狄拉克函数(冲激函数)20160703
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=
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
n=−∞
2、奇偶性
用极限来定义狄拉克函数时，采用的均为偶函数，故狄拉克函数也为偶函数。
由抽样性来讨论奇偶性，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。
零；在包含δ(t)出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
∫ ∫ +∞
δ
(t )dt
=
δ 0+ (t)dt = 1
−∞
0−
当 t=0 时，δ(t)→∞，狄拉克函数为无界函数。有时移的狄拉克函数为
∫⎪⎧
+∞
δ
(t
−
⎪⎩⎨δ−(∞t − t0 )
t0 =
)dt
0
=
1
t ≠ t0
狄拉克函数也可以用极限来定义，例如：
f
(k )(0)
−∞
但与狄拉克函数不同的是，
f (t)⋅δ ′(t) = f (0)⋅δ ′(t)− f ′(0)⋅δ (t)
2、积分
3、奇偶性 冲激偶是奇函数，即
∫ ∫ +∞
δ
′(t )dt
=
+∞
dδ
(t) =
δ (t ) +∞
=
0
−∞
−∞
−∞
∫t δ ′(τ −∞
)dτ
=
∫t dδ (τ ) = δ (τ )t
∫+∞
δ
(t
)⋅
−∞
f
(t )dt
=
f
(0)
∫+∞
δ
(−
t
)⋅
−∞
f
t =−τ
(t)dt =
∫−∞
δ
(τ
)
⋅
+∞
f
(−τ )d(−τ ) =
∫+∞
δ
(τ
)⋅
−∞
f
(−τ )dτ
=
f
(0)
由于δ(t)仅在 t=0 处不为零，所以
δ (t) = δ (− t)
故狄拉克函数为偶函数。
3、标度变换
当 a>0 时
t −
eτ
τ →0 2τ
δ (t) = lim k Sa(kt)
k→0 π
二、狄拉克函数的性质
1、抽样性（筛选性）
如果 f(t)在 t=0 处连续且处处有界，则有
δ (t)⋅ f (t) = f (0)⋅δ (t)
∫+∞
δ
(t
)⋅
−∞
f
(t )dt
=
∫0+δ (t )⋅ 0−
f些物理现象需要一个时间极短但取值极大的函数模型来描述 ，比如：力学中瞬间作用的 冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等。
一、狄拉克（Dirac）函数的定义
∫⎪⎧
+∞
δ
(t
⎪⎩⎨δ−(∞t ) =
)dt
0
=
1
t≠0
狄拉克函数（也称为奇异函数或单位冲激函数）的函数值只在 t=0 时不为零，其余处处为
（1）矩形脉冲的极限
δ
(t
)
=
lim
τ →0
1 τ
⎢⎣⎡u⎜⎝⎛
t
+
τ 2
⎟⎞ ⎠
−
u⎜⎛ ⎝
t
−
τ 2
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
（2）三角形脉冲的极限
δ
(t )
=
1 lim τ →0 τ
⎛ ⎜⎜⎝1−
t τ
⎟⎟⎠⎞[u(t
+τ
)−
u(t
−τ
)]
（3）双边指数脉冲的极限
（4）抽样函数的极限
δ (t) = lim
1
∫ ∫ +∞
δ
(at
)
f
(t
)dt
at =τ
=
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝a⎠ a a
+∞ 1
∫−∞ a
δ (t) f
(t )dt
=
1 a
f
(0)
所以
δ (at) = 1 δ (t) (a > 0)
a
当 a<0 时
所以 综上所述
∫ ∫ +∞
δ
(at
)
f
(t
)dt
−
at =τ
δ ′(t) = dδ (t)
dt
1、抽样性
∫+∞
δ
′(t
)
f
−∞
(t )dt
=
+∞
∫−∞
f
(t)dδ (t) =
f
(t)δ (t) +∞ −∞
+∞
∫− f −∞
′(t)δ (t)dt
= 0 − f ′(0)
= − f ′(0)
对于δ(t)的 k 阶导数，有
∫+∞
δ
(k )(t) f
(t )dt
=
(−1)k
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
n=−∞
2、奇偶性
用极限来定义狄拉克函数时，采用的均为偶函数，故狄拉克函数也为偶函数。
由抽样性来讨论奇偶性，主要考察此函数的作用，即和其他函数共同作用的结果。
零；在包含δ(t)出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
∫ ∫ +∞
δ
(t )dt
=
δ 0+ (t)dt = 1
−∞
0−
当 t=0 时，δ(t)→∞，狄拉克函数为无界函数。有时移的狄拉克函数为
∫⎪⎧
+∞
δ
(t
−
⎪⎩⎨δ−(∞t − t0 )
t0 =
)dt
0
=
1
t ≠ t0
狄拉克函数也可以用极限来定义，例如：
f
(k )(0)
−∞
但与狄拉克函数不同的是，
f (t)⋅δ ′(t) = f (0)⋅δ ′(t)− f ′(0)⋅δ (t)
2、积分
3、奇偶性 冲激偶是奇函数，即
∫ ∫ +∞
δ
′(t )dt
=
+∞
dδ
(t) =
δ (t ) +∞
=
0
−∞
−∞
−∞
∫t δ ′(τ −∞
)dτ
=
∫t dδ (τ ) = δ (τ )t
∫+∞
δ
(t
)⋅
−∞
f
(t )dt
=
f
(0)
∫+∞
δ
(−
t
)⋅
−∞
f
t =−τ
(t)dt =
∫−∞
δ
(τ
)
⋅
+∞
f
(−τ )d(−τ ) =
∫+∞
δ
(τ
)⋅
−∞
f
(−τ )dτ
=
f
(0)
由于δ(t)仅在 t=0 处不为零，所以
δ (t) = δ (− t)
故狄拉克函数为偶函数。
3、标度变换
当 a>0 时
t −
eτ
τ →0 2τ
δ (t) = lim k Sa(kt)
k→0 π
二、狄拉克函数的性质
1、抽样性（筛选性）
如果 f(t)在 t=0 处连续且处处有界，则有
δ (t)⋅ f (t) = f (0)⋅δ (t)
∫+∞
δ
(t
)⋅
−∞
f
(t )dt
=
∫0+δ (t )⋅ 0−
f些物理现象需要一个时间极短但取值极大的函数模型来描述 ，比如：力学中瞬间作用的 冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等。
一、狄拉克（Dirac）函数的定义
∫⎪⎧
+∞
δ
(t
⎪⎩⎨δ−(∞t ) =
)dt
0
=
1
t≠0
狄拉克函数（也称为奇异函数或单位冲激函数）的函数值只在 t=0 时不为零，其余处处为
（1）矩形脉冲的极限
δ
(t
)
=
lim
τ →0
1 τ
⎢⎣⎡u⎜⎝⎛
t
+
τ 2
⎟⎞ ⎠
−
u⎜⎛ ⎝
t
−
τ 2
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
（2）三角形脉冲的极限
δ
(t )
=
1 lim τ →0 τ
⎛ ⎜⎜⎝1−
t τ
⎟⎟⎠⎞[u(t
+τ
)−
u(t
−τ
)]
（3）双边指数脉冲的极限
（4）抽样函数的极限
δ (t) = lim
1
∫ ∫ +∞
δ
(at
)
f
(t
)dt
at =τ
=
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝a⎠ a a
+∞ 1
∫−∞ a
δ (t) f
(t )dt
=
1 a
f
(0)
所以
δ (at) = 1 δ (t) (a > 0)
a
当 a<0 时
所以 综上所述
∫ ∫ +∞
δ
(at
)
f
(t
)dt
−
at =τ
δ ′(t) = dδ (t)
dt
1、抽样性
∫+∞
δ
′(t
)
f
−∞
(t )dt
=
+∞
∫−∞
f
(t)dδ (t) =
f
(t)δ (t) +∞ −∞
+∞
∫− f −∞
′(t)δ (t)dt
= 0 − f ′(0)
= − f ′(0)
对于δ(t)的 k 阶导数，有
∫+∞
δ
(k )(t) f
(t )dt
=
(−1)k