高等数学对面积曲面积分

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例1. 计算 在第一挂限部分. 解: ∑ : z = 1 − x − y
其中∑ 是
z
1
x + y ≤ 1 xoy 面上的投影区域 Dxy : x ≥ 0 ∑在 1 y≥0 x
2 2
o
1y
dS = 1 + z x + z y dxdy = 3dxdy
∴ 原式 = ∫∫ 2 x + y + 2 (1 − x − y ) 3dxdy Dxy
∑
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例4. 计算 解: ∑ = ∑1 + ∑ 2 + ∑3
其中 ∑ 是 x2 + y2 =1 z = 0, ,
以及 z = x + 2 所围立体的表面. 由于∑1, ∑ 2 在 xoy 面上的投影区域 均为Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1, 而曲面积分化 为二重积分后的被积函数关于 x 是
1 1− x 0 0
= 3 ∫ dx ∫
( 2 − y )dy =
5 3 6
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例2. 计算 解: ∑ = ∑1 + ∑ 2 ,
∑1 : z = R 2 − x 2 − y 2 ,
x2 + y2 + z2 = R2 其中 ∑ 是球面
∑2 : z = − R2 − x2 − y 2 ,
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的连续函数, 则曲面积分
∫∫∑ f (x, y, z)dS 存在, 且有
= ∫∫
Dy x
f (x, y,
)
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注:
如果曲面方程为 x = x(y, z), (y, z)∈Dyz
或 y = y(x, z), (x, z)∈D z 可有类似的公式. x
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备用题 1. 已知曲面壳
质量 M .
的面密度
求此曲面壳在平面 z＝1以上部分∑ 的 解: ∑ 在 xoy 面上的投影为 D y : x2 + y2 ≤ 2, 故 x
M = ∫∫
Σ
= ∫∫ 3 1+4( x2 + y2) dxdy µ dS D
xy
=3∫
2π
0
dθ∫ r 1+4r dr
2 0
z
∑1 : z = x + 2
∑3
∴ 奇函数， ∫∫∑ xds = ∫∫∑ xds =0
1 2
x
∑2
y
∑3 = ∑31 + ∑32, 其中∑31 : y = 1 − x 2 , ∑32 : y = − 1 − x 2
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它们在 xoz 面上的投影区域为：
z
∑1 : z = x + 2
3dxdy D y : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1− x x
同上
dzdx D x : 0 ≤ z ≤1, 0 ≤ x ≤1− z z
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∴I = ( 3+1)∫ d x∫
0
1
1 x −
1 (1+ x + y)
2
0
dy+
+ ∫ d z∫
0
1
1−z
0 1−z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 ( ,11 , 半径为 3 1 ,) 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) dS = ∫∫ (x + y + z) dS 3 ∑ 3 ∑ ( ∫∫ xdS = ∫∫ ydS = ∫∫ zdS) ∑ ∑ ∑ 利用质心公式 = 4∫∫ xdS = 4⋅ x⋅ ∫∫ dS ∑ ∫∫ ∑ xµdS ∑ x= ∫∫ µdS
②对积分域的可加性. 若 ∑ = ∑1 + ∑ 2
∫∫∑ f (x, y, z)dS = ∫∫∑1 f (x, y, z)dS
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二、对面积的曲面积分的计算法
基本思路: 基本思路 曲面积分
转化
二重积分
替换 Σ （替换成平面上的积 基本方法： 三替换法” 基本方法：“三替换法” 替换 x, y, z 分区域，投影) 替换dS
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑ 1
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I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑ 1
= ∫∫
=∫
0
Dy x
(x + y )
2 2
1 2a 2 0
a
a ρ2
2
a2 − x2 − y2
2
dxd y
2π
dθ∫
a −ρ
ρdρ
z∑
o x
Dy x
1
1 4 = π a (8−5 2) 6
−1 ≤ x ≤ 1 Dxz : 0 ≤ z ≤ x + 2 1 ds = dxdz 1 − x2 1 ∴ I = 2 ∫∫ x dxdz x Dxz 1 − x2 1 x+2 1 = 2∫ x dx ∫ dz = π −1 0 2 1− x
高斯
∑3
∑2
y
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例5. 计算 之间的圆柱面
∑
M=
∑
k= 1
o x
y
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2.定义 设 ∑ 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ∑ 上的一 定义: 定义 个有界函数, 若对 ∑ 的任意分割和局部的任意取点, “乘积和式极限”
记作
∫∫ f (x, y, z)dS
∑
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ∑ 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中∑ 叫做积分曲面， dS叫做曲面面积元素. 据此定义, 空间曲面的质量为 M = ∫∫∑µ(x, y, z)dS 空间曲的面面积为
∴ I = ∫∫
∑1
x 2 zds + ∫∫
∑2
x 2 zds
2
= ∫∫ + ∫∫
Dxy
x
2
R −x −y
2 2 2 2
R R2 − x2 − y 2
2
dxdy dxdy = 0
Dxy
x (− R − x − y )
2
R R −x −y
2 2
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2
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例3. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
2
1 2 π =6 ⋅ ∫ π 1+4r2 d( +4r2) =13 1 80
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表 2. 设 ∑ 是四面体 x + y + z ≤1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0的
面, 计算 解: 在四面体的四个面上 平面方程
z 1
1 x
o
1y
dS
投影域
z =1− x − y =1 y =0
z∑
o x
1
Dy y x
计算 I =
∫∫∑ f (x, y, z)dS.
2 2
解: 锥面 z = x + y 与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 交线为 投影域为 D y ={ (x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 x 2
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 ∑
2
z
dS = 1+ zx2 + zy2 dxdy
D o xy
y
2
x
∴∫∫ dS = ∫∫
S Dy x
1+4(x2 + y2) dxd y
这是 ∑ 的面积 !
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P159 题7. 如图所示, 有
1 2 zdS = ∫∫ (x + y2) 1+ x2 + y2 dxdy ∫∫Σ Dy2 x
z
令 = 1+r2 t
1
D yo x
y
2
4 π = 3 5
x
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P184 题2. 设 一卦限中的部分, 则有( C ).
Σ为 在 1 Σ 第
(B) (C)
∫∫Σ ydS = 4∫∫Σ xdS ;
1
∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ xdS;
1
( 2000 考研 )
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y
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内容小结
1. 定义:
= lim∑f (ξi ,ηi ,ζi )∆Si
λ→ 0
i= 1
n
2. 计算: 设 Σ:z = z(x, y),(x, y)∈Dxy, 则
= ∫∫
Dxy
f (x, y, z(x, y)) 1+ z2 + z2 dxd y x y
(曲面的其他两种情况类似) • 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
第四节 对面积的曲面积分
第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
1.引例 设空间曲面 ∑ 具有连续面密度 引例: 引例 质量 M. 解：采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 可得
n
求其
z
(ξk ,ηk ,ζk )
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思考与练习
P158 题1；3；4(1) ; 解答提示: 解答提示 P158 题1. P158 题3. 设 则 7 P184 题2
∫∫Σ f (x, y, z)dS = ∫∫D
f (x, y , 0 )dxdy
xy
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P158 题4(1). ∑ 在 xoy 面上的投影域为
其中 ∑ 是介于平面
分析: 分析 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素 则这一小带的质量为 则 I =∫
H 2 Rdz π 2 2 0
z
H
2 Rdz π R2 + z2
z源自文库
o x
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dz
H = 2 arctan π R R +z
y
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例6. 设 ∑: x2 + y2 + z2 = a2
+ ∫ d z∫
0
1
0
3− 3 = +( 3−1 ln2 ) 2
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注:①若∑ 为封闭曲面,则第一类曲面积分记为
∫∫ ∑ f ( x, y, z ) ds
②二重积分是第一类曲面积分的特殊情况. 3.性质 性质 ①线性性质.
∫∫∑[ k1f (x, y, z) ±k2g(x, y, z)]dS = k ∫∫ f (x, y, z)dS ±k2∫∫ g(x, y, z)dS 1 ∑ ∑