工业机器人运动学
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《工业机器人基础及应用编程技术》
第3章 工业机器人运动学
总教学目标 1.理解工业机器人的位姿描述和齐次变换 2.掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算 3.理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解 4.了解研究动力学的内容及方法，理解速度和力雅可比矩阵
目录页
PAGE OF CONTENT
3.7 机器人的正逆运动学 1）.位置的正逆运动学方程
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
（1）滚动角、俯仰角和偏航角
表示RPY姿态变化的矩阵为：
RPY (a ,o ,n ) Rota,a Roto,o Rotn,n
CaCo CaSoSn SaCn CaSoCn SaSn 0
到和初始参考坐标系平行的状态，它等效于圆柱坐标矩阵右乘旋转矩
阵 (a, ) ，其结果是，该坐标系的位置仍在同一地方，但其姿态再次 平行于参考坐标系，如下所示：
C S 0 rC C( ) S( ) 0 0 1 0 0 rC
Tcyl
Rot
(
z,
)
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （1）笛卡尔（台架，直角）坐标
这种情况有三个沿 x,y,z轴的线性运动，这一类型的 机器人所有的驱动机构都是线性的（比如液压活塞 或线性动力丝杠），这时机器人手的定位是通过三 个线性关节分别沿三个轴的运动来完成的（如图所 示）。台架式机器人是一个直角坐标机器人，只不 过是将机器人固连在一个朝下的直角架上。 IBM7565机器人就是一个台架式直角坐标机器人。
的位置，但处于不同的姿态。由于目 前并不关心手坐标系在这点的姿态，
γ=8.6
因此两个位置解都是正确的。实际上
，由于不能对三自由度的机器人指定
姿态，所以无法确定两个解中哪一个
和特定的姿态有关。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （2）链式坐标
如图所示，链式坐标由三个旋转组成。后面在讨论 Denavit-Hartenberg表示法时，将推导链式坐标的矩 阵表示法。
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
（2）圆柱坐标
经过一系列变换后，前三列表示了坐标系的姿态，然而我们只对坐标系 的原点位置即最后一列感兴趣。显然，在圆柱型坐标运动中，由于绕z轴 旋转了 α角，运动坐标系的姿态也将改变。
实际上，可以通过绕 n, o, a坐标系中的 a轴旋转-α 角度使坐标系回转
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （2）圆柱坐标
圆柱型坐标系包括两个线性平移运动和一个旋转运 动。其顺序为：先沿x轴移动r ,再绕 z轴旋转 α角， 最后沿z轴移动l，如图所示。这三个变换建立了手 坐标系与参考坐标系之间的联系。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
SaCo
SaSoSn CaCn
SaSoCn CaSn
0
So
0
Co Sn
0
CoCn
0
0 1
这个矩阵表示了仅由RPY引起的姿态变化。该坐标系相对于参考坐标系的 位置和最终姿态是表示位置变化和RPY的两个矩阵的乘积。例如，假设一 个机器人是根据球坐标和RPY来设计的，那么这个机器人就可以表示为：
如下结果：
l7
rC 3
rS 4
于是有：tan 4 和 53.1
3
将α代入其中任何一个方程，可得r=5 ，最终结果是：
r 5, 53.1,l 7
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 如图所示，球坐标系统由一个线性运动和两个旋转运
（2）球坐标
S 0
C 0
0
rS
S (
)
1 l 0
C( ) 0
0
0 0
1
0
rS
1 0 0 0 1 l
0
0
0
1
0
0
0 1 0 0 0
1
由此可见，运动坐标系的原点位置没有改变，但它转回到了与参考坐标系平 行的状态。需注意的是，最后的旋转是绕本地坐标系的 α轴的，目的是为了 不引起坐标系位置的任何改变，而只改变姿态。
3.7 机器人的正逆运动学
例3.13要求笛卡尔坐标机器人手坐标系原点定位在点 P 3 4 7T，计算所需要的
笛卡儿坐标运动。 解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
rSC =3 rS S =4 rC =7
3.7 机器人的正逆运动学
由第三个方程，我们得出Cβ是正数，但没有关于Sβ是正或负的信息。将前两个方 程彼此相除，因为不知道Sβ的实际符号是什么，因此可能会有两个解。下面的方 法给出了两个可能的解，后面还必须对最后的结果进行检验以确保正确。
tan 4 53.1或233.1
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3.14假设要将圆柱坐标机器人手坐标系的原点放在 3 4 7T ,计算该机器人的 关节变量。
解：
设定正运动学方程用式（3.33）中的Tcyl 矩阵表示，根据期望的位置可得知
因为不希望运动坐标系原点的位置有任何改变（它已被放在一个期望的 位置上，所以只需要旋转到所期望的姿态），所以RPY的旋转运动都是相对 于当前的运动轴的。否则。如前面所看到的，运动坐标系的位置将会改变。 于是，右乘所有由RPY和其他旋转所产生的与姿态改变有关的矩阵。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 （1）滚动角、俯仰角和偏航角
3.7 机器人百度文库正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 （1）滚动角、俯仰角和偏航角
这是分别绕当前 轴的三个旋转顺序，能够把机器人的手调整到所期望的 姿态。此时，假定当前的坐标系平行于参考坐标系，于是机器人手的姿态在 RPY（滚动角、俯仰角、偏航角）运动前与参考坐标系相同。如果当前坐标 系不平行于参考坐标系，那么机器人手最终的姿态将会是先前的姿态与RPY 右乘的结果。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
假设固连在机器人手上的运动坐标系已经运动到期望的位置上，但它仍然平 行于参考坐标系，或者假设其姿态并不是所期望的，下一步是要在不改变位 置的情况下，适当地旋转坐标系而使其达到所期望的姿态。合适的旋转顺序 取决于机器人手腕的设计以及关节装配在一起的方式。考虑以下三种常见的 构型配置： （1）滚动角、俯仰角、偏航角（RPY）； （2）欧拉角； （3）链式关节。
解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
RTP
0 0
1 0
0 1
0
S
l 0
C 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0 0 1
C S 0 rC
RTP
Tcyl
S
0
C
0
0
rS
1 l
0
3 Sγ=0.8或-0.8
可以对这两组解进行检验并证实这两 组解都能满足所有的位置方程。如果 沿给定的三维坐标轴旋转这些角度，
Cγ=0.6或-0.6
物理上的确能到达同一点。然而必须 注意，其中只有一组解能满足姿态方
γSβ=5或-5
程。换句话说，前两种解将产生同样
γCβ=7，β=35.5或-35.5
RTP
Tsph
C S S
C
0
S S
rS
S
C
rC
0
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3-15假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在3 4，7T 计算机器人的关节变量。
解： 设定正运动学方程用式（3.35）中的Txph 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
（2）圆柱坐标
由于这些变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴
的，因此由这三个变换所产生的总变换可以通过依
次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tcyl (r, ,l) Trans(0, 0,l)Rot(z, )Trans(r, 0, 0)
1 0 0 0 C S 0 0 1 0 0 r
2）.姿态的正逆运动学方程 3）.位姿的正逆运动学方程
3.7 机器人的正逆运动学
机器人运动学包括正向运动学和逆向运动学，正向运动学即给定机器人各关节 变量，计算机器人末端的位置姿态； 逆向运动学即已知机器人末端的位置姿 态，计算机器人对应位置的全部关节变量。一般正向运动学的解是唯一和容易 获得的，而逆向运动学往往有多个解而且分析更为复杂。机器人逆运动分析是 运动规划不控制中的重要问题，但由于机器人逆运动问题的复杂性和多样性， 无 法建立通用的解析算法。逆运动学问题实际上是一个非线性超越方程组的 求解问题，其中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系复杂问题。
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
Pz 1
其中 RTP是参考坐标系与手坐标系原点 的变换矩阵，而 Tcart 表示直角坐标变换矩阵。对于逆运动学的求解，只需简
单地设定期望的位置等于P 。
3.7 机器人的正逆运动学
例3.13要求笛卡尔坐标机器人手坐标系原点定位在点 P 3 4 7T，计算所需要的 笛卡儿坐标运动。
RTH Tsph r, , RPY a ,o ,n
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
（1）滚动角、俯仰角和偏航角
关于RPY的逆运动学方程的解比球坐标更复杂，因为这里有三个耦合角，所以需要
所有三个角各自的正弦和余弦值的信息才能解出这个角。为解出这三个角的正弦值
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （1）笛卡尔（台架，直角）坐标
当然，如果没有旋转运动，表示向P点运动的变换 矩阵是一种简单的平移变换矩阵。注意这里只涉及 坐标系原点的定位，而不涉及姿态。在直角坐标系 中，表示机器人手位置的正运动学变换矩阵为：
1 0 0 Px
RTP
Tcart
C S 0 0 C 0 S 0 1 0 0 0
RTP
S
0
C 0
0
0
0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 S 0 C 0 0 0 1 r
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0 0 1
C C S S C rS C
参考图，可看到RPY旋转包括以下几种： 绕 轴（运动坐标系的z轴）旋转 叫滚动； 绕 轴（运动坐标系的y轴）旋转 叫俯仰； 绕 轴（运动坐标系的x轴）旋转 叫偏航。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 图2.4 摇摆、俯仰和偏 转角
图2.5 机械手的末端执行器的摇摆、 俯仰和偏 转
动组成，运动顺序为：先沿z轴平移r ,再y轴旋转 β并 绕z轴旋转γ。这三个变换建立了手坐标系与参考坐标
系之间的联系。由于这些变换都是相对于全局参考坐
标系的坐标轴的，因此有这三个变换所产生的总变换
可以通过一次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tsph r, , Rotz, Roty, Trans0,0, r
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
对于机器人的定位，可以通过相对于任何惯用坐标系的运动来实现。比 如，基于直角坐标系对空间的一个点定位，这意味着有三个关于 轴的线性运 动，此外，如果用球坐标来实现，就意味着需要有一个线性运动和两个旋转运 动。常见的情况有： （1）笛卡尔（台架，直角）坐标； （2）圆柱坐标； （3）球坐标； （4）链式(拟人或全旋转)坐标。
第3章 工业机器人运动学
总教学目标 1.理解工业机器人的位姿描述和齐次变换 2.掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算 3.理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解 4.了解研究动力学的内容及方法，理解速度和力雅可比矩阵
目录页
PAGE OF CONTENT
3.7 机器人的正逆运动学 1）.位置的正逆运动学方程
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
（1）滚动角、俯仰角和偏航角
表示RPY姿态变化的矩阵为：
RPY (a ,o ,n ) Rota,a Roto,o Rotn,n
CaCo CaSoSn SaCn CaSoCn SaSn 0
到和初始参考坐标系平行的状态，它等效于圆柱坐标矩阵右乘旋转矩
阵 (a, ) ，其结果是，该坐标系的位置仍在同一地方，但其姿态再次 平行于参考坐标系，如下所示：
C S 0 rC C( ) S( ) 0 0 1 0 0 rC
Tcyl
Rot
(
z,
)
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （1）笛卡尔（台架，直角）坐标
这种情况有三个沿 x,y,z轴的线性运动，这一类型的 机器人所有的驱动机构都是线性的（比如液压活塞 或线性动力丝杠），这时机器人手的定位是通过三 个线性关节分别沿三个轴的运动来完成的（如图所 示）。台架式机器人是一个直角坐标机器人，只不 过是将机器人固连在一个朝下的直角架上。 IBM7565机器人就是一个台架式直角坐标机器人。
的位置，但处于不同的姿态。由于目 前并不关心手坐标系在这点的姿态，
γ=8.6
因此两个位置解都是正确的。实际上
，由于不能对三自由度的机器人指定
姿态，所以无法确定两个解中哪一个
和特定的姿态有关。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （2）链式坐标
如图所示，链式坐标由三个旋转组成。后面在讨论 Denavit-Hartenberg表示法时，将推导链式坐标的矩 阵表示法。
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
（2）圆柱坐标
经过一系列变换后，前三列表示了坐标系的姿态，然而我们只对坐标系 的原点位置即最后一列感兴趣。显然，在圆柱型坐标运动中，由于绕z轴 旋转了 α角，运动坐标系的姿态也将改变。
实际上，可以通过绕 n, o, a坐标系中的 a轴旋转-α 角度使坐标系回转
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （2）圆柱坐标
圆柱型坐标系包括两个线性平移运动和一个旋转运 动。其顺序为：先沿x轴移动r ,再绕 z轴旋转 α角， 最后沿z轴移动l，如图所示。这三个变换建立了手 坐标系与参考坐标系之间的联系。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
SaCo
SaSoSn CaCn
SaSoCn CaSn
0
So
0
Co Sn
0
CoCn
0
0 1
这个矩阵表示了仅由RPY引起的姿态变化。该坐标系相对于参考坐标系的 位置和最终姿态是表示位置变化和RPY的两个矩阵的乘积。例如，假设一 个机器人是根据球坐标和RPY来设计的，那么这个机器人就可以表示为：
如下结果：
l7
rC 3
rS 4
于是有：tan 4 和 53.1
3
将α代入其中任何一个方程，可得r=5 ，最终结果是：
r 5, 53.1,l 7
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 如图所示，球坐标系统由一个线性运动和两个旋转运
（2）球坐标
S 0
C 0
0
rS
S (
)
1 l 0
C( ) 0
0
0 0
1
0
rS
1 0 0 0 1 l
0
0
0
1
0
0
0 1 0 0 0
1
由此可见，运动坐标系的原点位置没有改变，但它转回到了与参考坐标系平 行的状态。需注意的是，最后的旋转是绕本地坐标系的 α轴的，目的是为了 不引起坐标系位置的任何改变，而只改变姿态。
3.7 机器人的正逆运动学
例3.13要求笛卡尔坐标机器人手坐标系原点定位在点 P 3 4 7T，计算所需要的
笛卡儿坐标运动。 解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
rSC =3 rS S =4 rC =7
3.7 机器人的正逆运动学
由第三个方程，我们得出Cβ是正数，但没有关于Sβ是正或负的信息。将前两个方 程彼此相除，因为不知道Sβ的实际符号是什么，因此可能会有两个解。下面的方 法给出了两个可能的解，后面还必须对最后的结果进行检验以确保正确。
tan 4 53.1或233.1
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3.14假设要将圆柱坐标机器人手坐标系的原点放在 3 4 7T ,计算该机器人的 关节变量。
解：
设定正运动学方程用式（3.33）中的Tcyl 矩阵表示，根据期望的位置可得知
因为不希望运动坐标系原点的位置有任何改变（它已被放在一个期望的 位置上，所以只需要旋转到所期望的姿态），所以RPY的旋转运动都是相对 于当前的运动轴的。否则。如前面所看到的，运动坐标系的位置将会改变。 于是，右乘所有由RPY和其他旋转所产生的与姿态改变有关的矩阵。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 （1）滚动角、俯仰角和偏航角
3.7 机器人百度文库正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 （1）滚动角、俯仰角和偏航角
这是分别绕当前 轴的三个旋转顺序，能够把机器人的手调整到所期望的 姿态。此时，假定当前的坐标系平行于参考坐标系，于是机器人手的姿态在 RPY（滚动角、俯仰角、偏航角）运动前与参考坐标系相同。如果当前坐标 系不平行于参考坐标系，那么机器人手最终的姿态将会是先前的姿态与RPY 右乘的结果。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
假设固连在机器人手上的运动坐标系已经运动到期望的位置上，但它仍然平 行于参考坐标系，或者假设其姿态并不是所期望的，下一步是要在不改变位 置的情况下，适当地旋转坐标系而使其达到所期望的姿态。合适的旋转顺序 取决于机器人手腕的设计以及关节装配在一起的方式。考虑以下三种常见的 构型配置： （1）滚动角、俯仰角、偏航角（RPY）； （2）欧拉角； （3）链式关节。
解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
RTP
0 0
1 0
0 1
0
S
l 0
C 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0 0 1
C S 0 rC
RTP
Tcyl
S
0
C
0
0
rS
1 l
0
3 Sγ=0.8或-0.8
可以对这两组解进行检验并证实这两 组解都能满足所有的位置方程。如果 沿给定的三维坐标轴旋转这些角度，
Cγ=0.6或-0.6
物理上的确能到达同一点。然而必须 注意，其中只有一组解能满足姿态方
γSβ=5或-5
程。换句话说，前两种解将产生同样
γCβ=7，β=35.5或-35.5
RTP
Tsph
C S S
C
0
S S
rS
S
C
rC
0
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3-15假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在3 4，7T 计算机器人的关节变量。
解： 设定正运动学方程用式（3.35）中的Txph 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
（2）圆柱坐标
由于这些变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴
的，因此由这三个变换所产生的总变换可以通过依
次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tcyl (r, ,l) Trans(0, 0,l)Rot(z, )Trans(r, 0, 0)
1 0 0 0 C S 0 0 1 0 0 r
2）.姿态的正逆运动学方程 3）.位姿的正逆运动学方程
3.7 机器人的正逆运动学
机器人运动学包括正向运动学和逆向运动学，正向运动学即给定机器人各关节 变量，计算机器人末端的位置姿态； 逆向运动学即已知机器人末端的位置姿 态，计算机器人对应位置的全部关节变量。一般正向运动学的解是唯一和容易 获得的，而逆向运动学往往有多个解而且分析更为复杂。机器人逆运动分析是 运动规划不控制中的重要问题，但由于机器人逆运动问题的复杂性和多样性， 无 法建立通用的解析算法。逆运动学问题实际上是一个非线性超越方程组的 求解问题，其中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系复杂问题。
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
Pz 1
其中 RTP是参考坐标系与手坐标系原点 的变换矩阵，而 Tcart 表示直角坐标变换矩阵。对于逆运动学的求解，只需简
单地设定期望的位置等于P 。
3.7 机器人的正逆运动学
例3.13要求笛卡尔坐标机器人手坐标系原点定位在点 P 3 4 7T，计算所需要的 笛卡儿坐标运动。
RTH Tsph r, , RPY a ,o ,n
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程
（1）滚动角、俯仰角和偏航角
关于RPY的逆运动学方程的解比球坐标更复杂，因为这里有三个耦合角，所以需要
所有三个角各自的正弦和余弦值的信息才能解出这个角。为解出这三个角的正弦值
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程 （1）笛卡尔（台架，直角）坐标
当然，如果没有旋转运动，表示向P点运动的变换 矩阵是一种简单的平移变换矩阵。注意这里只涉及 坐标系原点的定位，而不涉及姿态。在直角坐标系 中，表示机器人手位置的正运动学变换矩阵为：
1 0 0 Px
RTP
Tcart
C S 0 0 C 0 S 0 1 0 0 0
RTP
S
0
C 0
0
0
0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 S 0 C 0 0 0 1 r
0
0
0
1
0
0 0 1 0 0 0 1
C C S S C rS C
参考图，可看到RPY旋转包括以下几种： 绕 轴（运动坐标系的z轴）旋转 叫滚动； 绕 轴（运动坐标系的y轴）旋转 叫俯仰； 绕 轴（运动坐标系的x轴）旋转 叫偏航。
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.2姿态的正逆运动学方程 图2.4 摇摆、俯仰和偏 转角
图2.5 机械手的末端执行器的摇摆、 俯仰和偏 转
动组成，运动顺序为：先沿z轴平移r ,再y轴旋转 β并 绕z轴旋转γ。这三个变换建立了手坐标系与参考坐标
系之间的联系。由于这些变换都是相对于全局参考坐
标系的坐标轴的，因此有这三个变换所产生的总变换
可以通过一次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tsph r, , Rotz, Roty, Trans0,0, r
3.7 机器人的正逆运动学
3.7.1位置的正逆运动学方程
对于机器人的定位，可以通过相对于任何惯用坐标系的运动来实现。比 如，基于直角坐标系对空间的一个点定位，这意味着有三个关于 轴的线性运 动，此外，如果用球坐标来实现，就意味着需要有一个线性运动和两个旋转运 动。常见的情况有： （1）笛卡尔（台架，直角）坐标； （2）圆柱坐标； （3）球坐标； （4）链式(拟人或全旋转)坐标。