_z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

X z 1 1 z z 2 z 3 z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
2 z 3
1 1 2 z 1
z 2
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az



R
x (0) lim X ( z ) z
x () lim ( z 1) X ( z)
z 1
Z变换的基本性质（续）
z X ( z) 9、有限项累加特性 y (n) x(m) z 1 m 0
10、序列的卷积和 x(n) y (n) X ( z )Y ( z ) 11、序列乘法 12、帕塞瓦定理

n
x ( n) h( n)
2 j c
1
z X ( ) H (v) dv v

1 1 x ( n) h ( n) X (v) H ( )v dv 2 j c v n ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2

1
例：已知LSI系统的单位抽样响应： h ( n ) bn u( n ) ab n 1u ( n 1)， 求系统输入x ( n ) a n u( n )的响应。
解：X(z)= x(n ) z n = a n u(n ) z n = a n z n
n n n 0
1 1 az 1
当 az 1 1时
j Im[ z ]
Roc :
za
a
0
Re[ z ]
零点：z 0 极点：z a
例3 ：求x(n) a nu( n 1)的z变换及其收敛域
z 解：X ( z ) ZT [ x ( n )] ZT [a u( n )] za
n
z a
H ( z ) ZT [h(n)] ZT [bnu(n) abn 1u(n 1)]
ZT [bn u(n)] aZT [bn 1u(n 1)] z z za 1 az z b z b z b z b
其Z变换：X ( z ) x(n ) z n x (n ) z n
n n1 n 0 1
前式Roc: 0 z
后式Roc: Rx z
j Im[ z ]
当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
解：X(z)= x(n ) z n = a n u( n 1) z n
n n
= a z = a z
n n n 1 n 1

n n
当 a z 1时
1
a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1
j Im[ z ]
实质：求X(z)幂级数展开式
n


x(n) z n
z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
2、部分分式展开法
X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B( z ) X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) A( z ) X K ( z)
对各部分分式求z反变换：
6、离散系统的z变换法描述
§2.2 z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义
序列x(n)的z变换定义为：
X ( z ) ZT [ x(n )]
n


x(n) z n
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
例：
X ( z ) 2z 1 1.5z 1 z 2 +0.5 z 3
其z变换：X ( z )
n

0
x(n ) z n x(n ) z n
n 1
n2
前式Roc: 0 z Rx
j Im[ z ] Re[ z ]
后式Roc: 0 z
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
n
= a n z n a n z n
n 1 n 0

az a z 1 az n 1
n n

az 1 z 1/ a
az 1 1 z a
a z
n 0

n n
1 1 az 1
当 a 1时，无公共收敛域，X( z )不存在
az 1 z (1 a ) 当 a 1时，X ( z ) 1 1 az 1 az (1 az )( z a )
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
0
b
Re[ z ]
a
c
0
b Re[ z ]
c
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
0
a
b Re[ z ]
c
0
b
Re[ z ]
c
§2.3 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x ( n ) IZT [ X ( z )]
X ( z ) ZT [ x ( n )]
第二章 z变换和DTFT
§2.1 引言
连续时间系统----->拉氏变换----->微分方程变代数方程 离散时间系统----->Z变换--------->差分方程变代数方程
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换
3、z变换的基本性质和定理
4、离散信号的DTFT
5、z变换与DTFT的关系
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Re[ z ]
0
n1 0
包括z 处
因果序列
• • • •
n1 0 的右边序列，
Roc: Rx z 因果序列的z变换必在 处收敛 在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列

j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
0
包括z 处
3）左边序列
n n2 0 x(n) x(n ) n n2

n 0
r A Ck n k Bn z 1 1 k k 1 1 zk z k 1 [1 zi z ]
• 常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1
用留数定理求系数： X ( z) Ak Re s z z zk k 1,2, ,M r
1）有限长序列
x(n ) n1 n n2 x(n) 其它n 0
其Z变换：X ( z ) x(n ) z n
n n1 n2
j Im[ z ] Re[ z ]
Roc至少为： 0 z
0
2）右边序列
x(n ) n n1 x(n) n n1 0
FT
连续信号采样后的拉氏变换LT——
xa (t )
LT
^
n
x (nT ) (t nT )
a ^

ˆ ( s) X a
x (t ) e
a
st
dt
n
x (nT )e
a

nsT
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
其z变换：X ( z )
n

1
x(n) z n x(n ) z n
n 0

前式Roc: 0 z Rx 后式Roc: Rx z
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
当Rx Rx 时，Roc : 当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
5z 1 例：X ( z ) ， 2< z 3，求z反变换 1 2 1 z 6z
5 z 1 5z 5z 解：X z 2 1 2 1 z 6z z z 6 z 2 z 3
X z 5 A1 A2 z z 2 z 3 z 2 z 3
Roc :
za
0
a
零点：z 0 极点：z a
Re[ z ]
例4：求x ( n ) a ，a为实数，求其z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z n = a z n = a n z n a n z n
n n n n n 0 1
2、z变换的收敛域与零极点
• 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 • 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
n


x(n) z n M
P( z ) 令X ( z ) Q( z )
则X(z)的零点：使X(z)=0的点， 即P( z ) 0和当Q( z )阶次高于P( z )时 Q( z ) X(z)的极点：使X(z) 的点， 即Q( z ) 0和当P( z )阶次高于Q ( z )时P( z )
j 2 r N
N 1
N
n1 n2 1 q q n q 1 q n n1 n2
n2 时须满足 q 1
j Im[ z ]
r 1,..., N 1
0
Re[ z ]
极点：z 0 （N 1）阶
Roc : 0 z
例2：求x(n) a nu(n)的z变换及其收敛域
j Im[ z ]
3
0
2
Re[ z ]
X z 5 A1 Res 1 z 2 z 2 z 3 z 2 z z 2
X z 5 A2 Res z 3 1 z 2 z 3 z 3 z z 3
z Y ( z) X ( z)H ( z) zb z b
0
j Im[ z ]
b
Re[ z ]
y(n) x(n) * h(n) IZT [Y ( z )] bnu(n)
a
§2.5 序列ZT、连续信号LT和FT的关系
若：
xa (t ) X a( s)
LT
xa (t ) X a( j)
n
R
z a x ( n ) X ( ) |a|R a
d 4、 z域求导 nx( n ) z X ( z ) R dz （序列线性加权）
Z变换的基本性质（续）
5、翻褶序列
6、共轭序列 7、初值定理 8、终值定理
1 x ( n ) X ( ) 1/R z
x (n) X ( z )
2
Roc : a < z 1/ a
j Im[ z ]
零点：z 0,
极点：z a, a 1
0
a
Re[ z ] 1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。 • X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
n
2 n u ( n)
1 1 3 z 1
n
z 3
3
n
n
u(n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
§2.4 Z变换的基本性质和定理
1、线性性
ax(n) by(n) aX ( z ) bY ( z ) R1∩R2
2、序列的移位 N x(n N ) z X ( z ) 3、z域尺度变换 （乘以指数序列）
x ( n ) IZT [ X ( z )]
IZT [ X 1 ( z )] IZT [ X 2 ( z )]
IZT [ X K ( z )]
B( z ) X ( z) A( z )
M N
i b z i
M
1 ai z i
i 1
M r
i 0 N
X ( z)
0
例1 ：求x ( n ) RN ( n )的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z n = RN (n ) z n
n n
= z n 1 z 1 1 z n 0 zN 1 N 1 z ( z 1)
零点：z e