基于任意小波的提升格式的设计
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图" 离散小波变换的基本单元
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基于任意小波的提升格式的设计
李洪刚 吴乐南
（东南大学无线电工程系，南京 $"%%CD）
摘要：在 /E=:?=>F 等人提出的提升格式 （ :<G7<>H F;I=J=） 基础上， 利用小波消失矩与其对应的滤 波器在 ! K " 处零点阶数的关系， 提出了一种新颖的提升系数设计方法 L 它克服了过去的提升 格式设计方法只能设计基于 -6MB N6O=:=7 的插值小波的缺陷， 通过求解一组简单的线性方程组 来设计基于任意双正交小波的提升系数， 从而实现了根据具体要求动态地、 迭代地设计小波的 目的 L 为了便于算法的工程实现， 本文根据最佳提升格式的惟一性， 提出并论证了一种最佳提 升系数的迭代设计算法 L 此外， 上述 $ 种算法均可以用于设计对称和非对称的小波 L 关键词：双正交小波；提升格式；第 $ 代小波；完全可恢复 中图分类号：0+C""AD 文献标识码：, 文章编号："%%" P %Q%Q （$%%"） %#R%%$$R%Q
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反过来， 当. （ "） 满足式 （/） 的条件时， 它所对应得到的滤波器 ! （ " ） 具有 #$ 阶消失矩 ( 因此式 （/） 提供了设计提升系数的依据 ( 如何选择多项式 （ "） 使得式 （/） 成立呢？ 设（ "） 为 0 次的多项式， 故它可 以在 " % & 处具有惟一的 0+123- 展开式 0 （ " ）% 1 ) & 1（ （ " ) &） & " ) &）& … & 10
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小波分析以其独特的时频局部化特性， 在信号的表示和分析等领域都有着广泛的应用 L 作为小波研究 领域中的一个重要课题— — —小波， 尤其是具有紧支集的正交小波的构造， 对于小波的应用有着深刻的影
［" V !］ 响 L 最近， — —提升格式 （ :<G7<>H F;I=J=） /E=:?=>F 和 T68U=;I<=F 等人提出了一种第 $ 代小波的构造方法— L ［#］ 与传统的 W6::67 构造方法 相比， 提升格式完全是基于时 （空） 域的构造方法， 它不依赖于平移和伸缩的概
第 !" 卷第 # 期 4@:A!" +@A# 东 南 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ） $%%" 年 & 月 ’8:B $%%" （ +67896: /;<=>;= 2?<7<@>） ’()*+,- (. /()012,/0 )+342*/305 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
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这将 计相应的提升格式， 使用起来说很不方便 ( 如何将这种设计算法推广到对于任意给定的双正交小波，
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提升格式的设计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为了设计提升和对偶提升过程， ［%， -#"./"!0 在文献 ,］中 给出了构造性的设计算法并给出了分离 预测 修正形式的小 波变换 结 构， 如 图 = 所 示 ( 然 而 这 种 算 法 只 是 针 对 于 &’9: 而且这只能设计一级对偶提升 （预测）和提升 （修 ;’<"."* 的， 正） 过程 ( 显然， 这种方法不能设计出所有具有 678 结构的小 波， 而且一旦要求发生变化， 必须重新从 &’9: ;’<"."* 开始设 是本文下面的任务 ( 在介绍设计思想之前， 需要强调的是小波的消失矩往往与其对应 678 滤波器的消失矩相同， 而后者又 （ "） 在 " # % 处有 ) 阶零点 等于其对应的 &’()"!* 多项式在 " # % 处零点的阶数相同 ( 而 &’()"!* 多项式 ! ) ) 意味着 ! （ "） 可以分解为 （ " ’ %） 与某个 &’()"!* 多项式的乘积， 即! （ " ）#（ " ’ %） （ ， 且有 （ * "） * %） # >( 这就表明可以通过 &’()"!* 多项式在 " # % 处零点的阶数来反映对应小波的消失矩， 这对于提升格式的设 计非常重要 ( ! ! $ 假设双正交小波 （ %， ， 其小波及其对偶分别具有 + 和 因此有 &’()"!* 多项式 ! （ "） !， %， !） + 阶消失矩， 和! （ "） 在 " # % 处分别具有 + 阶和$ 即 ! + 阶零点， + （ " ）#（ " ’ %）* （ "） !
念， 也不需要频谱分析工具， 因此适用于有限区域、 曲面上以及非均匀采样等领域中小波的构造 L 它的基本 思想是建立在双正交小波和完全可恢复滤波器组的理论基础上， 在保持小波双正交特性的条件下， 通过所 谓提升和对偶提升过程， 来改善小波及其对偶的性能， 以满足各种应用的需要 L /E=:?=>F 和 T68U=;I<=F 还进 ［Q］ 一步给出了提升格式与第 " 代小波变换之间的关系 ， 从而利用提升格式实现更快速的小波变换 L 如何用 设计提升和对偶提升过程来达到我们的目标， 具体地说， 如何提高小波的消失矩和对偶消失矩， 使小波具 有更好的振荡性， 本文在 /E=:?=>F 的提升格式设计思想基础上， 提出了一种基于任意双正交小波而非仅针 对 -6MB N6O=:=7 的提升及对偶提升系数的设计方法， 在此方法基础上证明了最佳提升格式的惟一性， 而且 给出了设计最佳提升格式的迭代算法 L
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提升格式
自从引入多尺度分析和提出 W6::67 算法以来， 传统
的双正交小波变换都可以通过滤波器组结构来实现 " 它的每个变换单元可以如图 " 所示 " 图中! （ 低通滤波 # 器） 和! （高通滤波器） 构成了一组分析滤波器， 而#和 $ ! ! $ 构成了一组合成滤波器 " 这里主要讨论 # ， $， #， $为
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也构成一组双正交小波变换 " 这个过程就称为提升 （ :<G7<>H） "
收稿日期：$%%%R"$R"# L 作者简介：李洪刚，男，"C&# 年生，博士研究生 L 万方数据 基金项目：国家自然科学基金资助项目（D%%%$%%S） L
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东南大学学报 （自然科学版） （ " ）# ! （ " ）$ % （ "） （ ! !"# & " $） ! （ " ）# ! （ " ）’ ! （ "） （ % !"# % ! & " ’ $）
第%期
李洪刚等： 基于任意小波的提升格式的设计
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