决策理论与方法第三章效用函数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设决策系统的自然状态集Θ={1,…, n}、行动集 A={a1, …,am}、后果集C={cij=c(ai,j)}，最优后果为
c*=max {cij}，最劣后果为c0=min {cij}。则对于任意 后果cij的效用值u(cij)，可按以下步骤获得： ◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0； ◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p可调 ◦ 反复向决策人提问，改变可调概率p，使得当p=pij
2020/6/2
◦ 复合展望：当无法确定采取某个行动时， 可随机选择一种行动，设选择行动aj的概率 为qj。则决策的展望就是一种复合展望，记 为P=<q1, P1; q2, P2;…;qm,Pm>。所有展望（ 包括简单展望和复合展望）构成展望空间 。
2020/6/2
抽奖(lottery)与确定当量
若 (
;
)
则称 确定性后果 为抽奖的确定当量
效用的定义
◦ 若展望空间上的实值函数u对于展望空间P
的任意两个展望P1、P2，有P1≥P2 当且仅当
u(P1)≥u(P2)，则称u为效用函数
三、效用存在性公理（理性行为公理）
◦ 连通性：任意两个展望的优劣都是可比的 ◦ 传递性：展望的优劣满足传递性 ◦ 复合保序性：展望的优劣关系是可以复合的，
2020/6/2
*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所 处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态 有关。
* 除风险偏好之外，还有时间偏好。
而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli 在1738年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的 决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态 ，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对 各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
◦ 则效用函数u（P）为（基数）效用函数
2020/6/2
四、效用函数—基数性和序数性
前述定义的效用是一种基数效用，不仅能够反映决 策者的偏好次序，还能够反映决策者的偏好强度。
但在实际决策中，有时只需要偏好次序而不一定需 要知道偏好强度就可以决策。此时只需要序数效用 就可以了。有关序数效用的应用在多属性决策中介 绍。
Hicks对效用函数的基数性和序数性的比喻：如果知 道两个人的身高，那么我们可以把高个儿排在第一 位；如果不知道他俩的身高也没关系，让他们比一 下就可以了。
2020/6/2
第二节 效用函数的构造
一、估计效用函数值的方法 概率当量法(Von Neumann, Morgenstern，N-M法)：
时得到如下的无差异关系：cij~<pij,c*;1-pij,c0> ◦ 测得后果cij的效用值为：
202u0/(6c/2ij)=pij*u(c*)+(1-pij)*u(c0)=pij
确定当量法（修正N-M法）： ◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0； ◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p为0-1间的给定值，如 p=0.5 ◦ 反复向决策人提问，改变cij得到如下的无差异关系： cij~<p,c*;1-p,c0> ◦ 测得后果cij的效用值为： u(cij)=p*u(c*)+(1-p)*u(c0)=pij
◦ 对展望空间中的任意展望P1、P2，P1>P2 当且仅 当 u(P1)>u(P2)
◦ u(P1+(1-)P2)= u(P1)+(1-)u(P2) (复合展望的 效用等于展望效用的复合)
◦ 对满足上述条件的实值函数u1, u2, 必有 u1(Pi)=bu2(Pi)+c, 其中b, c∈R1，b>0。（任意两 个决策人的效用是线性相关的）
50万元 250万元 0元
抽奖b1 抽奖b2
0.11 0.89
50万元 0万元
0.10 0.90
决策B
250万元 0元
实际上决策B是在决策A的基础上同时减去了89% 的机会获得50万元，复合保序性没有得到满足
2020/6/2
效用的公理化定义：在上述公理系统中， 若展望空间上存在实值函数u，有：
增益当量法：已知u(cij)和u(c0)，确定u(c*)的方法 损失当量法：已知u(cij)和u(c*)，确定u(c0)的方法
2020/6/2
如何选择估计方法
使用确定当量法时决策人对最优后果（ 增益）的保守性和对损失的冒险性都比 概率当量法严重（Hershey,1982）
采用增益当量法与损失当量法时产生的 误差也比用概率当量法大
决策理论与方法第三章 效用函数
2020年6月2日星期二
例2：
礼品a1
1.0
10万元
抽奖a2
0.5
25万元
0.5
0元
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在各类决策中，常常面临着这种选择：风险小但期望收益也小；期望 收益大但风险也大！不同的决策人有不同的选择，相同的决策人在不 同的情境下选择也不同。那么在决策中如何描述或表达后果对决策人 的实际价值，以便反映决策人心目中对各种后果的偏好次序呢？
尽可能使用概率当量法
二、离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集中元素为有限个 ，构造后果集上的效用函数有两个方面的内容，一 是确定各后果之间的优先顺序，二是确定后果之间 的优先程度。
决策的目标就是使期望效用极大化。
二、效用基本概念及符号 ◦ 严格序>：a>b表示a优于b。满足传递性和非对称性。 ◦ 无差异~：a~b表示a与b无差异。满足自反性、对称性和 传递性。 ◦ 弱序≥：a≥b表示a不劣于b。满足可比性、传递性、与无 差异~的一致性和严格优于的一致性。 ◦ 展望(prospect)（可能的前景）：各种后果(r种)及后果出 现的概率的组合，记为：Pj=<p1(j),c1;p2(j),c2;…;pr(j),cr>， (j=1,2,…,m; m为行动的可能种数)
且复合不会破坏原有的优劣关系 ◦ 偏好的有界性：展望的优劣是相对的，没有无
限优的展望，也不存在无限劣的展望。
理性行为公理认为合乎理性的决策人在进 行价值判断时一定能满足这些公理。（实 际决策中是否存在某种悖论呢？）
2020/6/2
Allais悖论
抽奖a1
1.0
50万元
抽奖a2
0.89 0.10 0.01 决策A
c*=max {cij}，最劣后果为c0=min {cij}。则对于任意 后果cij的效用值u(cij)，可按以下步骤获得： ◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0； ◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p可调 ◦ 反复向决策人提问，改变可调概率p，使得当p=pij
2020/6/2
◦ 复合展望：当无法确定采取某个行动时， 可随机选择一种行动，设选择行动aj的概率 为qj。则决策的展望就是一种复合展望，记 为P=<q1, P1; q2, P2;…;qm,Pm>。所有展望（ 包括简单展望和复合展望）构成展望空间 。
2020/6/2
抽奖(lottery)与确定当量
若 (
;
)
则称 确定性后果 为抽奖的确定当量
效用的定义
◦ 若展望空间上的实值函数u对于展望空间P
的任意两个展望P1、P2，有P1≥P2 当且仅当
u(P1)≥u(P2)，则称u为效用函数
三、效用存在性公理（理性行为公理）
◦ 连通性：任意两个展望的优劣都是可比的 ◦ 传递性：展望的优劣满足传递性 ◦ 复合保序性：展望的优劣关系是可以复合的，
2020/6/2
*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所 处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态 有关。
* 除风险偏好之外，还有时间偏好。
而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli 在1738年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的 决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态 ，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对 各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
◦ 则效用函数u（P）为（基数）效用函数
2020/6/2
四、效用函数—基数性和序数性
前述定义的效用是一种基数效用，不仅能够反映决 策者的偏好次序，还能够反映决策者的偏好强度。
但在实际决策中，有时只需要偏好次序而不一定需 要知道偏好强度就可以决策。此时只需要序数效用 就可以了。有关序数效用的应用在多属性决策中介 绍。
Hicks对效用函数的基数性和序数性的比喻：如果知 道两个人的身高，那么我们可以把高个儿排在第一 位；如果不知道他俩的身高也没关系，让他们比一 下就可以了。
2020/6/2
第二节 效用函数的构造
一、估计效用函数值的方法 概率当量法(Von Neumann, Morgenstern，N-M法)：
时得到如下的无差异关系：cij~<pij,c*;1-pij,c0> ◦ 测得后果cij的效用值为：
202u0/(6c/2ij)=pij*u(c*)+(1-pij)*u(c0)=pij
确定当量法（修正N-M法）： ◦ 设u(c*)=1, u(c0)=0； ◦ 建立简单展望<p,c*;1-p,c0>，p为0-1间的给定值，如 p=0.5 ◦ 反复向决策人提问，改变cij得到如下的无差异关系： cij~<p,c*;1-p,c0> ◦ 测得后果cij的效用值为： u(cij)=p*u(c*)+(1-p)*u(c0)=pij
◦ 对展望空间中的任意展望P1、P2，P1>P2 当且仅 当 u(P1)>u(P2)
◦ u(P1+(1-)P2)= u(P1)+(1-)u(P2) (复合展望的 效用等于展望效用的复合)
◦ 对满足上述条件的实值函数u1, u2, 必有 u1(Pi)=bu2(Pi)+c, 其中b, c∈R1，b>0。（任意两 个决策人的效用是线性相关的）
50万元 250万元 0元
抽奖b1 抽奖b2
0.11 0.89
50万元 0万元
0.10 0.90
决策B
250万元 0元
实际上决策B是在决策A的基础上同时减去了89% 的机会获得50万元，复合保序性没有得到满足
2020/6/2
效用的公理化定义：在上述公理系统中， 若展望空间上存在实值函数u，有：
增益当量法：已知u(cij)和u(c0)，确定u(c*)的方法 损失当量法：已知u(cij)和u(c*)，确定u(c0)的方法
2020/6/2
如何选择估计方法
使用确定当量法时决策人对最优后果（ 增益）的保守性和对损失的冒险性都比 概率当量法严重（Hershey,1982）
采用增益当量法与损失当量法时产生的 误差也比用概率当量法大
决策理论与方法第三章 效用函数
2020年6月2日星期二
例2：
礼品a1
1.0
10万元
抽奖a2
0.5
25万元
0.5
0元
ຫໍສະໝຸດ Baidu
在各类决策中，常常面临着这种选择：风险小但期望收益也小；期望 收益大但风险也大！不同的决策人有不同的选择，相同的决策人在不 同的情境下选择也不同。那么在决策中如何描述或表达后果对决策人 的实际价值，以便反映决策人心目中对各种后果的偏好次序呢？
尽可能使用概率当量法
二、离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集中元素为有限个 ，构造后果集上的效用函数有两个方面的内容，一 是确定各后果之间的优先顺序，二是确定后果之间 的优先程度。
决策的目标就是使期望效用极大化。
二、效用基本概念及符号 ◦ 严格序>：a>b表示a优于b。满足传递性和非对称性。 ◦ 无差异~：a~b表示a与b无差异。满足自反性、对称性和 传递性。 ◦ 弱序≥：a≥b表示a不劣于b。满足可比性、传递性、与无 差异~的一致性和严格优于的一致性。 ◦ 展望(prospect)（可能的前景）：各种后果(r种)及后果出 现的概率的组合，记为：Pj=<p1(j),c1;p2(j),c2;…;pr(j),cr>， (j=1,2,…,m; m为行动的可能种数)
且复合不会破坏原有的优劣关系 ◦ 偏好的有界性：展望的优劣是相对的，没有无
限优的展望，也不存在无限劣的展望。
理性行为公理认为合乎理性的决策人在进 行价值判断时一定能满足这些公理。（实 际决策中是否存在某种悖论呢？）
2020/6/2
Allais悖论
抽奖a1
1.0
50万元
抽奖a2
0.89 0.10 0.01 决策A