函数的连续性与间断点
连续性间断点,连续函数的运算
无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x
函数的连续性与间断点
x0
x0
要使 f (0) f (0 ) f (0), a 1,
故，当且仅当 a 1时，f (x)在x 0处连续.
11
二、函数的间断点
1. 间断点（不连续的点）
o
设 f (x) 在U (x0, )内有定义.
若 f (x)具有下列三种情形之一：
(1) 在 x x0 无定义；
(2)
在x
x0
有定义，但
o
x
16
例 9 讨论 f (x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 f (x) 在x 0处没有定义,
且 limsin 1不存在.
x0
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
y sin 1 x
17
例10 求
f
(
x)
x3 sin
x x
,
ln(1
x)
sin
1 x2 1,
例6
讨论
x, f (x) 1 x,
x 0, 在 x 0处的连续性. x 0,
解: f (0 ) 0, f (0 ) 1, f (0 ) f (0 ),
x 0 为跳跃间断点.
y
o
x
14
(2) 可去间断点
若 f (x) 在间断点 x0 处的左右极限存在相等，则称 x0 为 f (x)的可去间断点 .
9
例3 证明 y sin x 在区间(, )内连续.
证 任取 x (, ),
y sin(x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
cos( x x) 1, y 2 sin x .
2
2
对任意的，当 0时，有 sin ，
03.函数的连续性
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.
函数的连续性和间断点
函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
1.6函数的连续性与间断点
则 点 义 称 x0为 数f (x) 可 间 点 函 的 去 断 .
x2 −1 x ， 例8 函 f（ ） x −1， ≠1 数 x = y 0 x =1 。 ， x2 −1 在 x =1 ， 为 点 处 因 lim = x→ x −1 1 1 lim x +1 = 2 而（） 0 （ ） ， f 1 = ，
不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 返回
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时 , y = D( x ) = 0, 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间 在定义域 内每一点处都间断,且都是第二类间 内每一点处都间断 断点. 断点
x→ 1
y=
x −1
2
x −1
以 所 x =1是 数 可 间 点 函 的 去 断 。 o
1
x
返回
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. y 数的定义 则可使其变为连续点 如上例中, 如上例中 令 f (1) = 2,
x 则f ( x )在 =1处 续 连 .
y=
解
f (0−0) = 0,
f (0+0) =1 ,
y
Qf (0−0) ≠ f (0+0),
∴x = 0 函 的 跃 断 . 为 数 跳 间 点
o
x
返回
点 的 限 在 2.可去间断点 如 f (x)在 x0处 极 存 , 可去间断点 果 lim 但x→x f (x) = A≠ f (x0 ), 或f (x)在 x0处 定 点 无
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
§1. 8 函数的连续性与间断点
•函数连续的定义 设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
Dx0
lim [ f (x0 + Dx) - f (x0)] 0 或 , lim f (x) f (x0 )
x x0
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
•讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？
§1. 8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
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铃
一、函数的连续性
•变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的 增量 记作Du 即Du u2-u1 •函数的增量 设函数yf(x)在点x0的某一 个邻域内有定义 当自变量x在 该邻域内从 x0 变到 x0+Dx时 对 应的函数 y 的增量为 Dy f(x0+Dx)- f(x0)
x x0
lim P(x) P(x0 )
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铃
•函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端 点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是 指右连续
•连续函数举例
2 函数 ysin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数ysin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
1 y sin x
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铃
•间断点举例
2 -1 x 例3 3 函数 y 例 在 x1 没有定义 x -1 所以点x1是函数的间断点 2 -1 x lim (x +1) 2 因为 lim x 1 x -1 x1 如果补充定义: 令x1时y2 则所给 函数在 x1 成为连续 所以 x1 称为 该函数的可去间断点
函数的连续性与间断点
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin
函数的连续点与间断点
函数的连续点与间断点在数学中，连续性是描述函数的一种性质。
一个函数在某个点连续意味着在该点附近可以通过函数图像的一条连续曲线来表示。
换句话说，函数在该点的值与该点的极限值相等。
在函数的定义域上，我们可以将连续点分为两类：间断点和连续点。
一个函数的间断点是指在函数定义域上的某个点，该点的函数值与该点的极限值不相等。
可以将间断点进一步细分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：在这种情况下，函数在该点的极限存在，但函数的值与极限值不相等。
这种情况发生在该点存在一个孤立点，也就是说，通过改变函数在该点的定义，可以使其在该点处连续。
例如，函数$f(某) = \frac{某^2 - 1}{某-1}$在$某 = 1$处有一个可去间断点。
2. 跳跃间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限都存在，但极限值不相等。
这种情况下，函数图像会出现一个间断或跳跃。
例如，函数$g(某) = \begin{cases} 1, & 某 < 0 \\ 0, & 某 \geq 0\end{cases}$在$某 = 0$处有一个跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。
例如，函数$h(某) = \frac{1}{某}$在$某 = 0$处有一个无穷间断点，在该点的左右极限分别是负无穷和正无穷。
连续点是指在函数定义域上的点，其函数值与该点的极限值相等。
换句话说，函数图像在该点处没有间断或跳跃。
对于一个函数$f(某)$，如果$f(某)$在其定义域上的每一个点都连续，那么该函数被称为在其定义域上连续的函数。
连续性在数学中具有很多重要的性质和应用。
例如，连续函数具有介值定理，即如果$f(a)<y<f(b)$，那么在闭区间$[a,b]$上存在一个$某$使得$f(某)=y$。
这个定理可以应用于实际生活中的许多问题，例如求根问题、优化问题等。
在微积分中，连续性是很重要的。
函数的连续性与间断点
函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果
x → 0
lim y = 0 , 或 lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 讨论: 如何用εδ 语言叙述函数的连续性定义？ 提示:
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim P( x) = P( x0 ) .
注: 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
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连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 2. 函数 y=sin x 在区间(∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数y=sin x在(∞, +∞)内任意一点x处有 定义, 并且
x →0
lim y = lim [sin( x + x) sin x]
= lim 2 sin x cos(x + x ) = 0 . x →0 2 2
x →0
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二、函数的间断点
间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提 下, 如果函数 f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但 lim f(x)不存在;
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
且是无穷次振荡型间断点.
O
1 y sin x
x
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f (x)在x0点连续
f (x)在x0点存在极限
求函数f ( x )
1 1 e
x 1 x
的间断点, 并指出其类型.
解 当x 0, x 1时, 函数无定义, 是函数的间断点. 1 , x 0, 由于 lim f ( x ) lim x x 0 x 0 1 x 1 e 所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
lim y 0
则称函数f (x)在x0处 连续, 并称x0为函数 f (x)的 连续点.
设 x x0 x , y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x0 ).
lim 定义2 若 x x f ( x ) f ( x0 ), 则称函数 f (x)
f ( x0 0 ) , 称x0为跳跃间断点.
第二类间断点： f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在. 若其中有一个为 , 称x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡, 称x0为振荡间断点.
例 点x 0是如下函数的第几类间 断点：
(1)
sin x f ( x) ; x
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点处的 连续性.
x2 , 例 讨论函数 f ( x ) x 1,
x 1, x 1,
在 x 1处的连续性.
函数的连续性与间断点
f (0+ ) = 1
x = 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
O
x
−1
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三、初等函数的连续性
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在
内连续 .
证: ∀x ∈ (−∞ , + ∞ )
∆y = sin(x + ∆x) − sin x
∆y
=
2
sin
∆x
2
cos(
x
+
∆x
2
)
= ∆x ∆x → 0 0
即
这说明
在
内连续 .
注: 基本初等函数在其定义域内每点都连续.
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 不连续 :
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C [ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
∀只x要0 ∈Q(−(x∞0
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ∞ ,称 x0 为无穷间断点 .
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
函数的连续性与间断点
x x0
二、函数的间断点 （一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第八讲 函数的连续性与间断点
连续性:
连续函数: 要 求:
函数的一种变化性态
高等数学的主要研究对象 理解连续的概念 理解间断的概念与分类 会讨论函数的连续性
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
x0 , x0 内有界.
定理 函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
[a , b]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
定义 设函数 y f ( x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义,
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
函数的连续性与间断点(教师教材)
x0
x0
25
函数的连续性与间断点
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 三个条件;
2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类:
第一类间断点: 跳跃型,可去型 间断点
第二类间断点:无穷型, 无穷次振荡型 (见下图)
26
函数的连续性与间断点
第y 一 类 间 断 点O
可去型
x0
x
第 二
x1
x 1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数f (x)在点x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
4
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
(2) lim f ( x) 存在; x x0
y f ( x) f ( x0 ) f (x0 x) f (x0 )为函数的
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x)
y
y
y f (x)
f ( x0 )y
x
f ( x0 )
x
O
x0
x0 x x O
x0 x0 x x
3
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
函数连续性定义和间断点
（即 xl ixm 0 f[(x)]f(u0)f[xl ixm 0(x)]） .
例2：讨论函数 y co的s x1连2 续性。
解：函数
y
1 co可s x以2 看做是由
y，cous
复合而成的，ycous在(,上连) 续，
在( ,0)(上0,各自 )连续连续， 所以 y
uu cox1sx21x212
在( ,0)(上0,各自 )连续。
.
28
一、填空题：
练习题
1、lim x2 3x4 ____________. x0
2、lim x11____________.
x0
x
3、limln(2cos2x) ____________. x 6
4、lim 22cosx ____________.
x
tan2 x
4
5、limet 1 ____________.
.
31
练习题答案
一、1、2； 2、1 ； 3、0；
2
5、
11 2(e2
1) ；
6、1；
7、(,3),(3,2),(2,) ；
4、0；
8、 2 ,0,不存在. 2
二、1、cosa ； 2、1；
三、a 1, b e .
3； 1 . e2
.
32
第一类间断点 第二类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
.
1
y x 1
y x2
1
y
2
1
1
1
1
x
1
1
x
.
2
y x2 1 x 1
1
2
1
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
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(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
5
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其 是判断分段函数在分界点处是否连续用 定义2方便.
left);
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from the
right).y
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
9
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
函数 f ( x)在 x0处既左连续又右连续.
增量. y 如图:
x x0 x
y f (x) y
y y f (x)
f ( x0 )y
x
O f ( x0 ) x0
x0 x x
O
x
x0
x x0 x
3
2. 连续的定义
定义1 设函数 f (x)在U ( x0 )内有定义, 若
充分必要条件 lim y 0 x0
x 0
2
即函数 y sin x对任意 x (,) 都是连续的.
类似可证, 函数 y cos x在区间(,)内
是连续的.
7
定义2 lim f ( x) f ( x0 ) x x0
例
试证函数
fx
x 0, 在x 0
0, x 0,
则称函数f把(x极)在限x0与处连连续续性,并联称系x起0为来函了数,且f(提x)的 连续点供.了连续函数求极限的简便方法——
只设需x求出x该0 点x函, 数y特定f (值x). f ( x0 ), 连定续义x函 连 采.2数 续 用0若自的 性 了即xli变增 的 无为mx0量量特穷xf (在也征小x)x为定.x00点无义,f(的y穷法x0增小),0量则.形即为称象为无函地f穷数表( x小f(示)x时)了在, xf 0(处x0 ).
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim(a x) a,
x0
x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
在高等数学中,主要的研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成.
2
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量x0 x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量; 函数随着从f ( x0 ) f ( x), 称差
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) 为函数的
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
例 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.
10
例
讨论函数
f (x)
x2,
x 1,
x 1, x 1, y
在 x 1处的连续性.
解 lim f ( x) lim x2 1 f (1),
§1.8 函数的连续性 与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
1
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少. 这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
12
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
f ( x)在开区间 (a, b) 内连续 f ( x) C(a,b) 左端点 x a 右连续 ( lim f ( x) f (a))
xa
右端点 x b左连续 ( lim f ( x) f (b)) xb
f ( x) C[a,b]
13
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理 很有用的定理.
6
lim y 0
x0
例 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin(x x) sin x
2 sin
x 2
cos( x
x ) 2
2
x
2
1
sin x x
22
x x 0 0 即 lim y 0 cos( x x) 1
4
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
处连续.
证
lim x0
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
3. 左、右连续
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续(continuity from the