Matlab学习系列28.-灰色关联分析

28. 灰色关联分析

一、灰色系统理论简介

若系统的内部信息是完全已知的，称为白色系统；若系统的内部信息是一无所知（一团漆黑），只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统；灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。

灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统为研究对象，其特点是：

（1）认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，使之量化，灰色系统理论只需要很少量的数据序列；

（2）观测到的数据序列看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析；

（3）通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

二、灰色关联度分析

1. 要定量地研究两个事物间的关联程度，可以用相关系数和相似系数等，但这需要足够多的样本数或者要求数据服从一定概率分布。

在客观世界中，有许多因素之间的关系是灰色的，分不清哪些因素之间关系密切，哪些不密切，这样就难以找到主要矛盾和主要特性。

灰因素关联分析，目的是定量地表征诸因素之间的关联程度，从而揭示灰色系统的主要特性。关联分析是灰色系统分析和预测的基础。

关联分析源于几何直观，实质上是一种曲线间几何形状的分析比较，即几何形状越接近，则发展变化趋势越接近，关联程度越大。如下图所示：

x

t

曲线A 与B 比较平行，则认为A 与B 的关联程度大；曲线C 与A 随时间变化的方向很不一致，则认为A 与C 的关联程度较小；曲线A 与D 相差最大，则认为两者的关联程度最小。

2. 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法

步骤：

(1) 计算关联系数

设参考序列为

0000{(1),(2),...,()}X x x x n =

比较序列为

{(1),(2),...,()}, 1,,i i i i X x x x n i m ==L

比较序列X i 对参考序列X 0在k 时刻的关联系数定义为：

0000min min ()() max max ()()()()() max max ()()s s s t s t

i i s s t

x t x t x t x t k x k x k x t x t ρηρ-+-=-+- 其中，0min min ()()s s t

x t x t -和0max max ()()s s t x t x t -分别称为两级最小差、两级最大差，[0,1]ρ∈称为分辨系数，ρ越大分辨率越大，一般采用0.5ρ=

对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数之前应首先进行初值化，即将该序列的所有数据分别除以第一数据，将变量化为无单位的相对数值。

注1：若数据是负向数据（越小越好），初值化时要取倒数，即用第一数据除以该所有数据；

注2：也可以数据均值化，所有数据都除以均值；也可以数据百分比化，所有数据都除以最大值；也可以数据归一化。

(2) 计算关联度

关联系数只表示了各个时刻参考序列和比较序列之间的关联程度，为了从总体上了解序列之间的关联程度，必须求出它们的时间平均值，即关联度：

1

1()n

i i k r k n η==∑ 注：若各指标有不同的权重，可以对i η进行加权平均，得到灰色

加权关联度。

例1对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其1982 年至1986 年每年最好成绩及16项专项素质和身体素质的时间序列资料：

做灰色关联度分析，看哪些指标与铅球成绩关联度更高？从而进行更加有针对性的训练。

代码：

data=xlsread('data28_1.xlsx');

x=data(:,2:18);

%初始化数据

for i=1:15

x(:,i)=x(:,i)/x(1,i);

end

for i=16:17

x(:,i)=x(1,i)./x(:,i);

end

n=size(x,1); %序列元素个数

ck=x(:,1); %提取参考序列

bj=x(:,2:end); %提取比较序列

m=size(bj,2);

for j=1:m %每个比较序列与参考序列作差

t(:,j)=bj(:,j)-ck;

end

min2=min(min(abs(t))); %求两级最小差

max2=max(max(abs(t))); %求两级最大差

rho=0.5; %分辨系数

eta=(min2+rho*max2)./(abs(t)+rho*max2); %求关联系数

r=mean(eta) %求关联度

[rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度从大到小排序

运行结果：

r = 0.5881 0.6627 0.8536 0.7763 0.8549 0.5022 0.6592 0.5820 0.6831 0.6958 0.8955 0.7047 0.9334 0.8467 0.7454 0.7261

rs = 0.9334 0.8955 0.8549 0.8536 0.8467 0.7763 0.7454 0.7261 0.7047 0.6958 0.6831 0.6627 0.6592 0.5881 0.5820 0.5022

rind =

13 11 5 3 14 4 15 16 12 10 9 2 7 1 8 6

结果表明，影响铅球专项成绩的前8项主要因素依次为：全蹲x13，3kg滑步x11，高翻x5，4kg原地x3，挺举x14，立定跳远x4，