正交多项式

正交多项式 若首项系数0n a ≠的n 次多项式
()n x ϕ，满足
⎩⎨
⎧=>≠==⎰
;
0,,
0d )()()(),(k j A k j x x x x k k j b a
k j ϕϕρϕϕ
(,0,1,)j k =
就称多项式序列01,,,n ϕϕϕ ，在
[,]a b 上带权()x ρ正交，并称()n x ϕ是
[,]a b 上带权()x ρ的n 次正交多项式。

构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt ）方法
定理：按以下方式定义的多项
式集合01{,,,}n ϕϕϕ 是区间[,]a b 上关
于权函数()0x ρ≥的正交函数族。

0()1
x ϕ=
11()x x ϕα=-
12()()()()k k k k k x x x x ϕαϕβϕ--=-- (2,3,k n =
其中
21112111
()()(,)
(,)
()()b
k k k a
k b
k k k a
x x x dx x x x dx
ρϕϕϕαϕϕρϕ
------==
⎰⎰
(1,2,3,,k n
=
21
112222
()()(,)(,)
()()b
k k k a k b
k k k a
x x dx x x dx
ρϕϕϕβϕϕρϕ
------==
⎰⎰
(2,3,,)
k n =
证明可用归纳法，略。

例：求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。

解： 构造正交多项式
0()1
x ϕ=
1
000
11000
(,)1
(,)
21xdx x dx ϕϕαϕϕ==
=⎰⎰
111
()2
x x x ϕα=-=-
1
2
0112121101()(,)12(,)2()2
x x dx x x dx ϕϕαϕϕ-===
-⎰⎰
1
2
01121
000
1()(,)12(,)121x dx dx ϕϕβϕϕ-===⎰⎰
22
2212011()()()()()212
x x x x x x x
ϕαϕβϕ=--=--=-
于是
1
000
(,)11dx ϕϕ==⎰
1
211011
(,)()212
x dx ϕϕ=-=
⎰
1
2
222011
(,)()6180
x x dx ϕϕ=-+=
⎰
1
00
2(,)s i n f x d x
ϕππ==⎰
1
101
(,)()sin 0
2
f x xdx ϕπ=-=⎰
2
1
2
230
112
(,)()s i n 6
3f x x xdx πϕππ
-=-+
=⎰
故()sin f x x π=在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为
012012001122(,)(,)(,)()()()() 4.12
(,)(,)(,)
f f f x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++≈-
勒让德多项式
当区间为［－1,1］，权函数
()1x ρ≡时，由{1,,,,}n
x x 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用
01(),(),,(),n P x P x P x 表示。

201()1,(){(1)}2!n
n
n n n d P x P x x n dx
==- (1,2,3,),n =
()n P x 是n 次多项式，对其n 次求导后得
1
11()(2)(21)(1)2!
n n n n n P x n n n x a x a
n --=-++++
首
项
n
x
的系数
2
1(2)!(2)(21)(1).2!2(!)
n n n n a n n n n n =-+=
显然最高项系数为1的勒让德多项式为
2!(){(1)}
(2)!
n
n
n n n d P x x n dx =-
勒让德(Legendre)多项式具体表达式为
012
23
342
4()1()1()(31)
21()(53)
2
1()(35303)
8P x P x x
P x x P x x x P x x x ===-=-=-+
[]2
20(1)(22)!()2!()!(2)!
n
k
n k
n n k n k P x x
k n k n k -=--=--∑(0,1,2
n =
性质1 正交性
110,;()()2,.21
n m m n P x P x dx m n n -≠⎧⎪
=⎨=⎪+⎩⎰
证明：反复用分部积分公式，略。

性质2 奇偶性
()(1)n
n n P x P x -=- n 为偶数时()n P x 为偶函数，n 为奇数时()n P x 为奇函数。

性质3 递推关系
11(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +-+=+-
(1,2,3,),n =
证明略。

性质 4 在所有最高项系数为1 的n 次多项式中，勒让德多项式
()n
P x 在［－1，1］上与零的平方误差最小。

证：设()n Q x 是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为 1
()()(),n n n
k k k Q x P x a P x -==+∑
于是
1
1
2
2
1
1
(,)(()0)()n n n n
Q Q Q x dx Q x dx
--=-=⎰⎰ 1
20(,)(,)(,)n k n n k k n n
k P P a P P P P -==+≥∑
证毕。

性质 5 ()n P x 在区间［－1，1］内有n 个不同的实零点。

第一类切比雪夫（Chebyshev ）
多项式
当区间为［－1，1］
，权函数
1()x ρ=
时，由序列
{1,,,,}n
x x 正交化得到的正交多
项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev ）多项式。

它可表示为
()cos(arccos ),
1.n T x n x x =≤
若令cos ,x θ=当x 在［－1，1］上变化时，对应的θ在［0，π］上变化，其可改写成
()cos ,0.n T x n θθπ=≤≤ 具体表达式为
012
2
233424
()cos 01()cos ()cos 22cos 121
()cos343()cos 4881
T x T x x
T x x T x x x
T x x x θθθθθ======-=-==-==-+
[]2
20(1)!()(1)(2)
2!(2)!
n
k n k
n k n n k T x x k n k -=--=--∑ ()n T x 是首项系数为12n -的
n 次
多项式。

性质1 递推关系
11()2()()(1,2,)n n n T x xT x T x n +-=-=
这只要由三角恒等式 cos(1)2cos cos cos(1)(1)
n n n n θθθθ+=--≥
令cos ,x θ=即得。

性质 2 最高项系数为1的
()n T x 对零的偏差最小。

即在区间
［－1，1］上所有最高项系数为1的一切n 次多项式中，
11
()()
2
n n n x T x ω-= 与零的偏差最小，其偏差为1
1
.
2
n -
证：由于
*
111()()()
2
n n n n n x T x x P x ω--==-
11111111
max ()max ()22n n n n x x x T x ω---≤≤-≤≤==
且点cos (0,1,,)k k
x k n n
π== 是()n T x 的切比雪夫交错点，由定理4知，区间［－1，1］上n
x 在1n H -中最佳
逼近多项式为*1
()n P x -，即()n x ω是与零的偏差最小的多项式。

证毕。

例：求32
()221f x x x x =++-在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。

解：最佳逼近多项式*
2
()P x 应满足
*
2
11
max ()()min.x f x P x -≤≤-=
由
性
质
2
知
，
当
*
23211(()())()22
f x P x T x -= 即
*
3
2
313()()()222f x P x T x x x
-==-
时，与零偏差最小，故
*
2
2
317()()()1
22
P x f x T x x x =-=+- 就是()f x 在［－1，1］上的最佳2次逼近多项式。

性质 3 切比雪夫多项式
{()}k T x 在区间［－1，1］上带权
1
()x ρ=
正交，且
110,()(),
0;2,
0.
n m T x T x dx n m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰
令c o s x θ=则s i n d x
d θθ=-于是
100,
()()cos cos ,0
2,0
n m T x T x dx n m d n m n m ππθθθπ-≠⎧⎪⎪===≠⎨⎪==⎪⎩⎰⎰
性质 4 2()k T x 只含
x 的偶次
幂，21()k T x +只含x 的奇次幂.
性质5 ()n T x 在区间［-1，1］上
有
n
个零点
21cos ,1,,.
2k k x k n n π-==
n
x 可用01,,,n T T T 的线性组
合表示，其公式为
[]2
1202
().n
n
n
n k k n x T x k --=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ 具体表达式为
012
023134
024513511
()21
(3)41
(34)81
(105)16T x T x
T T x T T x
T T T x T T T ===
+=+=
++=
++
其他常用的正交多项式 一般说，如果区间],[b a 及权函数)(x ρ不同，则得到的
正交多项式也不同。

除上述两种最重要的正交多项式外，
下面再给出三种较常用的正交多项式。

1. 第二类切比雪夫多项式 在区间]1,1[-上带权
2
1)(x x -=ρ的正交多项式称为第二
类切比雪夫多项式，其表 达式为
sin[(1)arccos ]
()n n x U x +=
，
由θcos =x ，可得 x x x U x U m n d 1)()(2
1
1-⎰-
0,,sin(1)sin(1),,2
m n n m d m n π
θθθπ
≠⎧⎪
=++=⎨=⎪⎩⎰
即)}({x U n 是]1,1[-上带权2
1x -的正
交多项式族，还可得到递 推关系式
,
2)(,1)(10x x U x U ==
11()2()()
(1,2,).n n n U x xU x U x n +-=-=
2. 拉盖尔多项式 在区间
],0[∞上带权x
e
-的正交多项式称
为拉盖尔（Laguerre ）多项式，其表达式为
).(d d )(x
n n
n
x
n e x x
e x L -= 它也具有正交性质
⎩
⎨⎧=≠=-∞
⎰
,,)!(,,0d )()(20
n m n n m x x L x L e m n x
和递推关系
,
1)(,1)(10x x L x L -==
2
11()(12)()()(
n n n L x n x L x n L x ++=+--.
3. 埃尔米特多项式 在区间
),(∞-∞上带权2
x e
-的正交
多项式称为埃尔米特（Hermite ）多项式，其表达式为
),(d d )1()(2
2
x
n n
x n n e x
e x H --= 它满足正交关系
⎩
⎨⎧=≠=-∞+∞
-⎰
,,2;,
0d )()(2
n m n n m x x H x H e n
n m x
π 并有递推关系
,2)(,
1)(10x x H x H ==
)
,2,1()(2)(2)(11 =-=-+n x nH x xH x H n n n .
函数按正交多项式展开 设],[)(b a C x f ∈，用正交多项式
)}(,),(),({10x g x g x g n 作基，求最佳平
方逼近多项式
)()()()(1100x g a x g a x g a x S n n n +++= ， 由)}({x g k 的正交性及方程组求解，可求得系数
)
,,1,0()
,(),(n k g g g f a k k k k ==， 于是，)(x f 的最佳平方逼近多项式为
).
()
,()
,()(0
x g g g g f x S k k k k n
k n ∑
== 均方误差为
1/2
22
2222
0(,)(,)(,)n k n n k k k k f g f s f f g f
g g δ=⎡⎤⎡
=-=-=⎢⎥⎢⎣⎣⎦
∑
下面考虑函数]1,1[)(-∈C x f 按勒让德多项式}),(),({10 x P x P 展开求
)
(x f 最佳平方逼近多项式
)(*x S n
， 根据上面公式有
),()()()(*
1*10*0*x P a x P a x P a x S n n n +++= 其中
,d )()(212),(),(1
1
*x x P x f k P P P f a k k k k k
⎰-+== 平方误差为
122
*2
2
1
2()d .
21
n
k
k k f x x a k δ-==-+∑
⎰
例 求x
e x
f =)(在]1,1[-上的三
次最佳平方逼近多项式。

解 先计算(,)(0,1
k f P k =。

3504.21
d ),(1
10≈-==⎰-e
e x e P
f x
；
7358.02d ),(1
11
1≈==--⎰
e
x xe P f x
；
1431.07d 212
3),(211
2≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰
-e e x e x P f x
；
.02013.05137d 2325),(311
3≈-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰
-e e x e x x P f x
； 又有
1752
.12/),(0*0
==P f a ，
1036.12/),(31*1
==P f a
3578.02/),(52*2
==P f a ，
07046.02/),(73*
3
==P f a ，
*2
3
32
1() 1.1752 1.10360.3578(31)0.07046
2
1(53)0.99630.99790.53670.12
S x x x x x x x =++⨯-+-=+++
均方误差
*3
2
2
()
0.008
x
n
e S x δ=-=
≤
最大误差
0112.0)
(*3
≤-=∞
∞
x S e x
n
δ.
如果],[)(b a C x f ∈，求],[b a 上的最佳平方逼近多项式，做变换
)
11(2
2≤≤-++-=t a
b t a b x ，
于是)2
2()(a
b t a b f t F ++-=在]1,1[-上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式)(*t S n
，从而得到区间
],[b a 上的最佳平方逼近多项式
))2(1(*b a x a
b S n
---。

由于勒让德多项式)}({x P k 是在区间]1,1[-上由{1,,,,}k
x x 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由
n n x a x a a x S +++= 10*)( 直接通过解法方程得到n H 中的最佳平方逼近多项式是一致的，只是当n 较大时求法方程出现病态方程，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，计算公式也较方便，因此通常都用这种方法求最佳
平方逼近多项式。