3-第三章-辨识方法-1-相关函数法

第三章辨识方法

1

——辨识技术课程清华大学电机系辨识技术

辨识技术

F(ω)
2
ε (ω ) = F (ω )
2
称为能量谱密度（能谱），记作：ε(ω), 表示单位带宽的能量，反映了信号的能 量在频域中的分布。 能谱函数与自相关函数是一对FT
清华大学电机系
ε(ω)=FT[R(τ)],
辨识技术
R(τ)=FT-1[ε(ω)]
2 1 ∞ jωτ R(τ) = ∫ F(ω) .e dω 2π −∞
31

平均功率
功率有限 信号f(t)
f (t )
fT (t) = ⎨ ⎩0
清华大学电机系 ⎧ f (t) ( t ≤ )
(t > )
辨识技术 ∫
1 P = lim T → ∞ T 1 = 2π
T 2
T 2 T 2
fT (t )
T − 2
T 2
−
T 2
f
2
( t ) dt
2
平均功率
32
∫
T 2
−
T 2
T → ∞
lim
F T (ω ) T
dω

功率谱
功率密度 函数
FT (ω ) T
2
平均总功 率
∞
1 清华大学电机系ω P= ∫ ϕ (ω )d
ϕ (ω ) = lim
T →∞
2π
−∞
辨识技术
ϕ (ω )
0
33
ω

维纳—欣钦定理
1 R (τ ) = lim T →∞ T 1 = 2π
∫
T 2
−
T 2
f ( t ) f ( t − τ ) dt
*
清华大学电机系
∫
∞ −∞ T → ∞
lim
F (ω ) T
2
e
j ωτ
dω
ϕ (ω )
一对傅立 叶变换
辨识技术
1 R (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
ϕ (ω ) e
j ωτ
dω
ϕ (ω ) =
34
∫
∞
−∞
R (τ ) e
− j ωτ
dτ

例：求周期余弦的功率谱
f (t )
p(ω)
P ( ω ) = F [ R (τ ) ]
清华大学电机系
R (τ )
E2 R(τ ) = cosω1τ 2
⎛ πE 2 ⎜ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
p(ω)
辨识技术
ω1
τ
35
− ω1
ω
E 2π P(ω ) = [δ (ω − ω1 ) + δ (ω + ω1 )] 2

(六)线性系统激励与响应之间的关系
能量信号
r (t ) = h(t ) ∗ e(t ) R ( jω ) = H ( jω ) ⋅ E ( jω )
ε e (ω ) = E ( jω ) ε r (ω ) = R( jω )
2
清华大学电机系
2
2
R ( jω ) = H ( jω ) ⋅ E ( jω )
2
辨识技术
2 2
ε r (ω ) = H ( jω ) ⋅ ε e (ω )
36

线性系统激励与响应之间的关系
函数形式 时间函数 频谱密度 系统特性 h(t) 激励与响应关系 r(t)=h(t)*e(t)
清华大学电机系
H(jw)
R(jw)=H(jw) E(jw)
ϕ r (ω ) = H ( jω ) ϕ e
2
功率谱密度 能量密度 自相关函数
辨识技术
= H ( jω ) H ( j ω )
*
H ( jω )
2
Pr (ω ) = H ( jω ) pe (ω )
2
Rh (τ ) = h(τ )h* (−τ )
Rr (τ ) = Rh (τ ) * Re (τ )
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相关函数法
一．概述
根据对象平稳随机输入输出信息之间的相关函数求
二．数学基础 三．方法
清华大学电机系
对象脉冲响应的办法。
η (t )
ξ (t )
y(t) ∑
概率论与随机过程
x(t)
∑
g(t)
记：辨识系统输入及噪声 x(t ),η (t )，输出及噪声 y(t ), ξ (t )
x(t ),η (t ), ξ (t ) 为零均值平稳随机过程，且彼此独立。
求解： g(t )
y(t )
辨识技术
为零均值平稳随机过程。

随机过程：变化过程具有偶然性。
例如：海浪的起伏、电子放大器零点漂移等
样本：对一随机过程，在相同条件下多次测试，每次
得到的结果就叫做一个样本
平稳随机过程：统计性质不随时间变化的随机过程
均值
总集均值 时间均值
清华大学电机系 辨识技术
各态遍历性
固定时刻统计特征 = 长时间内统计特征
样本具有偶然性，但有统计意义上的规律 随机过程的数学描述方法——概率统计学
t
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均值计算
1 µ x = lim T →∞ T
∫
T 2 T − 2
x (t ) dt = E{ x (t )}
清华大学电机系 ∫
⎡1 T ⎤ 2 Rxy (τ ) = lim ⎢ T x (t + τ ) y (t ) dt ⎥ T →∞ T − 2 ⎣ ⎦ = E{x(t + τ ) y (t )}
互相关函数表示
互协方差函数形式
= Rxy (τ ) − µ x µ y
40
Cxy (τ ) = cov{x(t + τ ), y(t )} = E{[ x(t + τ ) − µ x ],[ y(t ) − µ y ]}
T →∞
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