运筹学课件--第五章 目标规划
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k
二、偏差变量
负偏差变量 d 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的 d 和 d 中至少有一个必须为零。
k k
k
目标约束 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
7
n
c kj x j d k d k E
*
j1
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
16
OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
OR:SM OR:SM
9
第二节 目标规划的数学模型
OR:SM OR:SM
• •
优先等级法：
有效解法：
• 目标规划法：
6
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 正偏差变量 d 表示第k个目标超过期望值的数值；
2
d ) P (d d3 ) P4 d
(a) (b)
2 31
3
4
4 x1 16 4 x2 12 2 x1 3x2 d1 d1 12 x1 x2 d 2 d 2 0
(c)
(d )
2 3 (e) x1 2 x2 d3 d 12 x1 2 x2 d 4 d 4 8 (f) x1 , x2 di , di 0 (i 1,,4)
例如
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
设备A 设备B 设备C 单位利润
2 0 3
0 2 4
16 10
32
3
5
maxZ1=3x1+5x2
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
maxZ2=x1 minZ3=x2
2x1
• 又增加二个目标：
5
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
OR:SM OR:SM
OR:SM OR:SM
设 x1 , x2 , x3分 别 表示三种 产 品的 产 量， 则该问题 的目 标规 划模型 为
min Z p1d1 p2 d 2 p3 d 3
p4 (d 4 d 4 d 5 d 5 d 6 d 6 )
500 x1 650 x2 800 x3 d1 d1 16000 6 x1 8 x2 10 x3 d 2 d 2 200 2 d d 3 d 3 24 x1 d 4 d 4 12 x2 d 5 d 5 10 x d 6 d 6 6 3 x1 , x2 , x3 0, d i , d i 0(i 1, 2,, 6)
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内容提要 Sub title
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别
第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2 OR:SM OR:SM
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 ) p4 d6
300x1 280x2 450x3 425x4 d1 d1 10000 x1 x2 d2 d2 10 x3 x4 d3 d 15 3 s.t. 4x1 4x2 6x3 6x4 d4 d4 150 3x1 3x2 2x3 2x4 d 5d 70 5 d5 d6 d6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , di , di 0 i 1, 2,3, 4,5,6
•
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
•
•
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小 的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的， LP则无能为力 目标规划（Goal Programming）
15 OR:SM OR:SM
设x1,x2为分别为两种型号产品的产量，则该问题 的目标规划模型为：
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 )
300x1 450x2 d1 d1 10000 x1 d2 d2 10 x2 d 3 d3 15 s.t. 4x1 6x2 d4 d4 150 3x 2x2 d d 70 1 x 1 , x2 , di , di 0 i 1, 2,3, 4,5
第二节 目标规划的数学模型
三、目标达成函数
目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值
正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk若希望尽可能不低于期望值(允许超过)
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
第一节 多目标规划问题
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
上例中要求：
目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ =4 x1 +d3– -d3+ = 6
8
OR:SM OR:SM
x2
6
x1=5, x2=4
d
3
d
3
2x1 =16 2x2 =10
D
4
E
C H G
d2
d2
d1
2
d1
B F A 3x1 +4 x2 =32 10
0
18
2
4
6
x1
OR:SM OR:SM
目标规划的图解分析法
• 例5.2 用图解法求解下列目标规划问题
min z PP21 （d d
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
OR:SM OR:SM
s.t.
14
例2 已知条件如表所示
型号 工序 Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台） 利润（元/台） A 4 3 300 B 6 2 450 每周最大 加工能力 150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：
p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用 足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。
4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
不同，赋予相应的权系数 kl 和 kl 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。
（恰好、不超过、不低于）
11 OR:SM OR:SM
目标规划的一般模型
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
模型的一般形式：
m in Z
P (
k k 1 l 1
K
L
kl
d l kl d l )
n c kj x j d l d l ql (l 1.2 L ) j 1 n s.t . aij x j ( . )bi (i 1.2 m ) j 1 xj0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
多目标线性规划 含有多个优ຫໍສະໝຸດ Baidu目标的线性规划
4
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源 产品 甲 乙 现有资源
解：线规划模型：
maxZ=3x1+5x2 ≤16 2x1 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先 级和权系数 构造目标 规划模型
求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
3
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等
17 OR:SM OR:SM
第三节 目标规划的图解法
目标规划的图解法 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。当目标函数检 查完或可行域缩为一点时算法停。
min G Pd1 P 2 2 d3 ) (2d 1 3x1 5x2 d1 d1 30 x2 d2 d2 4 x 1 d 3 d3 6 2 x 16 s.t. 1 2 x2 10 3x 1 4 x2 32 x1 , x2 0 d l , dl 0(l 1, 2,3) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
二、偏差变量
负偏差变量 d 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的 d 和 d 中至少有一个必须为零。
k k
k
目标约束 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
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n
c kj x j d k d k E
*
j1
OR:SM OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
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OR:SM OR:SM
例3 在上题中（例2），如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A 型机减少利润20元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每 周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型。 解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4 分别为在正 常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
OR:SM OR:SM
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第二节 目标规划的数学模型
OR:SM OR:SM
• •
优先等级法：
有效解法：
• 目标规划法：
6
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 正偏差变量 d 表示第k个目标超过期望值的数值；
2
d ) P (d d3 ) P4 d
(a) (b)
2 31
3
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4 x1 16 4 x2 12 2 x1 3x2 d1 d1 12 x1 x2 d 2 d 2 0
(c)
(d )
2 3 (e) x1 2 x2 d3 d 12 x1 2 x2 d 4 d 4 8 (f) x1 , x2 di , di 0 (i 1,,4)
例如
P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
设备A 设备B 设备C 单位利润
2 0 3
0 2 4
16 10
32
3
5
maxZ1=3x1+5x2
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
maxZ2=x1 minZ3=x2
2x1
• 又增加二个目标：
5
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
OR:SM OR:SM
OR:SM OR:SM
设 x1 , x2 , x3分 别 表示三种 产 品的 产 量， 则该问题 的目 标规 划模型 为
min Z p1d1 p2 d 2 p3 d 3
p4 (d 4 d 4 d 5 d 5 d 6 d 6 )
500 x1 650 x2 800 x3 d1 d1 16000 6 x1 8 x2 10 x3 d 2 d 2 200 2 d d 3 d 3 24 x1 d 4 d 4 12 x2 d 5 d 5 10 x d 6 d 6 6 3 x1 , x2 , x3 0, d i , d i 0(i 1, 2,, 6)
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内容提要 Sub title
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别
第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2 OR:SM OR:SM
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 ) p4 d6
300x1 280x2 450x3 425x4 d1 d1 10000 x1 x2 d2 d2 10 x3 x4 d3 d 15 3 s.t. 4x1 4x2 6x3 6x4 d4 d4 150 3x1 3x2 2x3 2x4 d 5d 70 5 d5 d6 d6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , di , di 0 i 1, 2,3, 4,5,6
•
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
•
•
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小 的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的， LP则无能为力 目标规划（Goal Programming）
15 OR:SM OR:SM
设x1,x2为分别为两种型号产品的产量，则该问题 的目标规划模型为：
min f p1d1 p2 (300d2 450d3 ) p3 (d4 d4 d5 )
300x1 450x2 d1 d1 10000 x1 d2 d2 10 x2 d 3 d3 15 s.t. 4x1 6x2 d4 d4 150 3x 2x2 d d 70 1 x 1 , x2 , di , di 0 i 1, 2,3, 4,5
第二节 目标规划的数学模型
三、目标达成函数
目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值
正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk若希望尽可能不低于期望值(允许超过)
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
第一节 多目标规划问题
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
上例中要求：
目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ =4 x1 +d3– -d3+ = 6
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OR:SM OR:SM
x2
6
x1=5, x2=4
d
3
d
3
2x1 =16 2x2 =10
D
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C H G
d2
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d1
2
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B F A 3x1 +4 x2 =32 10
0
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OR:SM OR:SM
目标规划的图解分析法
• 例5.2 用图解法求解下列目标规划问题
min z PP21 （d d
OR:SM OR:SM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获
利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下： 1、利润指标为每月16000元，争取超额完成； 2、充分利用现有生产能力； 3、可以适当加班，但加班时间不得超过24小时； 4、产量以预计销售量为准。 试建立目标规划模型。
OR:SM OR:SM
s.t.
14
例2 已知条件如表所示
型号 工序 Ⅰ（小时/台） Ⅱ（小时/台） 利润（元/台） A 4 3 300 B 6 2 450 每周最大 加工能力 150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：
p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用 足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。
4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
不同，赋予相应的权系数 kl 和 kl 。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。
（恰好、不超过、不低于）
11 OR:SM OR:SM
目标规划的一般模型
10
OR:SM OR:SM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即 可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
模型的一般形式：
m in Z
P (
k k 1 l 1
K
L
kl
d l kl d l )
n c kj x j d l d l ql (l 1.2 L ) j 1 n s.t . aij x j ( . )bi (i 1.2 m ) j 1 xj0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
多目标线性规划 含有多个优ຫໍສະໝຸດ Baidu目标的线性规划
4
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源 产品 甲 乙 现有资源
解：线规划模型：
maxZ=3x1+5x2 ≤16 2x1 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先 级和权系数 构造目标 规划模型
求出满意解
N
满意否？
分析各项目标 完成情况
Y
据此制定出决策方案
3
OR:SM OR:SM
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等
17 OR:SM OR:SM
第三节 目标规划的图解法
目标规划的图解法 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。当目标函数检 查完或可行域缩为一点时算法停。
min G Pd1 P 2 2 d3 ) (2d 1 3x1 5x2 d1 d1 30 x2 d2 d2 4 x 1 d 3 d3 6 2 x 16 s.t. 1 2 x2 10 3x 1 4 x2 32 x1 , x2 0 d l , dl 0(l 1, 2,3) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)