) Ey ( A22 EA12 ) EDu EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
nq
CQ CQ2 C PQ * Q1 Q2 1 I RQ1 RQ2 CQ I R 则由 可得 1 q ， CQ2 0
对被观测系统进行坐标变换：
x x Px 1 , x1 R q x2 可得
y Cx CP 1 x CQ1 CQ2 x Iq 0 x x1
（2）
A A PAP 1 11 A21
A12 A22 ,
B B PB 1 B2 ， D D
则变换后的系统为;
1 A x 11 x2 A21 A12 x1 B1 u A22 x2 B2
2 A22 x2 u x
w A12 x2
（6） （7）
只要（A，C）能完全观测，就能保证（ A22 ， A12 ）完全观测， 所以可以对等价系统（ A22 ， A12 ）设计全维状态观测器，也即原 系统的降维观测器。假如（ A22 ， A12 ） ，我们如果求得了观测器增 益矩阵 E，则关于 x2 的状态观测器为：
x2 ( A22 EA12 ) x2 E ( y Du ) EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
（10）
因上式中含有
z x2 Ey EDu
y
和 u ，为避免微分信号，我们再引入变量
将其微分并代入上式可得：
,
y x1 Du
（3）
可以将上式表示为
2 A22 x2 A21 x1 B2u x 1 A11 x1 B1u A12 x2 x
（4） （5）
定义输入 u A21 x1 B2 u 和输出 w x1 A11 x1 B1u，可以将变换后 的系统变为
X AX BU Y CX DU
（1）
任选矩阵 R ，使得
C P R nn R ，且为非奇异
记 P 的逆为 Q ，并分块为：
Q P1 Q1 Q2
， Q1 R
^
（12）
原系统的降维状态观测器的所得估计值 x 为：
x P 1 x [Q1 Q2 ] x
^ ^ ^
^
（13）
( A22 EA12 ) z [( A22 EA12 ) E EA11 A21 ] y [( Eபைடு நூலகம்12 A22 ) ED EA11D EB1 A21D B2 ]u
（11） 至此，状态向量 x 的估计值就可以由下式给出
^ x y Du I 0 y D x ^1 * *u z Ey EDu E I z ED x2
x2 ( A22 EA12 ) x2 Ew u
（8）
下面将 w 和 u 的表达式分别代入上式，可得：
1 EA11 x1 EB1u A21 x1 B2u x2 ( A22 EA12 ) x2 Ex
（9）
考虑到 y x1 Du ，即 x1 y Du ，所以上式可进一步化为
z x2 E y EDu ( A22 EA12 ) x2 EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
( A22 EA12 ) ( x2 Ey EDu ) ( A22 EA12 ) Ey ( A22 EA12 ) EDu EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
nq
CQ CQ2 C PQ * Q1 Q2 1 I RQ1 RQ2 CQ I R 则由 可得 1 q ， CQ2 0
对被观测系统进行坐标变换：
x x Px 1 , x1 R q x2 可得
y Cx CP 1 x CQ1 CQ2 x Iq 0 x x1
（2）
A A PAP 1 11 A21
A12 A22 ,
B B PB 1 B2 ， D D
则变换后的系统为;
1 A x 11 x2 A21 A12 x1 B1 u A22 x2 B2
2 A22 x2 u x
w A12 x2
（6） （7）
只要（A，C）能完全观测，就能保证（ A22 ， A12 ）完全观测， 所以可以对等价系统（ A22 ， A12 ）设计全维状态观测器，也即原 系统的降维观测器。假如（ A22 ， A12 ） ，我们如果求得了观测器增 益矩阵 E，则关于 x2 的状态观测器为：
x2 ( A22 EA12 ) x2 E ( y Du ) EA11 ( y Du ) EB1u A21 ( y Du ) B2u
（10）
因上式中含有
z x2 Ey EDu
y
和 u ，为避免微分信号，我们再引入变量
将其微分并代入上式可得：
,
y x1 Du
（3）
可以将上式表示为
2 A22 x2 A21 x1 B2u x 1 A11 x1 B1u A12 x2 x
（4） （5）
定义输入 u A21 x1 B2 u 和输出 w x1 A11 x1 B1u，可以将变换后 的系统变为