保角变换

dw b 容易验证：分式线性映射的逆映射 z ， cw a (a)(d ) bc 0 也是分式线性映射，因此，我们通常也把分
式线性映射称为双线性映射．
dw ad bc 由于分式线性映射的导数 0 ，因而， 2 dz cz d
分式线性映射是保角映射． 容易验证 ： 两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性 映射． 事实上，设
定理 6.2.4 在 z 平面和 w 平面上任意给定三个相异的点 z1 ，
az b 【证明】 设 w cz d w k k 1, 2,3 ，即
2， 3 1，
wk
于是
az b azk b z zk ad bc w wk cz d czk d cz d czk d
azk b czk d
2， 3 ， k 1，
k 1， 2
az3 b azk b z3 zk ad bc w3 w k cz3 d czk d cz3 d czk d
由此可得
2 k 1，
w w1 w 3 w 2 z z1 z3 z2 w w 2 w 3 w1 z z2 z3 z1
6.1 保角映射的概念
我们在讨论解析函数导数的几何意义时已经提到了保角映射这 一概念．
6.1.1 保角映射的概念
定义 6.1.1 为保角映射． 凡具有保角性（角度相同，旋转方向相同）和伸缩率不变性的映 射称为第一类保角映射． 凡具有保角性(角度相同但旋转方向相反 )和伸缩率不变性的映射 称为第二类保角映射． 保角映射 凡具有保角性和伸缩率不变性的映射称
az b 设w ，可以把它化为 cz d ad 1 a (6.2.1) w b c cz d c 1 B （ A ， B 为复常数） 令 cz d ， ，那么 w A ．

由此可见，一个一般形式的分式线 性映射是由下列两种特殊映射复合而成： （i） w kz b ；
推论 6.2.2
在分式线性映射下，
（1）当圆弧上没有点映射成无穷远点时，这两圆弧所围成的 区域 D 映射为两圆弧所围成的区域 G ，如图 6.6 (a)； （2）当两圆弧中有一弧上某点映射成无穷远点时，这两圆弧 所围成的区域 D 映射成一圆弧和一直线所围区域 G ， 如图 6.6 (b)； （3）当两圆弧中的一个交点映射为无穷远点时，这两圆弧所 围成的区域 D 映射成角形域 G ，如图 6.6 (c )．
1． 倒数映射（或反演映射）
1 定义 6.2.3 倒数映射： 我们把映射 w 称为倒数映射（或反演 z
映射）. 为了用几何方法由 z 作出 w
1 ， 我们先介绍一下关于圆周对称点的 z
N R
概念． 设 C 为以原点为中心，R 为半径的圆周， 若圆内点 A 及圆外点 B 与圆心 O 在同一直线上，且
w kz
y
v
z
w z b
z

o
o
x
图 6.3
u
因此， 映射 w kz b k 0 就是先将 z 旋转 角度 ，再将 z 伸长（或缩短） r 倍，最后平移一 个向量 b ． 整式线性映射是不改变图形形状的相似变换， 它在整个复平面上处处是保角的、一一对应的。因 而该映射能把 z 平面上的圆周映射成 w 平面上的圆 周，这一性质称为整式线性映射的保圆周性．
Z
1
复平面上处处是保角的．
1 （2）倒数映射 w 也可将圆周映射成圆周． z 事实上，设 z 平面上的圆周 C 的方程为 A x 2 y 2 Bx Cy D 0
其中 A ， B ，C ， D ， x ， y 均为实数．将 x
1 zz ， 2


y
程
1 z z 代入上式，整理后便得到圆周 C 的复数形式的方 2i


Azz z z D 0 1 其中 A ， D 仍为实数， B iC ．当 A 0 时， 2
上式表示一条直线 （它可理解为半径为无穷大的圆， 也称为广义 圆） ．
1 在映射 w 下，上面圆的复数形式的方程可变为 z A w w Dww 0 (6.2.2) 它表示 w 平面上的圆周 （注：当 D 0 时，它表示直线，
6.2分式线性映射
6.2.1 分式线性映射的概念
az b 定 义 6.2.1 分 式 线 性 映 射 我 们 把 形 如 w ， cz d ad bc 0 的映射称为分式线性映射，其中 a, b, c, d 均为复常
数． 由于它是德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868 年）首 先研究的，所以也称为莫比乌斯映射．
现在来讨论映射 w
容易知道，倒数映射 w
1 具有下列特征： z
N 1 （1）映射 w 在除去 z 0 和 z 的复平面 z w1 上处处是保角的、 一一对应的映射． 这是因为当 z 0 ， O 1 w 0 时， ． z w z2 1 由于映射 w 可将圆周 z R 外的一点 z0 映 图 6.5 z 1 w 射为圆周 内的一点 w 0 ，因此，如果再规定 z 与 z 0 ； R 1 w 0 与 w 是两对对称点的话，那么倒数映射 w 在整个扩充 z
OA OB R2 ，则称这两点 A ，B 为关于圆周的对称
点． 显然，圆周 C 上的点的对应点就在圆周上。例如， 图 6.4 中关于圆周的一对对称点为 P, P 点．
P
o A
P
B
图 6.4
对称点的作法： 当点 B 在圆周外时， 连接 OB ， 由点 B 作圆的切线， 切点为 N ， 再由 N 作 OB 的垂线 NA ， 则垂足为 A . A 点即为 B 点关于圆周的对称点 ( 由 ONA ~ OBN 容 易验证： OA OB R ).
D 映射成 w 平面上一个指定区域 G ．
解决这两个基本问题的方法是： 当给出映射 w f z ， 只要求出 D 的边界曲线 l（取正向） 的像曲线 L ， 即可确定出 L 所围成的区域 G ， 总使 L 与 G 按正向（即当 w 沿 L 移动时，使 G 总在左侧）相互对应； 当已知 D 及 G 时，可找出 D 与 G 的正向边界的对应法则， 即可找到两个区域的变换关系（映射） ．
第六章 保角变换
我们已经在第一章的复变函数中指出，复 变函数在几何意义上实际上相当于将平面上 的区域变成了平面上的另一个区域（简称为 映射）．因此，我们就可以考虑利用复变函 数（特别是解析函数）所构成的映射来实现 复杂区域的简单化，这将给实际问题的研究 带来很大的方便．
本章首先给出保角映射的概念，然后讨论 分式线性映射和几个初等函数所构成的映射， 最后给出典型实例描述保角映射的应用．而 关于利用保角变换法求解数学物理方程边值 问题，将在第二篇数学物理方程中详细介 绍．
数） ，所以分式线性映射式中只有三个独立的常数．欲唯一确定这 三个待定常数，必须要三个代数方程．因此，若知三个对应点 z1 w1 ， z2 w 2 ， z3 w 3 ，必可唯一确定一个分式线性映 射
【3】
，即如下定理．
则存在唯一的分式线性映射， 将 zk k 1 z2 ，z 3 和 w1 , w 2 , w3 ， ， 2， 3 依次映射为 w k k 1, 2,3 ．
定理 6.1.1
若函数 w f z 在区域 D 内解析，
且对任意的 z0 D ， 有 f z0 0 ， 那么 w f z 必 是区域 D 内的一个保角映射．
6.1.2 保角映射所解决的两个基本问题
根据实际问题的需要，对于保角映射我们提出需要 研究的两个基本问题： （1） 已知保角映射 w f z 及 z 平面上的区域， 求出 w 平面上相应的区域 G ． （2） 求一保角映射， 使它将 z 平面上一个已知区域
w

0
，
z z
0
az b w cz d
把后一式代入前一式，即可得到具有下列形式
的分式线性映射. 式中 ad bc 0 ． 容易验证 可以把一般形式的分式线性映射看成是一些简单映 射的复合．
2
当点 B 在圆周内时，由定义也可作出其在圆外的对 称点 A ．
1 的几何意义． z 1 为了便于分析，可将映射 w 分解为下面两个映射： z 1 （i） w w1 ； （ii） w 1 ． z 1 1 i 如果设 z re ，则 w1 i z re 1 由于 z w1 r 1 ， 所以 z 与 w1 是关于单位圆周 z 1的一对对称 r 1 点；而 w 与 w1 又是关于实轴互相对称的． 因此，要由点 z 作出点 w ， z 只要先作出 z 关于单位圆周 z 1的对称点 w1 ，然后再作出点 w1 关于实轴 的对称点 w 即可（如图 6.5） ．
6.2.4 分式线性映射的确定及应用
1. 唯一确定分式线性映射定理
az b 在分式线性映射 w cz d
ad bc 0 中，a ，c 至少
有一个不为 0，以这个不为 0 的常数遍除分子、分母，可将分式中
z 的四个常数化为三个常数，即 w k （其中 ， ， k 为常 z
即广义圆） ．
1 总之，映射 w kz h 和映射 w 在整个扩充复平面 z
上是处处保角地、一一对应地把圆周映射成圆周的映射．
6.2.3 分式线性映射的性质
由于一般形式的分式线性映射是由整式线性映射和倒 数映射复合而成，因此，由以上讨论容易得知下面的定理是 成立的．
az b 定理 6.2.1 分式线性映射 w 是两个扩充复 cz d
az b 定理 6.2.3 如果分式线性映射 w 将 z 平面上 cz d 的圆周 C 映射为 w 平面上的圆周 ，则它将 z 平面上关 于圆周 C 对称的点 z1 和 z2 映射成 w 平面上关于圆周
对称的点 w1 和 w 2 .（证明略） 该定理表明分式线性映射具有保持对称点不变的性 质，简称保对称性．
平面之间的一一对应的保角映射．即分式线性映射具有保角 性．
az b 定理 6.2.2 分式线性映射 w 将 z 平面上的圆周 cz d （或直线）一一对应映射成 w 平面上的圆周（或直线） ．即分式
线性映射具有保圆周性． 由定理 6.2.2 可得下面两个推论： 推论 6.2.1 在分式线性映射下，如果给定的圆周（或直线） 上所有点都不映射为无穷远点，那么该圆周（或直线）将被映射 成半径为有限值的圆周；如果其上有一个点映射成无穷远点，则 该圆周（或直线）必映射成一条直线．
y z o x
v
w z b
w z b
b
z
u
图 6.2
（2）当 b 0 时， w kz ，此映射称为旋转伸缩映射． 设 k re ， z z ei ，则 w r z e
i
i
，所以映射 w kz 可看
成是先将 z 旋转角度 ，再将 z 伸长（或缩短） r 倍所得，如图 6.3．
1 （ii) w z
6.2.2 两种特殊的映射
1． 整式线性映射 定义 6.2.２ 我们把映射 w kz b
k 0 称为整式线性映射．
（1）当 k 1 时， w z b ，此映射称为平移映射． 因为复数可用向量表示，所以平移映射可用平行四边形法则得到 （如图 6.2） ．