凸轮轴磨削加工过程的动态优化和仿真
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最小二乘法拟合不同于三次样条曲线, 它不要 求拟合曲线通过所有的已知点, 但是要求数据点处 误差的平方和最小, 所以用最小二乘法拟合得到的 曲线可以过滤掉原始升程数据中的部分误差, 既能 反映数据的总体分布, 又不至于出现局部较大的波 动, 更能反映被逼近函数的特性.
m
E S ( a0, a1, ,, an) > [ p ( x k) - y k] 2 = min, 则称 k= 1
p ( x ) 为这组数据的 n 次最小二乘拟合多项式. 为
了使误差的平方和达到最小, 多项式需要满足必要
条件:
m
E ( p ( xk) -
yk)
x
j k
=
0, j =
0, 1, ,, n.
x = ( rb+ s) cosH- ddHs sin H,
( 1)
y = ( rb+ s) sinH+ ddsHcosH.
然后采用公式( 2) 将凸轮的实际轮廓由直角坐
标点转化为 0 到 2P内对应的极坐标点( Q, U) :
Q= x 2+ y 2 ,
tg-
1(
y x
)
,
( x > 0, y \0) ;
关键词: 凸轮轴; 磨削; 最小二乘法; 速度优化; 三维动态仿真
中图分类号: T P391. 9
文献标识码: A
Dynam ic Opt imizat ion and Simulat ion of Cam shaft Grinding Process
DENG Zhao- hui , WANG Juan, CAO De- fang, WAN Lin-lin, ZHANG Xiao- hong
随着虚拟制造技术的深入发展和应用, 计算机 仿真技术已经广泛应用于制造业的工艺制定、设备 评估以及新产品设计. 它的最终目的是通过对加工 过程中各项内容的仿真来增强制造过程中的各级决 策与控制能力, 优化制造过程[ 3, 4] . 为了进一步提高 凸轮轴磨削的加工质量、加工效率, 降低加工成本, 有必要开展凸轮轴磨削过程仿真优化软件的研制及 开发工作. 北京机械工业学院对凸轮轴加工过程仿 真进行了相关研究. 韩秋实等人提出了基于恒磨除 率的凸轮轴恒线速加工数学模型, 采用三次样条曲 线进行拟合计算, 得到波动的速度曲线, 并采用二维 图形技术对加工过程中砂轮与凸轮轴的轴向位移、 运动曲线及凸轮轮廓等进行仿真[ 5- 7] . 之后孙志永 等人对凸轮轮廓进行了计算仿真, 使用有限差分法 计算凸轮轴加工中的速度和加速度值, 并用角点法 对凸轮轴速度曲线进行优化, 即只在凸轮轮廓上选 取的 8 个角点处改变速度来实现恒线速[ 8- 9] .
架移动速度 v x 分别为:
Xc =
XU+
X3U#
Qcos B+
S
2 x
Rw#
(
r
1 b Xb
)
2
(
d d
QU-
Qdd2UQ2) ,
( 6)
vx =
-
Qsin B#
S
2 x
Rw
#
X3U# (
rb
1 Xb )
2(
dd QU-
Qdd2UQ2) .
( 7) 112 加工过程曲线优化算法
由于升程表是离散值, 由凸轮轴恒线速加工数
湖南大学学报( 自然科学版)
2009 年
果机械系统和伺服系统的响应不能达到要求, 反而 会使工件的加工精度下降. 湖南大学罗红平等人采 用三次 B 样条曲线拟合的方法对速度进行计算, 提 出了近似的恒线速控制方法, 通过将磨削点的加速 度控制在允许的范围内对速度进行优化[ 1] ; 湖南大 学海捷制造公司把凸轮基圆、顶圆、两侧敏感点这四 处的速度变化控制在一定范围 内, 采用/ 四点 恒线 速0方法进行加工[ 2] .
P+
t g-
1(
y x
(
y x
),
( x < 0);
( 2)
( x > 0, y [ 0) ;
P/ 2, ( x = 0, y > 0) ;
3P/ 2, ( x = 0, y < 0) . 在凸轮轴磨削加工中, 凸轮轮廓曲线由 X - C 轴耦合运动得到. 即砂轮架沿 X 轴做往复运动而同 时凸轮轴沿 C 轴旋转. 砂轮中心到凸轮轴中心的距 离 Sx 如公式( 3) 所示:
要求控制在允许的范围内. 本文采用了最小二乘法拟合多项式的 求导方
法. 最小 二乘法是指关于 变量 x 和 y 的一组数 据
( x k, yk ) , k = 1, 2, ,, m , 参数 a0, a1, ,, an( n < m ) , 使得多项式 p ( x ) = a0+ a1 x + ,+ anx n 满足
磨削力的突变, 产生振痕. 而凸轮轴恒线速磨削, 由 于磨削点处线速度恒定, 磨削力稳定, 能有效提高凸 轮轮廓精度并降低加工零件的表面粗糙度, 已经日 益得到重视.
虽然凸轮轴恒线速磨削的加工方法能够有效提 高加工精度, 但是由于需要在升程段每个磨削点处 都改变速度, 容易导致各个联动轴的加速度过大, 如
( 8)
k= 1
同时式( 8) 即为关于变量 a0, a1, ,, an 的线性代数
方程组, 它对应的增广矩阵如式( 9) 所示:
m
m
m
m
E E x k ,
x
n k
E yk
k= 1
k= 1
k= 1
m
E xk
k= 1
m
Ex
2 k
k= 1
m
m
E E ,
x
n+ k
1
y kx k
k= 1
k= 1
s
s
s
s
m
m
1 加工过程曲线优化算法
111 凸轮轴恒线速加工数学模型 在凸轮轴的实际加工中, 初始数据通常为凸轮
的升程表. 本文以文献[ 5] 中平底直动从动件凸轮磨 削加工的数学模型为例. 首先由凸轮升程表 ( s, H) 和基圆半径 rb 根据公式( 1) 计算出凸轮的实际轮廓
的直角坐标( x , y ) :
( State Research Center of High Efficiency Grinding and Sharpening Engineering Technology , Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract: An independent dy nam ic opt imization and simulation module for camshaf t grinding w as developed to improve t he camshaf t g rinding efficiency and accuracy. First , an opt im izat ion alg orit hm based on the constant linear velocit y mat hemat ical model of the camshaft w as proposed according to t he least square method to finish the curve opt imizat ion and simulat ion, and t he fluct uations of t he speed and acceleration curves w ere reduced. T hen, on t he basis of t he opt imized motion curves, t he real t ime 3- dimension dynamic simulat ion of t he camshaf t grinding process was finished t o perf orm the m achining st at us according to t he mot ion pat h of t he process syst em component s. T he user could directly observe w het her t here w ere collisions and interf erences during the grinding process. So t his opt imization and simulat ion module w ill provide g uidance for the product ion of diff erent kinds of camshafts.
可认为是固定不变量, 故凸轮磨削点处的瞬时线速
度 vc 决定磨除率. 通过控制 C 轴转 速, 使 vc 为一 恒定值, 则可实现恒磨除率磨削. 首先得到的值 XU
如下:
XU=
rb Xb
.
( 5)
Q2+
(
d d
QU)
2
式中: Xb 为加工基圆时凸轮的角速度.
恒线速磨削加工时, 凸轮轴理论转速 Xc 和砂轮
第5期
邓朝晖等: 凸轮轴磨削加工过程的动态优化和仿 真
23
学模型可以看出, 砂轮架速度和凸轮轴转速的计算 结果主要取决于导数的计算方法. 如果算法不当, 速
度就会由于升程误差和计算误差的累积而出现过多
过大的跳动. 所以需要采用一种合适的导数算法, 在
尽量保证恒线速加工的同时有效提高速度曲线的精
度和光滑程度, 将机床机械系统及伺服系统的响应
凸轮轴磨削加工过程的动态优化和仿真 X
邓朝晖, 王 娟, 曹德芳, 万林林, 张晓红
( 湖南大学 国家高效磨削工程技术 研究中心, 湖南 长沙 410082)
摘 要: 为了提高凸轮轴的加工效率及加工精度, 开发凸轮轴磨削加工过程动态优化仿
真模块. 根据凸轮轴恒线速加工的数学模型, 提出一种基于最小二乘法的速度优化算法, 对
X 收稿日期: 2008 10 20 基金项目: 国家/ 8630 高科技发展计划资助项目( 2007AA 04Z143) 作者简介: 邓朝晖( 1968- ) , 男, 湖南衡山人, 湖南大学教授, 博士生导师 通讯联系人, E-mail: edeng0080@ vip. sina. com
22
E E x
n k
x
n+ k
1
,
k= 1
k= 1
m
Ex
2 k
n
k= 1
m
E ykx
n k
k= 1
( 9) 用高斯消元法求解之后, 可以得到多项式的导数方 程 p ( x )c = a1 + 2 a2x + , + nanx n- 1. 将自变量 x k ( k = 1, 2, ,, m ) 代入到导数方程即可得到所 需导数.
第 36 卷 第 5 期 2009年5月
湖 南 大 学 学 报 ( 自然科学版) Journal of Hunan U niversity ( N atural Sciences)
文章编号: 1674- 2974( 2009) 05- 0021- 05
Vol. 36, No. 5 M ay1 2 0 0 9
加工过程运动曲线进行优化仿真, 得到了波动较小的速度曲线并减小了联动轴加速度的跳
动. 在此基础上根据工艺系统各组件的运动轨迹完成凸轮轴加工过程的实时三维动态仿真,
全面、逼真地反映现实的加工状态和加工环境, 使操作者可以直观地观测加工过程中是否存
在碰撞和干涉现象, 对各种型号凸轮轴的生产具有指导意义.
Sx = ( QcosB+ R w ) 2+ ( QsinB) 2.
( 3)
式中: B= arctg( - QddQU) , Rw 为砂轮半径. 凸轮转过的角位移 C 如公式( 4) 所示:
C = U+ B- AA .
( 4)
式中:
AA =
arct
g(
Qsin Qcos B+
B Rw
)
.
磨削加工过程中, 凸轮宽度 b 和磨削深度 ap 均
Key words: camshaf ts; g rinding; least square met hod; speed optimizat ion; 3D dynamic simulat ion
凸轮轴是汽车发动机的关键部件之一, 其加工 精度直接影响着发动机的动力性能. 而凸轮轴磨削 又是一种特殊的非圆磨削, 传统的机械靠模仿型加 工方法存在靠模易磨损、精度难以保证、柔性差、生 产周期长、成本高等一系列缺陷. 凸轮轴等转速磨削 的加工方法, 则会使磨削点的线速度和金属磨除率 变化较大, 使凸轮型面不同特征段之间存在速度和
综上所述, 国内已经有一些关于凸轮轴磨削仿 真及恒线速加工的研究. 但是由于图形动态显示方 法的局限性及凸轮轴加工过程的复杂性, 尚未出现 在实际加工之前根据加工参数对凸轮轴数控磨削过 程进行实时三维动态仿真的研究.
由于变化的磨除率会造成磨削烧伤和 表面波 纹, 所以本文根据基于恒磨除率的恒线速加工数学 模型提出最小二乘法拟合求导的求解方法, 对加工 过程运动曲线进行了优化仿真, 并根据工艺系统各 个部件的运动轨迹对加工过程进行了实时三维动态 仿真.
m
E S ( a0, a1, ,, an) > [ p ( x k) - y k] 2 = min, 则称 k= 1
p ( x ) 为这组数据的 n 次最小二乘拟合多项式. 为
了使误差的平方和达到最小, 多项式需要满足必要
条件:
m
E ( p ( xk) -
yk)
x
j k
=
0, j =
0, 1, ,, n.
x = ( rb+ s) cosH- ddHs sin H,
( 1)
y = ( rb+ s) sinH+ ddsHcosH.
然后采用公式( 2) 将凸轮的实际轮廓由直角坐
标点转化为 0 到 2P内对应的极坐标点( Q, U) :
Q= x 2+ y 2 ,
tg-
1(
y x
)
,
( x > 0, y \0) ;
关键词: 凸轮轴; 磨削; 最小二乘法; 速度优化; 三维动态仿真
中图分类号: T P391. 9
文献标识码: A
Dynam ic Opt imizat ion and Simulat ion of Cam shaft Grinding Process
DENG Zhao- hui , WANG Juan, CAO De- fang, WAN Lin-lin, ZHANG Xiao- hong
随着虚拟制造技术的深入发展和应用, 计算机 仿真技术已经广泛应用于制造业的工艺制定、设备 评估以及新产品设计. 它的最终目的是通过对加工 过程中各项内容的仿真来增强制造过程中的各级决 策与控制能力, 优化制造过程[ 3, 4] . 为了进一步提高 凸轮轴磨削的加工质量、加工效率, 降低加工成本, 有必要开展凸轮轴磨削过程仿真优化软件的研制及 开发工作. 北京机械工业学院对凸轮轴加工过程仿 真进行了相关研究. 韩秋实等人提出了基于恒磨除 率的凸轮轴恒线速加工数学模型, 采用三次样条曲 线进行拟合计算, 得到波动的速度曲线, 并采用二维 图形技术对加工过程中砂轮与凸轮轴的轴向位移、 运动曲线及凸轮轮廓等进行仿真[ 5- 7] . 之后孙志永 等人对凸轮轮廓进行了计算仿真, 使用有限差分法 计算凸轮轴加工中的速度和加速度值, 并用角点法 对凸轮轴速度曲线进行优化, 即只在凸轮轮廓上选 取的 8 个角点处改变速度来实现恒线速[ 8- 9] .
架移动速度 v x 分别为:
Xc =
XU+
X3U#
Qcos B+
S
2 x
Rw#
(
r
1 b Xb
)
2
(
d d
QU-
Qdd2UQ2) ,
( 6)
vx =
-
Qsin B#
S
2 x
Rw
#
X3U# (
rb
1 Xb )
2(
dd QU-
Qdd2UQ2) .
( 7) 112 加工过程曲线优化算法
由于升程表是离散值, 由凸轮轴恒线速加工数
湖南大学学报( 自然科学版)
2009 年
果机械系统和伺服系统的响应不能达到要求, 反而 会使工件的加工精度下降. 湖南大学罗红平等人采 用三次 B 样条曲线拟合的方法对速度进行计算, 提 出了近似的恒线速控制方法, 通过将磨削点的加速 度控制在允许的范围内对速度进行优化[ 1] ; 湖南大 学海捷制造公司把凸轮基圆、顶圆、两侧敏感点这四 处的速度变化控制在一定范围 内, 采用/ 四点 恒线 速0方法进行加工[ 2] .
P+
t g-
1(
y x
(
y x
),
( x < 0);
( 2)
( x > 0, y [ 0) ;
P/ 2, ( x = 0, y > 0) ;
3P/ 2, ( x = 0, y < 0) . 在凸轮轴磨削加工中, 凸轮轮廓曲线由 X - C 轴耦合运动得到. 即砂轮架沿 X 轴做往复运动而同 时凸轮轴沿 C 轴旋转. 砂轮中心到凸轮轴中心的距 离 Sx 如公式( 3) 所示:
要求控制在允许的范围内. 本文采用了最小二乘法拟合多项式的 求导方
法. 最小 二乘法是指关于 变量 x 和 y 的一组数 据
( x k, yk ) , k = 1, 2, ,, m , 参数 a0, a1, ,, an( n < m ) , 使得多项式 p ( x ) = a0+ a1 x + ,+ anx n 满足
磨削力的突变, 产生振痕. 而凸轮轴恒线速磨削, 由 于磨削点处线速度恒定, 磨削力稳定, 能有效提高凸 轮轮廓精度并降低加工零件的表面粗糙度, 已经日 益得到重视.
虽然凸轮轴恒线速磨削的加工方法能够有效提 高加工精度, 但是由于需要在升程段每个磨削点处 都改变速度, 容易导致各个联动轴的加速度过大, 如
( 8)
k= 1
同时式( 8) 即为关于变量 a0, a1, ,, an 的线性代数
方程组, 它对应的增广矩阵如式( 9) 所示:
m
m
m
m
E E x k ,
x
n k
E yk
k= 1
k= 1
k= 1
m
E xk
k= 1
m
Ex
2 k
k= 1
m
m
E E ,
x
n+ k
1
y kx k
k= 1
k= 1
s
s
s
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m
1 加工过程曲线优化算法
111 凸轮轴恒线速加工数学模型 在凸轮轴的实际加工中, 初始数据通常为凸轮
的升程表. 本文以文献[ 5] 中平底直动从动件凸轮磨 削加工的数学模型为例. 首先由凸轮升程表 ( s, H) 和基圆半径 rb 根据公式( 1) 计算出凸轮的实际轮廓
的直角坐标( x , y ) :
( State Research Center of High Efficiency Grinding and Sharpening Engineering Technology , Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract: An independent dy nam ic opt imization and simulation module for camshaf t grinding w as developed to improve t he camshaf t g rinding efficiency and accuracy. First , an opt im izat ion alg orit hm based on the constant linear velocit y mat hemat ical model of the camshaft w as proposed according to t he least square method to finish the curve opt imizat ion and simulat ion, and t he fluct uations of t he speed and acceleration curves w ere reduced. T hen, on t he basis of t he opt imized motion curves, t he real t ime 3- dimension dynamic simulat ion of t he camshaf t grinding process was finished t o perf orm the m achining st at us according to t he mot ion pat h of t he process syst em component s. T he user could directly observe w het her t here w ere collisions and interf erences during the grinding process. So t his opt imization and simulat ion module w ill provide g uidance for the product ion of diff erent kinds of camshafts.
可认为是固定不变量, 故凸轮磨削点处的瞬时线速
度 vc 决定磨除率. 通过控制 C 轴转 速, 使 vc 为一 恒定值, 则可实现恒磨除率磨削. 首先得到的值 XU
如下:
XU=
rb Xb
.
( 5)
Q2+
(
d d
QU)
2
式中: Xb 为加工基圆时凸轮的角速度.
恒线速磨削加工时, 凸轮轴理论转速 Xc 和砂轮
第5期
邓朝晖等: 凸轮轴磨削加工过程的动态优化和仿 真
23
学模型可以看出, 砂轮架速度和凸轮轴转速的计算 结果主要取决于导数的计算方法. 如果算法不当, 速
度就会由于升程误差和计算误差的累积而出现过多
过大的跳动. 所以需要采用一种合适的导数算法, 在
尽量保证恒线速加工的同时有效提高速度曲线的精
度和光滑程度, 将机床机械系统及伺服系统的响应
凸轮轴磨削加工过程的动态优化和仿真 X
邓朝晖, 王 娟, 曹德芳, 万林林, 张晓红
( 湖南大学 国家高效磨削工程技术 研究中心, 湖南 长沙 410082)
摘 要: 为了提高凸轮轴的加工效率及加工精度, 开发凸轮轴磨削加工过程动态优化仿
真模块. 根据凸轮轴恒线速加工的数学模型, 提出一种基于最小二乘法的速度优化算法, 对
X 收稿日期: 2008 10 20 基金项目: 国家/ 8630 高科技发展计划资助项目( 2007AA 04Z143) 作者简介: 邓朝晖( 1968- ) , 男, 湖南衡山人, 湖南大学教授, 博士生导师 通讯联系人, E-mail: edeng0080@ vip. sina. com
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E E x
n k
x
n+ k
1
,
k= 1
k= 1
m
Ex
2 k
n
k= 1
m
E ykx
n k
k= 1
( 9) 用高斯消元法求解之后, 可以得到多项式的导数方 程 p ( x )c = a1 + 2 a2x + , + nanx n- 1. 将自变量 x k ( k = 1, 2, ,, m ) 代入到导数方程即可得到所 需导数.
第 36 卷 第 5 期 2009年5月
湖 南 大 学 学 报 ( 自然科学版) Journal of Hunan U niversity ( N atural Sciences)
文章编号: 1674- 2974( 2009) 05- 0021- 05
Vol. 36, No. 5 M ay1 2 0 0 9
加工过程运动曲线进行优化仿真, 得到了波动较小的速度曲线并减小了联动轴加速度的跳
动. 在此基础上根据工艺系统各组件的运动轨迹完成凸轮轴加工过程的实时三维动态仿真,
全面、逼真地反映现实的加工状态和加工环境, 使操作者可以直观地观测加工过程中是否存
在碰撞和干涉现象, 对各种型号凸轮轴的生产具有指导意义.
Sx = ( QcosB+ R w ) 2+ ( QsinB) 2.
( 3)
式中: B= arctg( - QddQU) , Rw 为砂轮半径. 凸轮转过的角位移 C 如公式( 4) 所示:
C = U+ B- AA .
( 4)
式中:
AA =
arct
g(
Qsin Qcos B+
B Rw
)
.
磨削加工过程中, 凸轮宽度 b 和磨削深度 ap 均
Key words: camshaf ts; g rinding; least square met hod; speed optimizat ion; 3D dynamic simulat ion
凸轮轴是汽车发动机的关键部件之一, 其加工 精度直接影响着发动机的动力性能. 而凸轮轴磨削 又是一种特殊的非圆磨削, 传统的机械靠模仿型加 工方法存在靠模易磨损、精度难以保证、柔性差、生 产周期长、成本高等一系列缺陷. 凸轮轴等转速磨削 的加工方法, 则会使磨削点的线速度和金属磨除率 变化较大, 使凸轮型面不同特征段之间存在速度和
综上所述, 国内已经有一些关于凸轮轴磨削仿 真及恒线速加工的研究. 但是由于图形动态显示方 法的局限性及凸轮轴加工过程的复杂性, 尚未出现 在实际加工之前根据加工参数对凸轮轴数控磨削过 程进行实时三维动态仿真的研究.
由于变化的磨除率会造成磨削烧伤和 表面波 纹, 所以本文根据基于恒磨除率的恒线速加工数学 模型提出最小二乘法拟合求导的求解方法, 对加工 过程运动曲线进行了优化仿真, 并根据工艺系统各 个部件的运动轨迹对加工过程进行了实时三维动态 仿真.