2-5夫琅禾费衍射解析
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夫琅和费衍射光场复振幅分布函数为：
U ( x) exp( jkz ) k 2 exp( j x )T( f x ) j z 2z
exp( jkz ) k 2 exp[ j x ]a sin c(af x ) j z 2z
2018/11/11
光强分布为：
入射光场性质
Ut ( x0 , y0 )
衍射屏
衍射屏性质
Ut ( x0 , y0 ) Ui ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 )
U ( x, y, z ) exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 ) F{U t ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
2018/11/11
2.夫琅和费衍射举例 1).矩孔与单缝衍射
矩孔的复振幅透过率：
t ( x0 , y0 ) rect (
1 0
x0 y0 ) rect ( ) a b a b x ,y 2 2 其它
T ( x / z, y / z) F{t ( x0 , y0 )} ab sin c(af x , bf y )
exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]F{U 0 ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
—夫琅和费衍射公式
夫琅和费衍射: 输入的傅立叶变换与相位因子的乘积。
观察平面光强分布：
1 I ( x, y ) U U F{U 0 ( x0 , y0 )} x y fx , f y z z z
2018/11/11
菲涅尔衍射公式：
U x, y 1 j z exp jkz exp[ j k 2 k 2 2 ( x y 2 )]F{U 0 x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} 2z 2z
夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限 制条件，即取
• 夫琅和费衍射
– 5.1、夫琅和费衍射公式 – 5.2、夫琅和费衍射实例 – 5.3、衍射的巴比涅原理 – 5.4、列阵定理
2018/11/11
§ 2-5 夫琅和费衍射
1.夫琅和费衍射公式 菲涅尔衍射公式：
1 k x x0 2 y y0 2 U x, y exp jkz U 0 x0 , y0 exp j jz 2z
2018/11/11
—夫琅和费衍射公式
例如
孔(圆,矩,缝)
1 t ( x0 , y0 ) 0 透光部分 不透光部分
假设入射光场为单色平面波振幅为A，垂直照明物体，
U0 ( x0 , y0 ) At ( x0 , y0 )
夫琅和费衍射光场：
U ( x, y, z ) A exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 ) F{t ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
dx dy
0
0
1 j z
exp jkz exp[ j
k 2 k 2 2 ( x y 2 )]F{U 0 x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} 2z 2z
频率取值与观察平面坐标的关系： f x
x y , fy z ຫໍສະໝຸດ Baiduz
菲涅耳光衍射：可看作是输入受二次相位因子调制的傅立叶变换
2018/11/11
3. 衍射的巴比涅原理
有两个衍射屏，其中一个屏开孔部分与另一个屏不透光部 分准确对应，反之亦然。 ——互补屏
圆孔
圆屏
狭缝
细丝
圆孔和圆屏是一对互补屏； 狭缝和细丝是一对互补屏。
2018/11/11
探讨：宽度为a的单缝 衍射屏复振幅透过率函数为：
x0 t ( x0 ) rect ( ) a T ( x / z) F{t ( x0 )} a sin c(af x )
衍射光场为：U ( x, y) exp( jkz ) exp[ j k ( x 2 y 2 )]T( x , y )
j z 2z z z exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]ab sin c(af x , bf x ) j z 2z
2018/11/11
* 2
2018/11/11
频率取值与观察平面坐标的关系：
fx x y , fy z z
夫琅和费衍射图样随传输距离变化按比例放大或缩小。
2018/11/11
t ( x0 , y0 )
--瞳函数(孔径透过率函数) 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相
波 前 y
z
Ui U t
x
t ( x0 , y0 )
衍射光场为：U(x,y) 光强分布为：
exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]ab sin c(af x , bf x ) j z 2z ab 2 2 ax by * ( ) sin c ( , ) I ( x, y) UU z z z
当a<<b时：就是单缝夫琅和费衍射图样
A exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]T( f x , f y ) j z 2z
2018/11/11
光强分布：
2 A 2 I ( x, y ) U ( x, y )} ( ) T( f x , f y ) z 2
对于一般的光探测器，由于其仅对强度有响应，故而夫琅 和费衍射和衍射屏函数的傅里叶变换并没有区别。
k 2 2 ( x0 y0 ) 2z 2
此时要求传输距离满足条件： z
1 2 2 ( x0 y0 ) 2
k 2 2 exp[ j ( x y 0 0 )] 1 则二次相位因子： 2z
2018/11/11
U ( x, y, z )
exp( jkz ) k 2 exp[ j ( x 2 y 2 )] U ( x0 , y0 ) exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 j z 2z z
U ( x) exp( jkz ) k 2 exp( j x )T( f x ) j z 2z
exp( jkz ) k 2 exp[ j x ]a sin c(af x ) j z 2z
2018/11/11
光强分布为：
入射光场性质
Ut ( x0 , y0 )
衍射屏
衍射屏性质
Ut ( x0 , y0 ) Ui ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 )
U ( x, y, z ) exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 ) F{U t ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
2018/11/11
2.夫琅和费衍射举例 1).矩孔与单缝衍射
矩孔的复振幅透过率：
t ( x0 , y0 ) rect (
1 0
x0 y0 ) rect ( ) a b a b x ,y 2 2 其它
T ( x / z, y / z) F{t ( x0 , y0 )} ab sin c(af x , bf y )
exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]F{U 0 ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
—夫琅和费衍射公式
夫琅和费衍射: 输入的傅立叶变换与相位因子的乘积。
观察平面光强分布：
1 I ( x, y ) U U F{U 0 ( x0 , y0 )} x y fx , f y z z z
2018/11/11
菲涅尔衍射公式：
U x, y 1 j z exp jkz exp[ j k 2 k 2 2 ( x y 2 )]F{U 0 x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} 2z 2z
夫琅和费衍射: 在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限 制条件，即取
• 夫琅和费衍射
– 5.1、夫琅和费衍射公式 – 5.2、夫琅和费衍射实例 – 5.3、衍射的巴比涅原理 – 5.4、列阵定理
2018/11/11
§ 2-5 夫琅和费衍射
1.夫琅和费衍射公式 菲涅尔衍射公式：
1 k x x0 2 y y0 2 U x, y exp jkz U 0 x0 , y0 exp j jz 2z
2018/11/11
—夫琅和费衍射公式
例如
孔(圆,矩,缝)
1 t ( x0 , y0 ) 0 透光部分 不透光部分
假设入射光场为单色平面波振幅为A，垂直照明物体，
U0 ( x0 , y0 ) At ( x0 , y0 )
夫琅和费衍射光场：
U ( x, y, z ) A exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 ) F{t ( x0 , y0 )} x y fx , f y j z 2z z z
dx dy
0
0
1 j z
exp jkz exp[ j
k 2 k 2 2 ( x y 2 )]F{U 0 x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} 2z 2z
频率取值与观察平面坐标的关系： f x
x y , fy z ຫໍສະໝຸດ Baiduz
菲涅耳光衍射：可看作是输入受二次相位因子调制的傅立叶变换
2018/11/11
3. 衍射的巴比涅原理
有两个衍射屏，其中一个屏开孔部分与另一个屏不透光部 分准确对应，反之亦然。 ——互补屏
圆孔
圆屏
狭缝
细丝
圆孔和圆屏是一对互补屏； 狭缝和细丝是一对互补屏。
2018/11/11
探讨：宽度为a的单缝 衍射屏复振幅透过率函数为：
x0 t ( x0 ) rect ( ) a T ( x / z) F{t ( x0 )} a sin c(af x )
衍射光场为：U ( x, y) exp( jkz ) exp[ j k ( x 2 y 2 )]T( x , y )
j z 2z z z exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]ab sin c(af x , bf x ) j z 2z
2018/11/11
* 2
2018/11/11
频率取值与观察平面坐标的关系：
fx x y , fy z z
夫琅和费衍射图样随传输距离变化按比例放大或缩小。
2018/11/11
t ( x0 , y0 )
--瞳函数(孔径透过率函数) 振幅型—只改变振幅 位相型—只改变位相
波 前 y
z
Ui U t
x
t ( x0 , y0 )
衍射光场为：U(x,y) 光强分布为：
exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]ab sin c(af x , bf x ) j z 2z ab 2 2 ax by * ( ) sin c ( , ) I ( x, y) UU z z z
当a<<b时：就是单缝夫琅和费衍射图样
A exp( jkz ) k exp[ j ( x 2 y 2 )]T( f x , f y ) j z 2z
2018/11/11
光强分布：
2 A 2 I ( x, y ) U ( x, y )} ( ) T( f x , f y ) z 2
对于一般的光探测器，由于其仅对强度有响应，故而夫琅 和费衍射和衍射屏函数的傅里叶变换并没有区别。
k 2 2 ( x0 y0 ) 2z 2
此时要求传输距离满足条件： z
1 2 2 ( x0 y0 ) 2
k 2 2 exp[ j ( x y 0 0 )] 1 则二次相位因子： 2z
2018/11/11
U ( x, y, z )
exp( jkz ) k 2 exp[ j ( x 2 y 2 )] U ( x0 , y0 ) exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 j z 2z z