9 拓扑优化方法
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H Ke D T e Be Be d d d
Ke e T Ne Ne d d d
上式中
Ne 为单元形状函数,i为振型,为单元密度。
均匀化理论
其基本思想是:将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周 期重复构造而成的，并且在宏观和细观两种尺度上描述总体结 构的位移和应力。
式中，m为平均固有频率，设前m阶固有频率为i， 引入权系数wi ,即有
此时，平均频率的灵敏度计算公式为 m 2m l d wi
i 1
wi i 其中 2 i 1 i d
l
i M T K i i i d d d
此时，单元的刚度和质量的灵敏度计算公式为
n
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
p gu f u 0 xi xi u
i=1,2, ,n
由此可构造如下的迭代公式
xi( k 1) c ( k ) xi( k ) i=1,2, ,n
p g u 1 － 其中 c ( k )＝－ 为小于1的因子 u f u x i x i
T
2 T T K 2 T M r Yr MYi Yr Yr r Yr Yr xi xi xi
T K 2 M Yr r Yr xi xi xi
2 r
对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则
W i xi li
i 1
上式左端分子第一项为单元I的应变能，第二项为单元I 的动能，分母为单元I的质量，上式说明，具有频率约束 的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的 应变能）与动能密度之差为同一常数 ei＝单元i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差
则有
ei
1 a2
，两边乘以
x
2 i ，则有
xi( k 1) a ei xi( k )
图1所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为:
1 1
a b
其中 Ω是设计区域，Ωｓ是实体区域。 每个微结构体有各自的坐标轴,所以必须考虑其旋转角θ，如 果一个设计区域被分成Ｎ个有限单元,则将有3Ｎ个设计变量。
Ωｓ=∫Ω(1-ab)ｄΩ， 0≤ a≤ 1, 0 ≤ b≤ 1
q
基于均匀化方法的拓扑优化模型
对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形 对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率
静态优化设计模型 1 min T D H d
2 s.t.
d Vc
为单元应变,DH为由均匀化方法求得的应力－应变矩阵, 为单元材料填充率,Vc为材料体积约束量
此时，单元的刚度灵敏度计算公式为
结构优化设计分类
结构尺寸优化设计 在结构构型和结构形状不变的条件下，对 各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采 用准则法或规划法。 结构优化设计 结构构型优化设计 在材料性质和设计区域给定的条件下， 对用量和分布情况进行优化设计，采用 拓扑优化方法。 结构形状优化设计 在结构构型和材料性质不变的条件 下，对各结构形状进行优化设计， 采用
Fi i Ai
由此可构造如下的迭代公式
i 1, 2, , n
A
( k 1) i
(k ) Ai i
(k ) i
i 1, 2, , n
2. 基于K－T条件的准则法 对于结构优化设计问题：
min f ( X ) X R s .t . gu ( X ) 0 u 1, 2, , p
二、拓扑优化方法求解问题
拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题,也能够求
解结构的动力学问题; 既能够求解单目标优化问题,也能够求解多目标优化问 题; 既能够求解单约束问题,也能够求解多约束问题; 既可以求解单一物理场的结构设计问题,也可以求解多 物理场的结构设计问题; 既可以求解单一材料的结构设计问题,也可以求解多种 材料复合的结构设计问题。
结构优化与材料优化
第一节 概述
第二节 结构优化设计的准则法
第三节 结构的拓扑优化方法 第四节 功能材料优化设计 第五节 柔性机构优化设计
第六节 结构多学科设计优化
第一节 概述
结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。 随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设 计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的 要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基 础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少 一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来， 复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、 减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在 先进飞行器设计中应用日益广泛, 而这些优异特性的根本在 于进行结构优化设计和材料优化设计。
相对密度法(The Artificial Materials Method) 优化准则法 Optimality Criteria(OC) methods
序列线性规划法 Sequential Linear Programming (SLP)methods
从其优化问题的求解方法上一般分为
序列二次规划法 Sequential Quadratic Programming
p gu f u 0 xi xi u
i=1,2, ,n
p gu f u i=1,2, ,n xi xi u p gu f (1 ) (1 ) u i=1,2, ,n xi xi u
g u 1－ p 1=c＝－ u 为小于1的因子 f u x i x i
移动渐进法 Method of Moving Asymptotes (MMA)
五、基结构法
基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设 计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单 元直径作为设计变量。
六、均匀化方法
均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程 中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产 生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型 与尺寸优化模型的统一。
三、拓扑优化一般过程
在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域，称为初
始设计域； 采用某种物理模型，将设计区域离散成足够多的子设
计区域，确定设计变量；
对这若干个子设计区域进行结构分析和灵敏度分析， 建立设计变量与结构位移、应力、频率等关系，从而
形成目标函数和约束条件；
按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除 某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
四、拓扑优化方法分类 从其物理模型的描述方法上一般分为 基结构法(The Ground Structural Method)
均匀化方法(The Homogenization Method)
渐 进 结 构 优 化 方 法 (The Evolutionary Structural Optimization)
wk.baidu.com
n
目标函数关于设计变量的敏度分析
W i li xi
r2 r xi 1 W xi
i 1, 2,, n
1 T 2 1 T Yr KiYr r Yr M iYr 2 2 常数 xi i li
1 T 2 1 T Yr KiYr r Yr M iYr 2 2 常数 xi i li
xi( k 1) c ( k ) xi( k ) i=1,2, ,n
3. 基于能量的准则法 对于结构优化设计问题：
min W f ( X )
2 s.t. r2 0
n
X Rn
X 0
W i xi li
KY MY
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
i 1
K ( X )Z F ( X ) K ( X )Y M ( X )Y cs ( X , Z ) 0 c (Z ) 0 cd ( X ) 0 c ( ) 0
第二节 结构优化设计的准则法
1. 基于满应力的准则法
不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发， 认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需 要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小， 而应力向许用应力靠近。 对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为
设计变量
以微结构的几何尺寸a,b作为设计变量，每个微结构体有各自的 坐标轴,所以须考虑其旋转角θ,如果一个设计区域被分成Ｎ个有 限单元,则将有3Ｎ个设计变量。
如果某个微结构的尺寸大到整个单胞边界，表示该单胞处 无材料，如果某个微结构的尺寸小到一个点，表示该单胞 处有材料 。
约束条件
材料用量。
目标函数
总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比ε(0 <ε<< 1) 的渐近展开式。
建立两种尺度坐标x和y ,其中 y= x/ε， 这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。
结构物理量的描述 物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有 φ ε( x) = φ ( x , y) = φ ( x , y + Y) 式中:上标ε表示考虑了细观结构的影响，由于细观结构的周期 性特征，φε 是关于y的周期函数, 且周期函数的周期为Y。 这样弹性问题的基本方程可表示为 平衡方程 本构关系 ζεij , j + f i = 0 ζεij = Dεijkleεkl
结构尺寸优化设计
结构构型优化设计
结构形状优化设计
结构优化设计的数学描述 具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为
结构优化的目标函数
min f ( X , Z , )
结构优化的约束条件
X 设计变量 Z 位移变量 频率变量
静力平衡条件
固有频率条件 应力约束条件 位移约束条件 几何边界条件 屈服约束条件
r2 W r 0 xi xi
r2 r xi 1 W xi
i 1, 2, , n
结构频率关于设计变量的敏度分析
KY MY
K Y M Y Y K Y M MY xi xi xi xi xi
T Y Y T T K T M Y MY Y M Y M Y Y Y Y xi xi xi xi xi
第三节 结构的拓扑优化方法
拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依 据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而 使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的 一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方 法。
一、拓扑优化的历史 拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理 论的解析方法可追溯到由 Michel 提出的 Michel 桁架理论。 直到1964年Dorn、Gomory、Greenberg等人提出了基结 构法，将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了Michel 桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。 连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及 数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢 , 其蓬勃发展的起点以 1988 年 kikuchi 和 bendsoe 等 人 提 出 的 均 匀 化 算 法 (The Homogenization Method)为标志。 正是由于kikuchi和bendsoe的介绍后,拓扑优化方法在学术界得到 了广泛地普及 , 并应用到材料设计、机构设计、ＭＥＭＳ器件设 计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。
H Ke D T e Be Be d d d
Be 为单元应变－变形矩阵,Ke为单元刚度矩阵, d为单元的设计变量。
动态优化设计模型 max m
s.t.
d Vc
m m wi m wi / i 1 i 1 i
Ke e T Ne Ne d d d
上式中
Ne 为单元形状函数,i为振型,为单元密度。
均匀化理论
其基本思想是:将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周 期重复构造而成的，并且在宏观和细观两种尺度上描述总体结 构的位移和应力。
式中，m为平均固有频率，设前m阶固有频率为i， 引入权系数wi ,即有
此时，平均频率的灵敏度计算公式为 m 2m l d wi
i 1
wi i 其中 2 i 1 i d
l
i M T K i i i d d d
此时，单元的刚度和质量的灵敏度计算公式为
n
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
p gu f u 0 xi xi u
i=1,2, ,n
由此可构造如下的迭代公式
xi( k 1) c ( k ) xi( k ) i=1,2, ,n
p g u 1 － 其中 c ( k )＝－ 为小于1的因子 u f u x i x i
T
2 T T K 2 T M r Yr MYi Yr Yr r Yr Yr xi xi xi
T K 2 M Yr r Yr xi xi xi
2 r
对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则
W i xi li
i 1
上式左端分子第一项为单元I的应变能，第二项为单元I 的动能，分母为单元I的质量，上式说明，具有频率约束 的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的 应变能）与动能密度之差为同一常数 ei＝单元i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差
则有
ei
1 a2
，两边乘以
x
2 i ，则有
xi( k 1) a ei xi( k )
图1所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为:
1 1
a b
其中 Ω是设计区域，Ωｓ是实体区域。 每个微结构体有各自的坐标轴,所以必须考虑其旋转角θ，如 果一个设计区域被分成Ｎ个有限单元,则将有3Ｎ个设计变量。
Ωｓ=∫Ω(1-ab)ｄΩ， 0≤ a≤ 1, 0 ≤ b≤ 1
q
基于均匀化方法的拓扑优化模型
对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形 对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率
静态优化设计模型 1 min T D H d
2 s.t.
d Vc
为单元应变,DH为由均匀化方法求得的应力－应变矩阵, 为单元材料填充率,Vc为材料体积约束量
此时，单元的刚度灵敏度计算公式为
结构优化设计分类
结构尺寸优化设计 在结构构型和结构形状不变的条件下，对 各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采 用准则法或规划法。 结构优化设计 结构构型优化设计 在材料性质和设计区域给定的条件下， 对用量和分布情况进行优化设计，采用 拓扑优化方法。 结构形状优化设计 在结构构型和材料性质不变的条件 下，对各结构形状进行优化设计， 采用
Fi i Ai
由此可构造如下的迭代公式
i 1, 2, , n
A
( k 1) i
(k ) Ai i
(k ) i
i 1, 2, , n
2. 基于K－T条件的准则法 对于结构优化设计问题：
min f ( X ) X R s .t . gu ( X ) 0 u 1, 2, , p
二、拓扑优化方法求解问题
拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题,也能够求
解结构的动力学问题; 既能够求解单目标优化问题,也能够求解多目标优化问 题; 既能够求解单约束问题,也能够求解多约束问题; 既可以求解单一物理场的结构设计问题,也可以求解多 物理场的结构设计问题; 既可以求解单一材料的结构设计问题,也可以求解多种 材料复合的结构设计问题。
结构优化与材料优化
第一节 概述
第二节 结构优化设计的准则法
第三节 结构的拓扑优化方法 第四节 功能材料优化设计 第五节 柔性机构优化设计
第六节 结构多学科设计优化
第一节 概述
结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。 随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设 计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的 要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基 础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少 一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来， 复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、 减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在 先进飞行器设计中应用日益广泛, 而这些优异特性的根本在 于进行结构优化设计和材料优化设计。
相对密度法(The Artificial Materials Method) 优化准则法 Optimality Criteria(OC) methods
序列线性规划法 Sequential Linear Programming (SLP)methods
从其优化问题的求解方法上一般分为
序列二次规划法 Sequential Quadratic Programming
p gu f u 0 xi xi u
i=1,2, ,n
p gu f u i=1,2, ,n xi xi u p gu f (1 ) (1 ) u i=1,2, ,n xi xi u
g u 1－ p 1=c＝－ u 为小于1的因子 f u x i x i
移动渐进法 Method of Moving Asymptotes (MMA)
五、基结构法
基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设 计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单 元直径作为设计变量。
六、均匀化方法
均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程 中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产 生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型 与尺寸优化模型的统一。
三、拓扑优化一般过程
在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域，称为初
始设计域； 采用某种物理模型，将设计区域离散成足够多的子设
计区域，确定设计变量；
对这若干个子设计区域进行结构分析和灵敏度分析， 建立设计变量与结构位移、应力、频率等关系，从而
形成目标函数和约束条件；
按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除 某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
四、拓扑优化方法分类 从其物理模型的描述方法上一般分为 基结构法(The Ground Structural Method)
均匀化方法(The Homogenization Method)
渐 进 结 构 优 化 方 法 (The Evolutionary Structural Optimization)
wk.baidu.com
n
目标函数关于设计变量的敏度分析
W i li xi
r2 r xi 1 W xi
i 1, 2,, n
1 T 2 1 T Yr KiYr r Yr M iYr 2 2 常数 xi i li
1 T 2 1 T Yr KiYr r Yr M iYr 2 2 常数 xi i li
xi( k 1) c ( k ) xi( k ) i=1,2, ,n
3. 基于能量的准则法 对于结构优化设计问题：
min W f ( X )
2 s.t. r2 0
n
X Rn
X 0
W i xi li
KY MY
极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件
i 1
K ( X )Z F ( X ) K ( X )Y M ( X )Y cs ( X , Z ) 0 c (Z ) 0 cd ( X ) 0 c ( ) 0
第二节 结构优化设计的准则法
1. 基于满应力的准则法
不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发， 认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需 要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小， 而应力向许用应力靠近。 对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为
设计变量
以微结构的几何尺寸a,b作为设计变量，每个微结构体有各自的 坐标轴,所以须考虑其旋转角θ,如果一个设计区域被分成Ｎ个有 限单元,则将有3Ｎ个设计变量。
如果某个微结构的尺寸大到整个单胞边界，表示该单胞处 无材料，如果某个微结构的尺寸小到一个点，表示该单胞 处有材料 。
约束条件
材料用量。
目标函数
总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比ε(0 <ε<< 1) 的渐近展开式。
建立两种尺度坐标x和y ,其中 y= x/ε， 这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。
结构物理量的描述 物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有 φ ε( x) = φ ( x , y) = φ ( x , y + Y) 式中:上标ε表示考虑了细观结构的影响，由于细观结构的周期 性特征，φε 是关于y的周期函数, 且周期函数的周期为Y。 这样弹性问题的基本方程可表示为 平衡方程 本构关系 ζεij , j + f i = 0 ζεij = Dεijkleεkl
结构尺寸优化设计
结构构型优化设计
结构形状优化设计
结构优化设计的数学描述 具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为
结构优化的目标函数
min f ( X , Z , )
结构优化的约束条件
X 设计变量 Z 位移变量 频率变量
静力平衡条件
固有频率条件 应力约束条件 位移约束条件 几何边界条件 屈服约束条件
r2 W r 0 xi xi
r2 r xi 1 W xi
i 1, 2, , n
结构频率关于设计变量的敏度分析
KY MY
K Y M Y Y K Y M MY xi xi xi xi xi
T Y Y T T K T M Y MY Y M Y M Y Y Y Y xi xi xi xi xi
第三节 结构的拓扑优化方法
拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依 据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而 使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的 一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方 法。
一、拓扑优化的历史 拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理 论的解析方法可追溯到由 Michel 提出的 Michel 桁架理论。 直到1964年Dorn、Gomory、Greenberg等人提出了基结 构法，将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了Michel 桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。 连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及 数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢 , 其蓬勃发展的起点以 1988 年 kikuchi 和 bendsoe 等 人 提 出 的 均 匀 化 算 法 (The Homogenization Method)为标志。 正是由于kikuchi和bendsoe的介绍后,拓扑优化方法在学术界得到 了广泛地普及 , 并应用到材料设计、机构设计、ＭＥＭＳ器件设 计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。
H Ke D T e Be Be d d d
Be 为单元应变－变形矩阵,Ke为单元刚度矩阵, d为单元的设计变量。
动态优化设计模型 max m
s.t.
d Vc
m m wi m wi / i 1 i 1 i