2807无穷级数在工程中的应用(精)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是，函数 f (x)的傅里叶级数展开式为
4 1 1 1 f x sin x sin3x sin5 x sin 2n 1 x π 3 5 2n 1
x , x kπ k 0, 1, 2,
此为等比级数，且公比 q e 0.05 1 ，所以原级数收敛，且其和为
P
即该基金会应该在首日存入银行1025.21万元，才能保证奖学金正常发放．
二、傅里叶级数的应用
众所周知，自然界中的众多（周期）信号，如声、光、
电信号和数字信号都可以看成简单周期（正弦）信号的
叠加，即都可以写成傅里叶级数的形式。利用傅里叶级
数可对信号进行压缩、存储、传输和复原。在傅里叶级
数基础上生成的傅氏变换常用于数字信号与数字图像的
频域处理。因此，傅里叶级数在力学、光学、量子物理
和线性系统分析中具有广泛的应用。
二、傅里叶级数的应用
例2 【脉冲矩形波】矩形波用来表示电闸重复地断开和接通ຫໍສະໝຸດ Baidu的电 流模型。设脉冲矩形波的信号函数 f(x)是以 2 π为周期的周期函数(如图 所示)，它的表达式为 1, π x 0
目 录
01 02
级数敛散性的应用
傅里叶级数的应用
一、级数敛散性的应用
例1 某基金会拟在某校设立一永续奖学金，合同规定该基金会每年向 学校捐助50万元用以奖励品学兼优的学生，永不停止．自签约之日起支 付第一笔款项，以后每年支付一笔，所有款项均通过银行兑付．假设银 行年利率为5%，且以连续复利计算利息，试问在签订合同之日，该基金 会应该在银行存入多少钱才能保证合同正常履行？
这样，当 r 0.05, F 50 (万元)时，第一笔款项在签约当天兑付，其现值为
0.05 ( 万元 ) ；第二笔款项在 1 年后兑付，其现值为 (万元) ；第三笔款 P 50 P 50 e 1 2
0.052 项在2年后兑付，其现值为 P (万元) ；这样永续下去，第 n 笔款项在 50 e 3
上式表明，脉冲矩形波可由一系列不同频率的正弦波叠加而成，随着 n 的增 大，傅里叶级数的部分和逐渐逼近和函数 f (x)。
谢谢
n-1 年后兑付，其现值为 Pn 50 e0.05( n1) (万元) ；..…. 则总现值为
PP 1P 2 P 3
Pn
50 e0.05( n1)
50 50 e0.05 50 e0.052
50 1025.21(万元) 0.05 1 e
高等数学在线开放课程
无穷级数在工 程中的应用
无穷级数简介
无穷级数是数与函数的一种重要表达式，也是研
究函数的性质、进行数值计算的一种重要工具，它
在自然科学、工程技术和数学的许多分支中都有广
泛的应用。尤其是傅里叶级数与拉普拉斯变换广泛
应用于电学和信号科学中，并在工程技术、自动控
制系统的分析与处理中起到了重要作用。
解
设银行年利率为 r，每年计息 n次，现有存款为 P，t 年后银行存款余额 F为 r nt F P (1 ) n 由于以连续复利计算利息，可以认为 n ，所以 r nt F P lim(1 ) P ert n n 即 rt
P F e
一、无穷级数敛散性的应用
2 π sin nxdx π 0
2 1 2 cos nx 1 cos nπ π n 0 nπ
由于f (x)是奇函数，则 f (x)cos nx是奇函数，故 其在 π, π 上积分为零
二、傅里叶级数的应用
4 2 n , n 1,3,5, 1 1 nπ nπ 0, n 2,4,6,
f x 1, 0 x π
求此函数的傅里叶级数展开式.
解 利用公式计算傅里叶系数如下： 1 π an f x cos nxdx 0 n 0,1,2,3, π π 1 π 2 π bn f x sin nxdx f x sin nxdx π π π 0
4 1 1 1 f x sin x sin3x sin5 x sin 2n 1 x π 3 5 2n 1
x , x kπ k 0, 1, 2,
此为等比级数，且公比 q e 0.05 1 ，所以原级数收敛，且其和为
P
即该基金会应该在首日存入银行1025.21万元，才能保证奖学金正常发放．
二、傅里叶级数的应用
众所周知，自然界中的众多（周期）信号，如声、光、
电信号和数字信号都可以看成简单周期（正弦）信号的
叠加，即都可以写成傅里叶级数的形式。利用傅里叶级
数可对信号进行压缩、存储、传输和复原。在傅里叶级
数基础上生成的傅氏变换常用于数字信号与数字图像的
频域处理。因此，傅里叶级数在力学、光学、量子物理
和线性系统分析中具有广泛的应用。
二、傅里叶级数的应用
例2 【脉冲矩形波】矩形波用来表示电闸重复地断开和接通ຫໍສະໝຸດ Baidu的电 流模型。设脉冲矩形波的信号函数 f(x)是以 2 π为周期的周期函数(如图 所示)，它的表达式为 1, π x 0
目 录
01 02
级数敛散性的应用
傅里叶级数的应用
一、级数敛散性的应用
例1 某基金会拟在某校设立一永续奖学金，合同规定该基金会每年向 学校捐助50万元用以奖励品学兼优的学生，永不停止．自签约之日起支 付第一笔款项，以后每年支付一笔，所有款项均通过银行兑付．假设银 行年利率为5%，且以连续复利计算利息，试问在签订合同之日，该基金 会应该在银行存入多少钱才能保证合同正常履行？
这样，当 r 0.05, F 50 (万元)时，第一笔款项在签约当天兑付，其现值为
0.05 ( 万元 ) ；第二笔款项在 1 年后兑付，其现值为 (万元) ；第三笔款 P 50 P 50 e 1 2
0.052 项在2年后兑付，其现值为 P (万元) ；这样永续下去，第 n 笔款项在 50 e 3
上式表明，脉冲矩形波可由一系列不同频率的正弦波叠加而成，随着 n 的增 大，傅里叶级数的部分和逐渐逼近和函数 f (x)。
谢谢
n-1 年后兑付，其现值为 Pn 50 e0.05( n1) (万元) ；..…. 则总现值为
PP 1P 2 P 3
Pn
50 e0.05( n1)
50 50 e0.05 50 e0.052
50 1025.21(万元) 0.05 1 e
高等数学在线开放课程
无穷级数在工 程中的应用
无穷级数简介
无穷级数是数与函数的一种重要表达式，也是研
究函数的性质、进行数值计算的一种重要工具，它
在自然科学、工程技术和数学的许多分支中都有广
泛的应用。尤其是傅里叶级数与拉普拉斯变换广泛
应用于电学和信号科学中，并在工程技术、自动控
制系统的分析与处理中起到了重要作用。
解
设银行年利率为 r，每年计息 n次，现有存款为 P，t 年后银行存款余额 F为 r nt F P (1 ) n 由于以连续复利计算利息，可以认为 n ，所以 r nt F P lim(1 ) P ert n n 即 rt
P F e
一、无穷级数敛散性的应用
2 π sin nxdx π 0
2 1 2 cos nx 1 cos nπ π n 0 nπ
由于f (x)是奇函数，则 f (x)cos nx是奇函数，故 其在 π, π 上积分为零
二、傅里叶级数的应用
4 2 n , n 1,3,5, 1 1 nπ nπ 0, n 2,4,6,
f x 1, 0 x π
求此函数的傅里叶级数展开式.
解 利用公式计算傅里叶系数如下： 1 π an f x cos nxdx 0 n 0,1,2,3, π π 1 π 2 π bn f x sin nxdx f x sin nxdx π π π 0