让学生学会“数学地思考”

让学生学会“数学地思考”──以《认识面积》教学为例

叶圣陶先生曾指出：教是为了不教。数学教学要达到“不教”的境界，关键是让学生学会“数学地思考”。“数学地思考”又称为数学地思维，认为数学地思考意味着：（1）用数学家的眼光看世界，即具有构造模型、符号化、抽象化等数学化倾向；（2）具有成功地实行数学化的能力。［1］

美国学者Crows认为，学会数学思考就是形成数学化和抽象化的数学观点、运用数学进行预测以及运用数学工具解决问题的能力。还有人认为数学地思考是在面临各种问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度思考解决问题的途径。［2］我国的数学课程标准将“数学思考”作为数学课程的目标之一。美国的数学教育文件《人人关注数学教育的未来》中指出：“……美国人比过去任何时候都需要数学地思考。”英国的国家数学课程标准中也提出“使学生有机会运用一系列思考策略进行活动，以巩固和发展相关的知识和技能，发展数学思考能力。”

“数学地思考”，其本质是让学生在面临各种问题情境时从数学的角度去观察分析问题，发现其中所存在的数学信息，并运用数学知识与方法解决问题的思考方式与能力。

可见，数学地思考，首先要解决“思考什么”的问题；在抽象出数学问题后，能对相关数学信息进行分析、研究，展开思考的过程；最后应该是在反思与回顾中提升原有认识，积累思考的经验、策略。现以《认识面积》的教学为例，探讨如何引导学生学会数学地思考。

一、明确观察角度，让“思考”有方向

（一）从数与形的角度观察

思考的前提是学生要知道思考什么，知道问题是怎样产生的。否则学生只能按图索骥。因为“体”对于学生而言更加直观，所以教学时，我引导学生经历了“体—面—面有大小—揭示面积的含义”这一认知过程。

【片段1】

1.摸一摸，认识“物体的表面”。

师生活中有许多物体，每个物体都有它的表面。你能摸摸这个纸巾盒的表面吗？

师谁能摸摸这个球的表面？（这是个曲面的物体）

师数学书有几个面？这是数学书的封面，我们一起来摸一摸。

要求：请你找一些物体，摸一摸它的面，边摸边思考，它们有什么不同。

2.比一比，认识“物体表面”的大小。

师你摸了哪些面？展示给大家看看（3个人说，其中一个是曲面）你摸的这些面，有什么不同？

生平平的、滑滑的，有的弯曲，有的平，形状不同，有大有小。

师从数学的角度观察，它们有什么不同？（板书：大小）

师我们摸的这些面都是物体的表面。（板书：物体表面）

3.说一说。

师比比黑板的表面和数学书的封面，说说哪一个面比较大，哪一个面比较小？

师物体表面有大有小，我们把“物体表面的大小叫作它们的面积”。（板书：物体表面的大小叫作它们的面积）你能说说谁的面积比谁的面积大或小吗？

现实生活中，我们会看到很多物体，但观察的时候角度是多样的。如果从数学的角度看，关注其表面的“形状”与“大小”，这样就能帮助学生明确不论是物体的面还是图形的面，不论是平面还是曲面，都可以讲面的大小归在一起作为对象加以研究，很自然地概括面积的含义。

（二）从概念外延与反例进行思考

我们期待学生拥有一双“数学的眼睛”，不仅能从“数与形”的角度观察，还能善于沟通相关知识之间的联系，延续有价值的思考。

【片段2】

1.画出实物图形的一个面，抽象出平面图形。

师如果我们沿着作业本的封面边框画出来，画出来的是什么图形？它与原来的封面有什么关系呢？

生周长一样、长一样，宽一样，面积一样。（重合）

2.辨析，明确封闭图形的面积。

师你们说它的面积与这个封面的面积相等，其实你们想说的是这个长方形有面积。聪明的同学自然会想：其他图形会有面积吗？

出示各种图形，让学生先说一说。然后在画图工具中演示。

交流：明确哪些是封闭图形（课件中隐去后两个图形），封闭图形的大小是它们的面积。（板书）

一句“其他平面图形都有它们的面积吗”，迅速将学生的思考扩展开来，由特殊的长方形过渡到一般的平面图形。在猜测、争论时借助画图工具演示，让学生直观地看到不封闭的图形没有“面积”。值得一提的是，用画图工具演示时，学生们竟然自发地欢呼起来，这是数学思考被证实后最热切的温度。

二、经历数学活动，让“思考”有过程

要教会学生思考，必须要让学生经历思考的过程。所以创设一个内涵丰富、颇有研究价值的数学活动，让学生实实在在地经历思考过程，积累思考经验尤为重要。

（一）聚焦矛盾，让思考有抓手

课堂时空有限，常常需要教师集中矛盾，引导学生在争辩、反思与碰撞中明确研究的问题，提升思维品质。

【片段3】

师下图中涂色部分表示的是这三个图形的面积吗？

学生独立思考。

师你们认为谁准确地表示了面积？你还想说些什么？

第一幅图让学生明白红色部分再加上白色部分的面积就是原大长方形的面积。（揭示了面积的可加性）

第二幅图让学生明确周长与面积的区别。在用手势表示的过程中直观又深刻地加以理解。

第三幅图让学生明确不规则的平面图形，只要是封闭的就有面积，丰富面积的外延。

（二）回到源头，让思考有根基

如果说“聚焦矛盾”更多是从与新知相关连或易混淆旧知的矛盾处入手，让思考有抓手，那么能回到生活的源头，采撷那些不被注意或是学生的认识盲区，能使学生的思考更有根基。

在认识“面”的时候，我们往往关注的是“实”的面，而没有关注“虚”的面，如玻璃杯口的面积，因为杯口是空的，会让学生有错觉，以为杯口没有面积。

比较面积大小时，较小的面积可以直接看和量，而较大的面积根本看不到整体，怎样比呢？这类实际问题，会使学生置身于真实的问题状态，超越对教材中相关数学结论的认识，思考的基础更加厚实。

（三）关注差异，让思考有层次

一个成功的数学活动，应在最大程度上吸引孩子们参与，尽可能让全班同学都动起来，使得不同的人在数学上得到不同的发展。因而活动要尽可能考虑不同学生的思考特质，同时具有一定的挑战性，满足他们探索成功的心理需求。

【片段4】

通过刚才的学习，同学们已经知道了面积的含义，也知道面积有大小之分。下面图形中任选2个比一比，看看哪个面积大，说说你是怎么比的？出示4幅图形。（分别为图1是6厘米×4厘米的黄色长方形，图2是6厘米×4厘米的橘色长方形，图3是10厘米×2厘米的绿色长方形，图4是边长2厘米的红色正方形，以及每个方格边长是1厘米的透明方格纸。）

1.比较明显差异的大小（观察法）。

学生很快就比出图1和图4，图2和图4，图3和图4。（学生刚解决完第一个问题就有学生问怎么比较图1和图3的面积）

四人小组分组合作解决问题，教师提示：信封中还有一件礼物（特指方格纸），不到万不得已，请不要用。

2.比较差不多的面积大小（重叠法、剪拼法）。

教学中有学生受一维长度比较的负迁移，以为只要比较两个长方形的一条边就可以。学生再反驳，调整，必须要让一个直角重叠，就是做到两个维度同时比较。有学生将图1对折变成2个6厘米×2厘米的长方形，再量10厘米×2厘米的长方形，发现只够摆一个6厘米×2厘米的长方形，其实这种方法就是用同一标准“6厘米×2厘米的长方形”来量；有学生都将图形对折，变成6厘米×2厘米与5厘米×2厘米的对比，其实这也是在找一个标准，因为对折后的图形宽一样，只要比长就可以了，这样就将二维问题转化为一维问题；有的用最小的图形边长2厘米的正方形来直接摆图1和图3；当