基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割
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软件ห้องสมุดไป่ตู้2015 年第 36 卷 第 4 期
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基于马尔科夫随机场与模拟退火 算法的图像分割
杨玚，谢华成
(信阳师范学院网络信息与计算中心 , 河南 信阳 464000)
摘
要 : 基于马尔科夫随机场(MRF)的方法是图像分割中一个比较成熟的分割方法， 本文介绍了马尔科夫随机场的
0,
(2) 马尔科夫性： P X XS
P X XN 。
其中 ,S i表示网格 S 中索引位置以外的所有位置的元素 ,xN 为下式所示的一个标记集合 , 表示与 i 相邻的 领域系统中其他所有标记的集合。根据马尔科夫特性 ,在图像中相邻的像素之间才具有这种相关交互性。 中 p(·)与 p(·|·)分别代表概率和条件概率，在图像处理中 , p(·)表示标号场的先验概率， p(·|·)表示邻域系 统标号的局部作用关系。
1.2
MRF 的数学模型媒体 人类的视觉系统对图像比较敏感的特性为一阶统计特性 (均值 )和二阶统计特性 (方差和协方差 ), 但是对
目前分割中常用二阶 MLL 分布作为先验模型 , 具有一定的通用性 ,但有时缺乏合理性。 在灰度场模型建
图像中的三阶或更高阶统计特征不敏感 , 因此可以在建立图像模型时可以利用具体的概率密度函数。 立上 , 目前普遍使用的是高斯混合模型 , 其通用性较强 , 但在某些情况下缺乏有效性。 在具有邻域系统 N 的网格集合 S 上定义的随机场 X 称为马尔科夫随机场 (MRF)，能且仅能满足如下的 两个性质： (1) 正定性： P x
数学模型和在图像分割过程中的实现，将图像分割过程中存在的问题转换为函数的优化问题，在能量模型中对特征场 模型和标记场模型的优化以解决对势函数取值的依赖。在后续的组合优化问题中，采用模拟退火算法来解决，并针对 具体的算法的计算问题提出确定的优化算法。 关键词 : 马尔科夫随机场; 领域系统; 势函数; 模拟退火 中图分类号 : G642 文献标识码 : A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2015.04.009 本文著录格式： 杨玚，谢华成. 基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割[J]. 软件，2015，36(4)：4043
Image Segmentation Based On Markov Random Field and Simulated Annealing Algorithm
YANG Yang, XIE Hua-cheng
(Information of Network and ComputerCenter, Xinyang, 464000, China)
3
MRF 模型的实现与分析
Hammersley-Clifford 定理将 MRF 和 GRF 连接在一起，这个等效性说明马尔科夫随机场总是满足吉布
斯分布的。它的实际价值在于为 MRF 提供了联合概率的表达形式，建立起图像局部特征与全局特征的相互 联系，表示了二维图像系统的后验概率分布和先验概率分布，并通过势函数来确定，这样使得 MRF 方法可 以应用于图像分析的几乎所有方面，推动了 MRF 方法在实际应用中的发展。将先验知识集成到图像模型中。 在计算中为了克服切分函数的计算困难，常将它与模型的参数估计结合起来考虑，使用近似的方法计算联 合概率。 根据 MRF 场与 Gibbs 场分布的一致性，通过势函数确定 MRF 的条件概率，使其具有全局一致性。 关于邻域系统 M(s)的 MRF 与 Gibbs 分布等价形式表示为 P
0
引言
图像是人类认识客观世界、获取和交换信息的主要媒体。图像分割是由图像处理到图像分析的关键环
节，分割质量的好坏直接影响到后期的图像分类、模式识别等工作。如何提高图像分割的质量，是判断图 像分割效果优劣的重要标志。 分割的实质是首先对图像进行数学建模，然后从统计学的角度出发，图像中每个像素点的灰度值都被 看作一个随机变量，每个随机变量都具有一定概率分布。图像分割本身是一个自相矛盾的问题，图像分割 的目的是为了更好地提取并理解信息，但是理想的分割结果都需要理解后的结果作为分割的先验知识。
1.1
基本概念 若集合Ｓ中像素均由邻域系统来表示之间的关联，则邻域系统可表示为：
Ｍ＝ {M(s)|s∈ S} 其中，Ｍ (s)是元素 s 的邻域集合且邻域系统Ｍ满足以下两点： (1) 某一位置不在它自己的邻域内，即 s∉Ｍ (s)； (2) 邻域关系是相互的，即存在 s,r∈ S， s∈ M(r) r∈ M(s)。 在 S 中有 对于一个规则图片位置集合 s 来说,位置 i 的邻域可以定义为与 i 相距小于等于√ 的位置集合[2]。
41
《软件》杂志欢迎推荐投稿：cosoft@163.com
杨玚等：基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割 P f exp
其中： T 是温度常量； Z 是一个归一化常量，且 U(f)是标记点 f 所有基团的能量和，即随机场 D 的势 函数。 U(f)是 MRF 模型的核心。 用 MRF(markov random field)模型描述待分割图像的先验分布，在面对图像灰度变化率 , 纹理基元的排 列，边缘的几何特征 , 或者及图像表面的局部内在特征这些问题仍是目前比较活跃的研究方向。 马尔可夫随机场方法是建立在 MRF 模型和 Bayes 理论的基础上 , MRF 模型提供了不确定性描述与先验 知识联系的纽带 , 并利用观测图像 , 根据统计决策和估计理论中的最优准则确定分割问题的目标函数 , 求解 满足这些条件或消费函数的最大可能分布 , 从而将分割问题转化为最优化问题。
【Abstract 】: It is known that the image segmentation based on Markova random field is a mature method. This paper introduces the mathematical model of Markov random field and its realization in the process of image segmentation. Thus the problems in process of image segmentation become function optimization problems. The feature model and the tag field model are optimized in the energy model to resolve its dependence on potential function values. The subsequent combinatorial optimization is realized by the simulated annealing algorithm. As for the specific algorithm of computing problems, optimized algorithm is put forward in this paper. 【Key words】: Markov Random Field; Field System; Potential Function; Simulated Annealing
ϵM s exp ∑ |
解决了求 MRF 中概率分布的难题 ,把对 MRF 的研究转化为对势函数 Uc(x)的研究 ,建立了 Gibbs 分布与 能量函数的等价关系 ,是研究邻域系统的一个重要里程碑 [6]。 权重的引入将分割结果分为 3 类 : 如果标号场占主导地位 , 即注重区域的局部属性 , 那么特征场的参数 估计可能偏离特征数据 , 分割结果区域的一致性属性表现很差 ;如果特征场模型占主导地位 , 即注重区域的 一致属性 , 那么分割结果中区域的边缘局部属性表现很差 ;如果二者同等对待 , 那么可能参数估计是局部最 优解而不是全局最优解 , 同样造成分割结果的不准确。因此如何处理好这两个分量之间的关系 , 对分割结果 产生决定性的影响。 优化算法中存在着三个主要的问题 :问题的表述、目标函数、最优化算法。问题的表示包含了两个方面 : 描述和形式化计算。前者的重点在于如何表述图像的特征，主要使用的几何学与图论的方法等。后者主要 关注如何表述解决方案，和标号问题中的元素集合与标号集合的选择有关。而目标函数必须考虑到如何形 式化地表示，目标函数将解决方案映射到实际计算空间，并且可以衡量解决方案的质量，或者损益。这个 形式化表述决定了变量如何相互约束，例如像素的亮度属性如何跟相邻像素有关等等。目标函数的最优解 就是优化问题中的最佳解决方案。 第三个问题是如何解目标函数，在这个过程中必须要考虑到局部最小值对结果的影响与算法的效率。 到目前为止，还没有兼顾全局最优解与效率的算法。上述三个问题是相互作用的，问题的描述会对目标函 数的表达与计算造成直接的影响，而构造一个合适的目标函数对全局最优解的获取也有着重要的意义。 在能量模型中对特征场模型和标记场模型前加以尺度间变化的权重 , 分析变权重的意义 , 实现了变权重 小波域多尺度 MRF 的图像分割 ,将其结果和固定势函数下的分割结果进行对比 ,得出变权重思想减弱了分割 过程对势函数取值的依赖的结论。由于成像系统的不确定性，图像分割本身又有不确定性，因此在图像处 理中如何利用先验知识来解决图像分割的不适定性，是获取最佳分割结果的必要前提。 目标函数的形式化，我们可以用概率的知识和信息论来解决成像系统中的不确定性。例如我们面对有 关数据的一些分布知道，但是先验信息不确定的情况下，我们可以使用最大似然准则 (ML)。
2
用 MRF 描述图像模型
在 Markov 随机场中常用 2 个随机场来描述待分割的图像： (1) 标记场，用来标记图像像素，通常采用 Ising 模型、 FGMM 模型 [3]、 GMRF 模型 [4]、多尺度随机场
模型 (MSRF)等； (2) 特征场，主要用来拟合原始的观测数据，尽可能准确反映每一个像素空间的特征信息 ,常用的模型 包括有限正态混合模型 (FGMM)、高斯混合模型 (GMRF)等。 图像分割的过程就是估计标号的过程 , 其本质就是如何处理区域的标号分量和区域的一致性属性这两 个分量之间的关系 , 由 Bayes 定理可知 , 二者的相互作用可以通过两个概率分布的积来体现 , 因此所有的算 法就是如何处理这两个分量的权重。 Besag 于 1974 年指出了 MRF 中求联合概率方法的和条件概率方法的优缺点。 也就是为什么大多数 MRF 没有直接解的原因。直到 Hammersley 和 Clifford 于 1971 年证明了 MRF 和 Gibbs 随机场的等价性 [5]，这为 解 MRF 中的联合概率提供了一种特别的方法。 对于满足 Markov 随机场 D 的每一个图像点标记 f， Gibbs 的分布形式为：
1
相关研究
在如何描述目标像素点与其邻域内其它像素点的关系时，马尔科夫随机场能够很好的将其表达，因此
其获得了广泛的关注和应用。 随机场可以看成是一组随机变量的集 Markov 随机场是由 S. Geman 和 D. Geman 在 1984 年提出来的 [1]。 合，这组随机变量对应同一个样本空间。在 MRF 中 , 常用两个随机场来描述待分割的图像 , 一个是标号场 ,
基金项目: 河南省科技厅基础与前沿项目(142300410306),信阳师范学院青年骨干教师资助计划资助 作者简介: 杨玚( 1981), 女, 讲师, 硕士, 毕业于信阳师范学院, 主要研究方向: 图像分割
杨玚等：基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割
常称为隐随机场 , 用先验分布描述标号场的局部相关性。另一个是灰度场或特征场 , 常以标号场为条件 , 用 分布函数描述观测数据或特征向量的分布。马尔科夫随机场模型本身并不具备分割能力，它不是一种分割 方法，但可以将其作为先验模型嵌入某种特定的分割算法中，从而使分割结果受到影响。
不同的领域结构，当子集 c S 中的每对不同位置总是相邻时，称 c 是一个基团。基团是某一像素点的位置与 它邻域某些其他像素点位置相组成而成的集合。随着邻域系统阶数增加，基团的数量会明显增加，这就导致 计算复杂度随之增加。基团的选取对图像的局域性质产生重要的影响, 是构成马尔可夫先验模型的重要环节。 用基团的势能 (potential energy)可以表示相邻位置上灰度之间的局部相互作用。设有一个基团 C，对应 的势能为 Uc，其值由该势团像素分量的灰度值决定。因此，图像的总能量可以定义为所有基团的势能量函 数值的总和。
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基于马尔科夫随机场与模拟退火 算法的图像分割
杨玚，谢华成
(信阳师范学院网络信息与计算中心 , 河南 信阳 464000)
摘
要 : 基于马尔科夫随机场(MRF)的方法是图像分割中一个比较成熟的分割方法， 本文介绍了马尔科夫随机场的
0,
(2) 马尔科夫性： P X XS
P X XN 。
其中 ,S i表示网格 S 中索引位置以外的所有位置的元素 ,xN 为下式所示的一个标记集合 , 表示与 i 相邻的 领域系统中其他所有标记的集合。根据马尔科夫特性 ,在图像中相邻的像素之间才具有这种相关交互性。 中 p(·)与 p(·|·)分别代表概率和条件概率，在图像处理中 , p(·)表示标号场的先验概率， p(·|·)表示邻域系 统标号的局部作用关系。
1.2
MRF 的数学模型媒体 人类的视觉系统对图像比较敏感的特性为一阶统计特性 (均值 )和二阶统计特性 (方差和协方差 ), 但是对
目前分割中常用二阶 MLL 分布作为先验模型 , 具有一定的通用性 ,但有时缺乏合理性。 在灰度场模型建
图像中的三阶或更高阶统计特征不敏感 , 因此可以在建立图像模型时可以利用具体的概率密度函数。 立上 , 目前普遍使用的是高斯混合模型 , 其通用性较强 , 但在某些情况下缺乏有效性。 在具有邻域系统 N 的网格集合 S 上定义的随机场 X 称为马尔科夫随机场 (MRF)，能且仅能满足如下的 两个性质： (1) 正定性： P x
数学模型和在图像分割过程中的实现，将图像分割过程中存在的问题转换为函数的优化问题，在能量模型中对特征场 模型和标记场模型的优化以解决对势函数取值的依赖。在后续的组合优化问题中，采用模拟退火算法来解决，并针对 具体的算法的计算问题提出确定的优化算法。 关键词 : 马尔科夫随机场; 领域系统; 势函数; 模拟退火 中图分类号 : G642 文献标识码 : A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2015.04.009 本文著录格式： 杨玚，谢华成. 基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割[J]. 软件，2015，36(4)：4043
Image Segmentation Based On Markov Random Field and Simulated Annealing Algorithm
YANG Yang, XIE Hua-cheng
(Information of Network and ComputerCenter, Xinyang, 464000, China)
3
MRF 模型的实现与分析
Hammersley-Clifford 定理将 MRF 和 GRF 连接在一起，这个等效性说明马尔科夫随机场总是满足吉布
斯分布的。它的实际价值在于为 MRF 提供了联合概率的表达形式，建立起图像局部特征与全局特征的相互 联系，表示了二维图像系统的后验概率分布和先验概率分布，并通过势函数来确定，这样使得 MRF 方法可 以应用于图像分析的几乎所有方面，推动了 MRF 方法在实际应用中的发展。将先验知识集成到图像模型中。 在计算中为了克服切分函数的计算困难，常将它与模型的参数估计结合起来考虑，使用近似的方法计算联 合概率。 根据 MRF 场与 Gibbs 场分布的一致性，通过势函数确定 MRF 的条件概率，使其具有全局一致性。 关于邻域系统 M(s)的 MRF 与 Gibbs 分布等价形式表示为 P
0
引言
图像是人类认识客观世界、获取和交换信息的主要媒体。图像分割是由图像处理到图像分析的关键环
节，分割质量的好坏直接影响到后期的图像分类、模式识别等工作。如何提高图像分割的质量，是判断图 像分割效果优劣的重要标志。 分割的实质是首先对图像进行数学建模，然后从统计学的角度出发，图像中每个像素点的灰度值都被 看作一个随机变量，每个随机变量都具有一定概率分布。图像分割本身是一个自相矛盾的问题，图像分割 的目的是为了更好地提取并理解信息，但是理想的分割结果都需要理解后的结果作为分割的先验知识。
1.1
基本概念 若集合Ｓ中像素均由邻域系统来表示之间的关联，则邻域系统可表示为：
Ｍ＝ {M(s)|s∈ S} 其中，Ｍ (s)是元素 s 的邻域集合且邻域系统Ｍ满足以下两点： (1) 某一位置不在它自己的邻域内，即 s∉Ｍ (s)； (2) 邻域关系是相互的，即存在 s,r∈ S， s∈ M(r) r∈ M(s)。 在 S 中有 对于一个规则图片位置集合 s 来说,位置 i 的邻域可以定义为与 i 相距小于等于√ 的位置集合[2]。
41
《软件》杂志欢迎推荐投稿：cosoft@163.com
杨玚等：基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割 P f exp
其中： T 是温度常量； Z 是一个归一化常量，且 U(f)是标记点 f 所有基团的能量和，即随机场 D 的势 函数。 U(f)是 MRF 模型的核心。 用 MRF(markov random field)模型描述待分割图像的先验分布，在面对图像灰度变化率 , 纹理基元的排 列，边缘的几何特征 , 或者及图像表面的局部内在特征这些问题仍是目前比较活跃的研究方向。 马尔可夫随机场方法是建立在 MRF 模型和 Bayes 理论的基础上 , MRF 模型提供了不确定性描述与先验 知识联系的纽带 , 并利用观测图像 , 根据统计决策和估计理论中的最优准则确定分割问题的目标函数 , 求解 满足这些条件或消费函数的最大可能分布 , 从而将分割问题转化为最优化问题。
【Abstract 】: It is known that the image segmentation based on Markova random field is a mature method. This paper introduces the mathematical model of Markov random field and its realization in the process of image segmentation. Thus the problems in process of image segmentation become function optimization problems. The feature model and the tag field model are optimized in the energy model to resolve its dependence on potential function values. The subsequent combinatorial optimization is realized by the simulated annealing algorithm. As for the specific algorithm of computing problems, optimized algorithm is put forward in this paper. 【Key words】: Markov Random Field; Field System; Potential Function; Simulated Annealing
ϵM s exp ∑ |
解决了求 MRF 中概率分布的难题 ,把对 MRF 的研究转化为对势函数 Uc(x)的研究 ,建立了 Gibbs 分布与 能量函数的等价关系 ,是研究邻域系统的一个重要里程碑 [6]。 权重的引入将分割结果分为 3 类 : 如果标号场占主导地位 , 即注重区域的局部属性 , 那么特征场的参数 估计可能偏离特征数据 , 分割结果区域的一致性属性表现很差 ;如果特征场模型占主导地位 , 即注重区域的 一致属性 , 那么分割结果中区域的边缘局部属性表现很差 ;如果二者同等对待 , 那么可能参数估计是局部最 优解而不是全局最优解 , 同样造成分割结果的不准确。因此如何处理好这两个分量之间的关系 , 对分割结果 产生决定性的影响。 优化算法中存在着三个主要的问题 :问题的表述、目标函数、最优化算法。问题的表示包含了两个方面 : 描述和形式化计算。前者的重点在于如何表述图像的特征，主要使用的几何学与图论的方法等。后者主要 关注如何表述解决方案，和标号问题中的元素集合与标号集合的选择有关。而目标函数必须考虑到如何形 式化地表示，目标函数将解决方案映射到实际计算空间，并且可以衡量解决方案的质量，或者损益。这个 形式化表述决定了变量如何相互约束，例如像素的亮度属性如何跟相邻像素有关等等。目标函数的最优解 就是优化问题中的最佳解决方案。 第三个问题是如何解目标函数，在这个过程中必须要考虑到局部最小值对结果的影响与算法的效率。 到目前为止，还没有兼顾全局最优解与效率的算法。上述三个问题是相互作用的，问题的描述会对目标函 数的表达与计算造成直接的影响，而构造一个合适的目标函数对全局最优解的获取也有着重要的意义。 在能量模型中对特征场模型和标记场模型前加以尺度间变化的权重 , 分析变权重的意义 , 实现了变权重 小波域多尺度 MRF 的图像分割 ,将其结果和固定势函数下的分割结果进行对比 ,得出变权重思想减弱了分割 过程对势函数取值的依赖的结论。由于成像系统的不确定性，图像分割本身又有不确定性，因此在图像处 理中如何利用先验知识来解决图像分割的不适定性，是获取最佳分割结果的必要前提。 目标函数的形式化，我们可以用概率的知识和信息论来解决成像系统中的不确定性。例如我们面对有 关数据的一些分布知道，但是先验信息不确定的情况下，我们可以使用最大似然准则 (ML)。
2
用 MRF 描述图像模型
在 Markov 随机场中常用 2 个随机场来描述待分割的图像： (1) 标记场，用来标记图像像素，通常采用 Ising 模型、 FGMM 模型 [3]、 GMRF 模型 [4]、多尺度随机场
模型 (MSRF)等； (2) 特征场，主要用来拟合原始的观测数据，尽可能准确反映每一个像素空间的特征信息 ,常用的模型 包括有限正态混合模型 (FGMM)、高斯混合模型 (GMRF)等。 图像分割的过程就是估计标号的过程 , 其本质就是如何处理区域的标号分量和区域的一致性属性这两 个分量之间的关系 , 由 Bayes 定理可知 , 二者的相互作用可以通过两个概率分布的积来体现 , 因此所有的算 法就是如何处理这两个分量的权重。 Besag 于 1974 年指出了 MRF 中求联合概率方法的和条件概率方法的优缺点。 也就是为什么大多数 MRF 没有直接解的原因。直到 Hammersley 和 Clifford 于 1971 年证明了 MRF 和 Gibbs 随机场的等价性 [5]，这为 解 MRF 中的联合概率提供了一种特别的方法。 对于满足 Markov 随机场 D 的每一个图像点标记 f， Gibbs 的分布形式为：
1
相关研究
在如何描述目标像素点与其邻域内其它像素点的关系时，马尔科夫随机场能够很好的将其表达，因此
其获得了广泛的关注和应用。 随机场可以看成是一组随机变量的集 Markov 随机场是由 S. Geman 和 D. Geman 在 1984 年提出来的 [1]。 合，这组随机变量对应同一个样本空间。在 MRF 中 , 常用两个随机场来描述待分割的图像 , 一个是标号场 ,
基金项目: 河南省科技厅基础与前沿项目(142300410306),信阳师范学院青年骨干教师资助计划资助 作者简介: 杨玚( 1981), 女, 讲师, 硕士, 毕业于信阳师范学院, 主要研究方向: 图像分割
杨玚等：基于马尔科夫随机场与模拟退火算法的图像分割
常称为隐随机场 , 用先验分布描述标号场的局部相关性。另一个是灰度场或特征场 , 常以标号场为条件 , 用 分布函数描述观测数据或特征向量的分布。马尔科夫随机场模型本身并不具备分割能力，它不是一种分割 方法，但可以将其作为先验模型嵌入某种特定的分割算法中，从而使分割结果受到影响。
不同的领域结构，当子集 c S 中的每对不同位置总是相邻时，称 c 是一个基团。基团是某一像素点的位置与 它邻域某些其他像素点位置相组成而成的集合。随着邻域系统阶数增加，基团的数量会明显增加，这就导致 计算复杂度随之增加。基团的选取对图像的局域性质产生重要的影响, 是构成马尔可夫先验模型的重要环节。 用基团的势能 (potential energy)可以表示相邻位置上灰度之间的局部相互作用。设有一个基团 C，对应 的势能为 Uc，其值由该势团像素分量的灰度值决定。因此，图像的总能量可以定义为所有基团的势能量函 数值的总和。