43空间直角坐标系
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点的表示: O(0,0,0)
坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上z的点 A, B , C ,
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
? M (x, y,z)
o
y
Q(0, y,0)
x P( x ,0,0)
A( x , y,0)
M ( x, y, z), x、y、z 分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标。
y1 ? ? 1, y2 ? 5 于是所求点为(0,? 1,0), (0,5,0).
课堂练习
课后作业
关于谁对称，谁不变，其余全相反。
例3(1)在空间直角坐标系O-xyz中,画出三个 不同的点P,Q,R. 使得三个点的坐标都满足 z=3,并画出图象.
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的 坐标满足的条件。
例4 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，D是AC的
中点， AB=2,AA 1=3,建系并写出点的坐标。
? M1P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 , NM 2 ? z2 ? z1 ,
zR
M1?
P
o x
? d ? M 1 P 2 ? PN 2 ? NM 2 2
? M2
Q Ny
M 1M 2 ? ?x 2 ? x1 ?2 ? ?y2 ? y1 ?2 ? ?z2 ? z1 ?2 .
空间两点间距离公式
4.空间直角坐标系共有八个卦限 .
二、三个坐标轴的正方向符合右手系.
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
z 竖轴
从正向 x 轴以 ? 角
2
度转向正向 y 轴
定点 o ?
y 纵轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向 . 横轴 x
空间直角坐标系
三、空间中点的坐标表示
空间的点 ? ?1???1? 有序数组 ( x , y, z)
4.3空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
1.从空间某一定点O
z 竖轴
引三条互相垂直且有 相同单位长度的数轴,
这样就建立了空间直
定点 o ?
y 纵轴
角坐标系O-xyz.点O 横轴 x 叫坐标原点;
2.x轴,y轴,z轴叫做坐标轴.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
3.这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面 ,ຫໍສະໝຸດ Baidu分别称为 xoy面,yoz面,zox面.
特殊地：若两点分别为 M ( x , y, z) , O(0,0,0)
d ? OM ? x 2 ? y2 ? z 2 .
例5 在y 轴上找一点P，使它与点P0(4,2,2)的距 离为 29. 解 因为 P 在 y 轴上，设P点坐标为 (0, y,0), 则
P0 P ? 29
即 42 ? ?y ? 2?2 ? 22 ? 29,得
z
C1
B1
A1
y
C
B
DA
x
四、空间两点间的距离
设M 1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x 2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M 1?
P o
d ? M1M2 ? ?
?M2
Q N
在直角 ? M 1 NM 2 及 直 角 ? M 1PN
中 ， 使用 勾股 定
y 理知
x
d 2 ? M 1 P 2 ? PN 2 ? NM 2 2 ,
A.(1,-2,3) B.(2,3,4) C.(2,-3,-4) D.(-2,-3,1)
例1.在空间直角坐标系中,作出点(5,4,6)。
例2.已知点A(x,2,3)与B(-2,y,z)关于x轴对称, 则x+y+z=_______
变式：已知点A(x,2,3)与B(-2,y,z)关于面xoy 对称,则x+y+z=_______
注:(1) 点在x轴上,则y=z=0; 点在y轴上,则x=z=0; 点在z轴上,则x=y=0
注:(2)点在平面xoy内,则z=0; 点在平面xoz内,则y=0; 点在平面yoz内,则x=0
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
思考题:在空间直角坐标系中，指出下列各点 在哪个卦限？
坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上z的点 A, B , C ,
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
? M (x, y,z)
o
y
Q(0, y,0)
x P( x ,0,0)
A( x , y,0)
M ( x, y, z), x、y、z 分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标。
y1 ? ? 1, y2 ? 5 于是所求点为(0,? 1,0), (0,5,0).
课堂练习
课后作业
关于谁对称，谁不变，其余全相反。
例3(1)在空间直角坐标系O-xyz中,画出三个 不同的点P,Q,R. 使得三个点的坐标都满足 z=3,并画出图象.
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的 坐标满足的条件。
例4 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中，D是AC的
中点， AB=2,AA 1=3,建系并写出点的坐标。
? M1P ? x2 ? x1 , PN ? y2 ? y1 , NM 2 ? z2 ? z1 ,
zR
M1?
P
o x
? d ? M 1 P 2 ? PN 2 ? NM 2 2
? M2
Q Ny
M 1M 2 ? ?x 2 ? x1 ?2 ? ?y2 ? y1 ?2 ? ?z2 ? z1 ?2 .
空间两点间距离公式
4.空间直角坐标系共有八个卦限 .
二、三个坐标轴的正方向符合右手系.
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
z 竖轴
从正向 x 轴以 ? 角
2
度转向正向 y 轴
定点 o ?
y 纵轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向 . 横轴 x
空间直角坐标系
三、空间中点的坐标表示
空间的点 ? ?1???1? 有序数组 ( x , y, z)
4.3空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
1.从空间某一定点O
z 竖轴
引三条互相垂直且有 相同单位长度的数轴,
这样就建立了空间直
定点 o ?
y 纵轴
角坐标系O-xyz.点O 横轴 x 叫坐标原点;
2.x轴,y轴,z轴叫做坐标轴.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
3.这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面 ,ຫໍສະໝຸດ Baidu分别称为 xoy面,yoz面,zox面.
特殊地：若两点分别为 M ( x , y, z) , O(0,0,0)
d ? OM ? x 2 ? y2 ? z 2 .
例5 在y 轴上找一点P，使它与点P0(4,2,2)的距 离为 29. 解 因为 P 在 y 轴上，设P点坐标为 (0, y,0), 则
P0 P ? 29
即 42 ? ?y ? 2?2 ? 22 ? 29,得
z
C1
B1
A1
y
C
B
DA
x
四、空间两点间的距离
设M 1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x 2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M 1?
P o
d ? M1M2 ? ?
?M2
Q N
在直角 ? M 1 NM 2 及 直 角 ? M 1PN
中 ， 使用 勾股 定
y 理知
x
d 2 ? M 1 P 2 ? PN 2 ? NM 2 2 ,
A.(1,-2,3) B.(2,3,4) C.(2,-3,-4) D.(-2,-3,1)
例1.在空间直角坐标系中,作出点(5,4,6)。
例2.已知点A(x,2,3)与B(-2,y,z)关于x轴对称, 则x+y+z=_______
变式：已知点A(x,2,3)与B(-2,y,z)关于面xoy 对称,则x+y+z=_______
注:(1) 点在x轴上,则y=z=0; 点在y轴上,则x=z=0; 点在z轴上,则x=y=0
注:(2)点在平面xoy内,则z=0; 点在平面xoz内,则y=0; 点在平面yoz内,则x=0
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
思考题:在空间直角坐标系中，指出下列各点 在哪个卦限？