河口、海岸水动力模拟技讲义术2012

❖ 有限差分法是工程中常用的一种离散技术，将计 算域分成有限个网格，通过差分法求网格结点的 微分方程的近似值，也称网格法。
❖ 将网格结点上的函数f(x,y,z,t)表示成
，
i,j,k分别表示x,y,z方向的坐标位置，n表示时间。
1、解线性方程组的两种方法:
❖ 直接法:通过有限步算术运算直接求出方程 组的精确解,最常用的是消元结合代入的方 法.
调整模型中有关参数（糙率、紊动动量掺混 系数等），使模型有良好的稳定性和收敛性， 并与现场资料有良好的吻合；
（4）正式方案试验
❖河口、海岸水动力模拟的发展方向
1、河口模型四维资料同化
2、数字河口动力模型
数字河口动力模型具有许多优势:
首先,数字河口模型是基于数字区域地形构建而成的,地形要素 可自动生成,无需手工操作,大大提高了工作效率;
上. ❖ 稀疏矩阵一般是人为构造的,例如36页三转角
插值时方程组(8.12),(8.15)的系数矩阵.
Gauss消去法(第一次消元)
（2）需要丰富的经验，现场资料和一定的 技巧；
（3）数值模拟不仅仅是一种近似计算，可 以作为一种实验或研究及预测方法。
❖ 数值模拟的优点： （1）实验费用少； （2）速度快、周期短； （3）可以模拟多种因素相互作用的复杂物理过程。 如可以模拟水（潮）流、风、柯氏力等多种因素 共同作用下的多种泥沙及地形演变的复杂过程。 （4）可以完全控制流体的物理性质（如密度、容 重、粘度、含沙量等） （5）模型建成后，长期保存、随时调用修改。 （6）无法模拟微分方程不能描述的物理现象。
（3）六点格式（Crank-Nicolson），双层六点隐式格式 在x点和n+△n/2时层，对t和x均采用中心差分
（4）Richardson格式，三层显式格式 在x点和n时层，对t和x均采用中心差分
（5）加权六点格式，隐式格式
在x点和n+θ△n时层，0≤θ≤1，对t和x均采用中 心差分
2.2.2线性方程组的数值解
❖ 参考文献：
❖ Koutitar 著“Mathematical Model in Coastal Engineering”
1)模型简单易懂 2）附有Basic程序，而且有验证的算例 3）介绍各种数值处理技术 ❖ 曹祖德、王运洪”水动力泥沙数值模拟
第二章 水动力数值模拟的理论基础
2.1 基本方程
河口、海岸水动力模拟技术2012
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第一章 绪论
❖ 海岸：是海陆相互作用的重要地带，也是 海、陆、气交互作用的重要空间，这种表 现在： 岸线演变（自然和人为） 飓风（台风）带来的灾难性破坏； 海洋潮汐环境的变化。
❖ 河口：海岸常伴随有江河湖泊的出海口， 通常称为河口。
❖ 海岸河口问题： 潮流问题 波浪问题 径流、异重流（密度流）、污染物（COD) 扩散。
❖ 水力学、泥沙数值模拟：以水力学和泥沙 动力学为理论基础，并结合具体工程的一 门新型实用科学。
❖ 水动力泥沙数值模拟：以微分方程为理论， 并通过微分方程的离散，变成代数方程， 最后采用计算机进行近似求解。
❖ 数值模拟的特点：
（1）一般以线性理论为基础，但实际自然 现象和描述这些现象的微分方程均为非线 性的；
无滑动：u,v,w=0
有滑动：
垂直边界的速度为0。
2.2数值计算
❖ 在计算水动力、泥沙数值模拟时，大都将 基本方程组离散成代数方程组，最后求解 代数方程组，此处介绍微分方程组的离散 技术——有限差分法和线性代数方程组的 数值解法。
2.2.1有限差分法
❖ 有限差分法是工程中常用的一种离散技术，将计 算域分成有限个网格，通过差分法求网格结点的 微分方程的近似值，也称网格法。
❖ 实际上除非是采用无穷位精度计算,一般都 得不到精确解.
❖ 直接方法适用于解低阶稠密矩阵方程组.
❖ 迭代法 类似于方程求根的迭代法,用一个迭代 过程逐步逼近方程组的解.
❖ 迭代有可能不收敛,或虽然收敛,但收敛速度慢. ❖ 迭代法适用于求解高阶稀疏矩阵方程组. ❖ 稀疏矩阵:矩阵非零元素较少,且在固定的位置
❖ 将网格结点上的函数f(x,y,z,t)表示成
，
i,j,k分别表示x,y,z方向的坐标位置，n表示时间。
1、工程中常用的几种差分和微分的关系（一维） （1）一阶向前差分
（2）一阶向后差分
（3）一阶中心差分 （4）二阶中心差分
2、几种常见的差分格式 以一维热传导方程为例：
（1）古典显式格式
（2）古典隐式格式
其次,数字模型不仅能输出传统模型的结果,而且能够十分方便
地给出河口水文要素和水文状态变量的空间分布场,这些对近岸 河口动力科学研究与河口、港口、航道工程都有着广阔的应用 前景.
❖总而言之,数字河口模型研究的最终目的就是利用已有的河口 基础科学理论和知识,在数字区域地形的基础之上将观测点的水 文信息拓展、同化至区域平面上乃至区域三维立体上的信息,并 形成数字成品,为国家宏观决策和国民经济各行各业服务。
❖ 研究海岸河口问题的方法 物理模型（水力学比尺模型） 数学模型（数值模拟）
沿岸过程
控制
动力因素 反馈
物质过程
流（潮流）
波（风浪）
流载波
波生流
波流相互作用
盐水入侵 泥沙输移 污染物扩散 海水入侵
❖ 数值模拟：一门综合性的模拟技术，它采 用数学模型来模拟某中物理现象，并通过 计算机用数值计算法进行近似求解，籍以 复演自然演变过程的总称。
❖ 数值模拟工作的基本步骤 （1）建立数学模型和编制源程序
建立或选择的微分方程； 根据模拟域边界条件选择合适的网格； 按一定的格式离散方程，得到代数方程 和采用合适的数值方法求解代数方程； 编制源程序求解代数方程。 数值模拟分析（收敛性、稳定性、相容 性、误差程度等）
（2）调试源程序
（3）模型验证
自由面运动学边界条件： 底部运动学边界条件：
初始条件
边界条件 岸边界：法向流速为零。
水边界：给定潮位过程。
Saint Venant 方程
三、二、一维方程的定解条件
❖ 初始条件
u,v,w,ζ|t=0=u0,v0,w0,ζ0 边界条件
开边界：计算域水体与外部水体相接Байду номын сангаас。
(u,v,w)Γ=(u(t),v(t),w(t)) ζΓ=ζ(t) 固边界：计算域与陆地或建筑物接壤处