六年级奥数 倒推法解题
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【（60+180）÷（1-5/9）-40）】÷（1-1/3） =750（克）
休息10分钟。
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲 拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数 给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、 乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元 可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下 的钱是56÷2＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。 168÷3÷2＝28元 答：原来甲比乙多28元。
把两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先求原 来甲仓库的粮食质量占总质量的几分之几。
①【1-1/2÷(1-1/4)]÷(1-1/5)=5/12 ②5÷(12-5)=5/7
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙 仓库的粮食是甲仓库的9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓 库的几分之几？
①把甲、乙两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先 求甲仓库原来的粮食质量占总质量的几分之几。【11/2÷（1-1/3）]÷（1-1/3）=3/8 ②原来甲仓库的粮食质量是乙仓库的粮食质量的几分 之几。3÷（8-3）=3/5
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库 运出1/5到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓 库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲 仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
1/2÷（1－1/4）＝2/3 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－2/3＝1/3 ③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
1/3÷（1－1/4）＝4/9 ④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝4/5 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的4/5。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3 到乙仓库后，又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲、乙 两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的 几分之几？
【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后， 又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克， 原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有 （24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙 桶内有油24÷（1－1/5）＝30千克，这时甲桶内只有48 －30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶，可见甲桶原 有的油为18÷（1－1/3）＝27千克，乙桶原有的油为48 －27＝21千克。
２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷， 还剩下35公顷没有耕，这块地共有多少公顷？
【（35+3）÷（1-1/2）+2】÷（1-1/3） =117（公顷)
３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了 余下的1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？
甲：【24×2－24÷（1－1/5）】÷（1－1/3）＝27（千 克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3： １．小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现 有的画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原 来两人各有画片多少张？
小强拿出自己画片的1/4后有12张画片，可推导 出小强有12÷（1-1/4）=16（张），那么此时小 华有12X2-16=8（张）画片，小华拿出1/5后有8 张画片，可推导出小华原有8÷（1-1/5）=10 （张）画片。
二、精讲精练
【例题1】 筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二 天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
练习1： １．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的 1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤 原有多少吨？
(14+6)÷（1-1/3）÷（1-2/7）=42（吨）
把两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先求原来甲 仓库粮食的质量占总质量的几分之几。
①【1-9/19÷（1-2/5）】÷（1-1/3）=6/19 ②6÷(19-6) =6/13
【思路导航】从树上还留下10个桃子人手倒着往前推， 它占第8天后余下的1-1/2=1/2，第8天后余下10÷（1-1/2） =20（个 ），这20个占第7天后余下的1-1/3=2/3，第7天 后余下20÷（1-1/3）=30（个）。依此类推：
10 ÷（1-1/2）÷（1-1/3）÷（1-1/4）÷（1-1/5）÷ （1-1/6）÷（1-1/7）÷（1-1/8）÷（1-1/9）÷（1-1/10） =100（个）
小强原有12×2-10=14（张）画片。
２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给 乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他 们原来各有多少元？
甲：【90x2-90÷（1-1/4）】÷（1-1/5）=75 （元） 乙：90x2-75=105（元）
３．一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第 二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好 剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
练习4： １．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与 乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数 到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这 样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少 人？
最后每班各有144÷3=48（人）。 144÷3÷2=24（人）
２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲 盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒 后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙 盒多几个球？
5÷（1-1/7）÷（1-1/5）÷（1-1/3）=10 又15/16（斗）
3.仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的1/2又4吨， 第二次运出余下的1/2又3吨，第三次运出余下的1/2又 5吨，最后还剩下12吨。这个仓库原有粮食多少吨？
{【（12+5）÷（1-1/2）+3】÷（11/2）+4}÷（1-1/2）=156（吨）
答：树上原来有100个桃子。
练习2： 1.把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这 样剪了四次，剩下的正好是1米。这根绳子原来长多少 米？
1÷1/2÷1/2÷1/2÷1/2=16（米）
2.《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外 关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。 问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时， 用全部米的1/3納税，过中关时用所余米的1/5纳税，经 过内关时用再余米的1/7纳税，最后还剩下5斗米。这个 人原来背多少斗米出关？
[(16-2)÷（1-1/3）+1】÷（1-1/2）=44（吨）
【例题2】 王大伯屋后有一棵桃树。他孙子每天从树上摘下一些桃子 和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的1/10， 以后8天分别摘下当天树上现有桃子的1/9，1/8，1/7…， 1/3，1/2，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有 多少个桃子？
8X2-4=12（个）
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果 从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两 个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？
乙拿出400袋面粉，甲得到400÷2=200（袋）面 粉后两仓库面粉袋数相等，说明原来两仓库相差 400+200=600（袋）面粉。（400+400÷2）÷ （9-6）×（9+6+食若干吨，从甲仓库运 出1/4到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时 甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙 仓库的几分之几？
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意 可知，从乙仓库运出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2。 ①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件 一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以， 解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与 减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步 地推算，这种思考问题的方法叫倒推法，又被称 为“还原法”。
适用的数学问题满足以下条件：已知最后的结果 和到达最后结果的每一步具体的过程。
休息10分钟。
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲 拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数 给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、 乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元 可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下 的钱是56÷2＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。 168÷3÷2＝28元 答：原来甲比乙多28元。
把两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先求原 来甲仓库的粮食质量占总质量的几分之几。
①【1-1/2÷(1-1/4)]÷(1-1/5)=5/12 ②5÷(12-5)=5/7
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙 仓库的粮食是甲仓库的9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓 库的几分之几？
①把甲、乙两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先 求甲仓库原来的粮食质量占总质量的几分之几。【11/2÷（1-1/3）]÷（1-1/3）=3/8 ②原来甲仓库的粮食质量是乙仓库的粮食质量的几分 之几。3÷（8-3）=3/5
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库 运出1/5到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓 库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲 仓库的粮食是乙仓库的几分之几？
1/2÷（1－1/4）＝2/3 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－2/3＝1/3 ③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
1/3÷（1－1/4）＝4/9 ④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝4/5 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的4/5。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3 到乙仓库后，又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲、乙 两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的 几分之几？
【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后， 又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克， 原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有 （24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙 桶内有油24÷（1－1/5）＝30千克，这时甲桶内只有48 －30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶，可见甲桶原 有的油为18÷（1－1/3）＝27千克，乙桶原有的油为48 －27＝21千克。
２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷， 还剩下35公顷没有耕，这块地共有多少公顷？
【（35+3）÷（1-1/2）+2】÷（1-1/3） =117（公顷)
３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了 余下的1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？
甲：【24×2－24÷（1－1/5）】÷（1－1/3）＝27（千 克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3： １．小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现 有的画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原 来两人各有画片多少张？
小强拿出自己画片的1/4后有12张画片，可推导 出小强有12÷（1-1/4）=16（张），那么此时小 华有12X2-16=8（张）画片，小华拿出1/5后有8 张画片，可推导出小华原有8÷（1-1/5）=10 （张）画片。
二、精讲精练
【例题1】 筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二 天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？
练习1： １．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的 1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤 原有多少吨？
(14+6)÷（1-1/3）÷（1-2/7）=42（吨）
把两个仓库粮食的总质量看作单位“1”，先求原来甲 仓库粮食的质量占总质量的几分之几。
①【1-9/19÷（1-2/5）】÷（1-1/3）=6/19 ②6÷(19-6) =6/13
【思路导航】从树上还留下10个桃子人手倒着往前推， 它占第8天后余下的1-1/2=1/2，第8天后余下10÷（1-1/2） =20（个 ），这20个占第7天后余下的1-1/3=2/3，第7天 后余下20÷（1-1/3）=30（个）。依此类推：
10 ÷（1-1/2）÷（1-1/3）÷（1-1/4）÷（1-1/5）÷ （1-1/6）÷（1-1/7）÷（1-1/8）÷（1-1/9）÷（1-1/10） =100（个）
小强原有12×2-10=14（张）画片。
２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给 乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他 们原来各有多少元？
甲：【90x2-90÷（1-1/4）】÷（1-1/5）=75 （元） 乙：90x2-75=105（元）
３．一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第 二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好 剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
练习4： １．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与 乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数 到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这 样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少 人？
最后每班各有144÷3=48（人）。 144÷3÷2=24（人）
２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲 盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒 后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙 盒多几个球？
5÷（1-1/7）÷（1-1/5）÷（1-1/3）=10 又15/16（斗）
3.仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的1/2又4吨， 第二次运出余下的1/2又3吨，第三次运出余下的1/2又 5吨，最后还剩下12吨。这个仓库原有粮食多少吨？
{【（12+5）÷（1-1/2）+3】÷（11/2）+4}÷（1-1/2）=156（吨）
答：树上原来有100个桃子。
练习2： 1.把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这 样剪了四次，剩下的正好是1米。这根绳子原来长多少 米？
1÷1/2÷1/2÷1/2÷1/2=16（米）
2.《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外 关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。 问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时， 用全部米的1/3納税，过中关时用所余米的1/5纳税，经 过内关时用再余米的1/7纳税，最后还剩下5斗米。这个 人原来背多少斗米出关？
[(16-2)÷（1-1/3）+1】÷（1-1/2）=44（吨）
【例题2】 王大伯屋后有一棵桃树。他孙子每天从树上摘下一些桃子 和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的1/10， 以后8天分别摘下当天树上现有桃子的1/9，1/8，1/7…， 1/3，1/2，摘了9天，树上还留下10个桃子。树上原来有 多少个桃子？
8X2-4=12（个）
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果 从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两 个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？
乙拿出400袋面粉，甲得到400÷2=200（袋）面 粉后两仓库面粉袋数相等，说明原来两仓库相差 400+200=600（袋）面粉。（400+400÷2）÷ （9-6）×（9+6+食若干吨，从甲仓库运 出1/4到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时 甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙 仓库的几分之几？
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意 可知，从乙仓库运出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2。 ①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件 一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以， 解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与 减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步 地推算，这种思考问题的方法叫倒推法，又被称 为“还原法”。
适用的数学问题满足以下条件：已知最后的结果 和到达最后结果的每一步具体的过程。