高中数学 递推数列的单调有界性

递推数列的单调有界性

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例:已知数列{a n }中 ，设1a >3，且n a =2111233(2)

n n n a a a -----(23)n =,,。求证：3<1n a +

证明：令f （x ）=2x 2−3x 3x−2(x >3), 则f （x ）́=2(x−1)(x−3）3（x−2）2 当23时f (x )́>0 所以x=3时有f （x ）min =f (3)=3 又f (x )−x =−x (x−3)3(x−2)，当x >3时，f (x )3，所以3

练习已知数列{a n }中 ，设2<1a <3，且n a =211134(1)

n n n a a a -----(23)n =,,。 求证：n a <1n a +<3(123)n =,,,

参考答案：

证明：令f （x ）=3x 2−x 4(x−1)(x

>2)，则f(x)́=3x 2−6x+14(x−1)2>0(x >2) f (x )−x =−x(x−3)4(x−1)>0(2

f (x )>x ，又f (x )−3=

(x −3)(3x −4)4(x—1)<0(2

因为2

假设a k