第四讲：函数的概念、函数关系的建立(教师)

第四讲：函数的概念、函数关系的建立
【知识点】
1、函数的概念及函数的三要素：
强调：一个自变量x 只有一个函数值y 与之对应；
函数的三要素：定义域，值域，对应法则
（1）若两函数的定义域与对应法则相同，则它们的值域相同；
（2）若两函数的值域与对应法则相同，则它们的定义域相同？否
反例：函数2y x =的值域为[0,4]，则它的定义域可为[0,2],[1,2]......-。

两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数叫做同一函数。

辨析：221x y +=
是不是函数？y =
2、函数的表示方法
（1）解析式法：用一个等式把函数值与自变量的关系表达出来（且把函数值“显性”地表达出来，如
()y f x =）
，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是用函数图象来表示两个变量的函数关系。

加深解析式法（对应法则）的理解：
如22222()23,(2)2223,(21)(21)2(21)3,
[()][()]2()3,[()][()]2()3f x x x f f x x x f g x g x g x f f x f x f x =-+=-⨯+-=--⨯-+=-⨯+=-⨯+则
3、函数的图象是“有序实数对”集{(,)|(),}x y y f x x D =∈在直角坐标系内对应的点集（图形），其中x 为自变量，D 是定义域，y 是x 的函数值，且自变量在横轴上取值，函数值在纵轴上取值。

函数的图象有以下特征，经过函数定义域中任何一个点x 作垂直于x 轴的直线，它与函数的图象恰有一个交点。

（画几个图象，判断那些是函数的图象）
4、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上对应法则有所不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数。

如1,01,0|1|,0,01,01,0x x x y x y x x x x >⎧-≥⎧⎪=-===⎨⎨-+<⎩⎪-<⎩
，图象要分段画出。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

必须分段处理，时时刻刻注意定义域优先的原则。

5、 函数关系建立的几种常见类型：
（1）已知所要求的函数类型，如一次函数、二次函数等，利用待定系数法来求这个函数的解析式；
（2）已知复合函数[()]f g x 的表达式，求函数()f x 的解析式，一般采用变量代换（换元）的方法；
（3）已知一个函数的性质（如奇偶性、周期性或对称性）和某一段的函数对应法则，求其他段的函数对应法则；
（4）涉及到实际问题求函数解析式时，就是要将实际问题转换为数学问题，即要建立数学模型。

【典型例题】
例、判断下列各组函数是不是同一函数：
（1
）21,0.5()()12,0.5x x f x g x x x -≥⎧==⎨-<⎩；是 （2）()lg lg(1),()lg[(1)]f x x x g x x x =+-=-；不是；解析式相同，但定义域不同。

例、求下列函数的定义域
（1
）lg(1)y x =+-；（2
）|1|2
y x =+- （3
）0(2)y x =+； （4
）y = 对已知解析式的函数，定义域是使表达式有意义的自变量x 的范围；注意：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）0的0次方无意义；
22125-0(1)202:(1,2)(2,5];10114340(2)(,3)(3,1][4,);13
|1|201111(3)()01()()(,2)(2,];2222
(4)log (21)x x a x x x x x x x x orx x x x x x x x x x -⎧⎧≥≤≤⎪⎪-≠∴≠∈⎨⎨⎪⎪->>⎩⎩
≤-≥⎧--≥⎧∴∴∈-∞---+∞⎨⎨≠≠-+-≠⎩⎩≥≠-∴≥∴∈-∞---解：由题意得，解得且且0log (21)log 1;1211[1,);
101211(,1]2
a a
x a x x a x x ≥⇔-≥>-≥⇒∈+∞<<<-≤⇒∈当时，当时，0。

例、已知函数36,0()2,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩
，求(1),[(1)]f f f ，及该函数的值域。

(1)3,[(1)][3]1.f f f f R =-=-=-答：；由图象可知，值域为
例、22,
1(),12,()3,2,2x x f x x x f a a x x +≤-⎧⎪=-<<=⎨⎪≥⎩
已知函数且求的值。

21122233
23x x x or or a x x x ⎧≤--<<≥⎧⎧⇔∴=⎨⎨⎨+===⎩⎩⎩解：例、设函数1221,0(),0
x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩,若()1f a >，求实数a 的范围。

00112111
a a a or a ora ->⎧≤⎧⎪⇔<->⎨->>⎩解：解得，。

另解：画出函数的图象与函数1y =，根据图形得出。

例、已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数(21)(1)y f x f x =++-的定义域。

21113213[1,]221215y f x f x x x x x x =++-⎧≤+≤-≤≤⎧⎪∴∴∈⎨⎨≤-≤⎩⎪≤≤⎩
解：要使函数()()有意义,则
0404 解释：
函数()1)f x x =≥，则函数(23)y f x =+的定义域为？
（1）明确函数(23)f x +的定义域是指其中x 的范围，用23x +
替换()1)f x x =
≥中的x ，所以231x +≥，1x ∴≥-为所求。

（2
）(23)1f x x +==≥-。

练习：1、已知)12(+x f 的定义域为[]2,1，则)(x f 的定义域为[3,5]。

例、（1）已知2()1,[()]3g x x f g x x x =+=+，求()f x 的解析式；
（2）已知()f x 为一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；
（3）已知函数()f x 满足1
2()()3f x f x x
+=，求()f x 的解析式。

2(1)(),3(1)2;
(2)()3[(1)]2[(1)]217
22:(5)217,()27;
5177
113(3)2()()32()()12()()32g x t t t t f x ax b a x b a x b x a a ax a b x f x x a b b f x f x f f x x x x
f x f x x f =+-=+-=+∴++--+=+⎧==⎧++=+∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩+=∴+=+=2解令即t=x+1,则x=t-1代入：
f(t)=(t-1)设得联立1()213
()()f x x x f x x x ⎧⎪⎪=-⎨⎪+=⎪⎩
解得。

例、如图，ABC ∆是边长为3厘米的正三角形，D 是边BC 上靠近点B 的三等分点，甲乙两个质点分别从点A D 、同时出发，都以1厘米/秒的速度按图示方向沿正三角形的边作匀速运动，经过时间t ，两质点间的距离为()S t （其他因素均不计）。

（1）写出函数()S t ；（2）求()S t 的最大值和最小值，并求出取最值时相应的t 的值。

()3
2()3(3),3S t t S t t S t t ≤≤=⎨<≤⎪->⎪⎩
解：首先，观察出函数的周期为
223(3),3t t S t t ⎧≤≤=<≤->⎪⎩
min (2)[0,2]()(1)2,(0)(2)555(2,3]()[(),(3)222
0,31,2;3,32,max t S t S S S t S t S S t t k k N S t k k k N S ∈∈===∈∈==≥=+∈==+∈=当时，且当时，且在当时，当时， 【课后练习】
1、 若{}R a x ax x A ∈=+-=,0232为单元素集，则a =____。

2、若110,0,(2)()a b a b a b >>++则
3、 若0,x <则224x x
+1的最小值等于 。

4、不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围是 _。

5、21{|1},{|()(2)0}3
x A x B x x a x a x -=≥=-+<+，若A B R =，则实数a 的范围是34a a <-≥或。

6、 下列命题中与命题“能被6整除的整数一定能被2整除。

”等价的命题是 （ ）
(A) 能被2整除的整数一定能被6整除；
(B) 不能被6整除的整数一定不能被2整除；
(C) 不能被2整除的整数不一定能被6整除；
(D) 不能被2整除的整数一定不能被6整除。

7、“如果;111<>x x ，那么”
，它和它的逆命题、否命题、逆否命题的四个命题中真命题有( B ) (A) 0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
8、 已知{||3|}A x x a =+<，2112x B x
x ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，若A B A =，求实数a 的取值范围。

9、解不等式11
16-<-x x 。

解：原不等式等价于01
)3)(5(>-+-x x x ，∴原不等式的解为：513><<-x x 或
10、求实数k 为何值时，不等式13
642222<++++x x k kx
x 对于任意的实数x 恒成立。

解：原不等式可化为：03
64)3()26(222>++-+-+x x k x k x 而3642
>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x
由0)3(24)26(2
<-⨯⨯--=∆k k 得1<k <3
11、若不等式)1(122
->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，求x 的取值范围。

构造关于m 的一次函数)2
31,271(++- 12、 若关于x 和y 的方程组1,2 1.x my x y m +=⎧⎨-=-⎩
的解满足0x y >>，求实数m 的取值范围． 13、设集合{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤，若函数()y f x =的定义域为A ，值域为B ，则函数()y f x =的图象可以为 ( D )
14、下列命题中，
(1)函数2()f x x =的值域是[1,4]，则该函数的定义域是[1,2]；(2) 函数()21f x x =+的值域是[1,4]，则该函数的定义域是[0,1.5]；(3) 两个函数的对应法则和值域都相同，则两函数的定义域相同；(4) 两个函数的对应法则和定义域都相同，则两函数的值域相同；
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
其中，真命题的个数是 （ C ）
15、已知(21)32,()4,f x x f a a +=-=且则的值为 5 。

16、已知(21)y f x =+的定义域为[]2,1，则)(x f 的定义域为[3,5]。

17、已知函数21)(x x f -=，则)()(a x f ax f y +=（1>a ）的定义域为11[,]a a
-。

18、)(x f 是一次函数且49)]([+=x x f f ，则=)(x f 3132x x +--或。

19、如图，已知等腰梯形ABCD 中CD AB //，上底、下底、高分别为2、4、3，M 为下底AB 上任意一点，AB MN ⊥，设x AM =，S 表示这梯形在MN 左边部分的面积，求S 关于x 的函数关系式。

223,01233,13231215,342x x S x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩
20、已知函数222,0,0
x x y x x ⎧-≤=⎨->⎩， ()[(2)]()1f x f f f a a ->-(1)求,的值；
(2)若，求的取值范围。

(1)f(2)=7,f[f(-2)]=-4 (2)a<-1or0<a<1 22(1)(2)4,[(2)](2)4
00(2)211:101f f f f a a a a a a =--==-⎧≤>⎧⎨⎨->-->-⎩⎩
<-<<或解得或
21、在直径为2的半圆内作一内接等腰梯形（如图），（1）用腰
长表示梯形的周长；（2）求梯形的腰长为多少时，梯形有最长的
周长。

2
22max ,;222(22)
2
24(0(1)5,1 5.
x x y y AB AD CD x x x x y x x y =++=++-⨯=-++<<=--+==解：(1)设腰长为周长为当时，
22、用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边
长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变
量，所以属于函数关系的简单应用.
解：如图，设AB=2x ，则CD 弧长=πx,于是AD=2
2x x m π-- 因此y=2x ·2222x x x m ππ+--,即y=-mx x ++224π，再由⎪⎩
⎪⎨⎧>-->02202x x m x π，解之得0＜x ＜
π+2m ，即函数式是y=-24+π·2x +mx ，定义域是：（0，2
+πm ）。