方阵最小多项式的性质探究

方阵最小多项式的性质探究
摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用 关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式
定义1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。

命题1：方阵的零化多项式是存在的。

证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由2
2,,,,n E A A A 这21n +个向量必定线性相关。

则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a ,使得22010n n a E a A a A +++= ，
作多项式2201()n n f x a a x a x =+++ ,且()0f x ≠，有()0f A =,
即()n M F 中的任意向量A 来说，零化多项式是存在的。

定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。

由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。

只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。

但是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。

命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则
11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。

也就是说可以把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过
n 。

下面介绍几个最小多项式的性质：
命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。

命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x).
命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。

则 11()()()0m B m P AP P m A P --===
由命题4得()n x 整除()m x ，同理可证()m x 整除()n x ，且()m x ，()n x 都是首一的。

所以()()m x n x =。

得证
命题6：设A 是一个分块矩阵，12s A A A A ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，A 的最小多项多等于i A 的最小多项式的最小公倍式，1,2,,i s = 。

证明：设i A 的最小多项式为()i f x ，A 的最小多项式为()f x ,()i f x 的最小公倍式是()g x ,由()i f x 整除()g x 知()0i g A =， 1,2,,i s = 。

故 12()()()0()s g A g A g A g A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
因此 ()f x 整除()g x （可由命题4得）。

又因为 12()()()0()s f A f A f A f A ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因此对于每一个i 有()0i f A = ，即 ()i f x 整除()f x 。

而()g x 是()i f x 的最小公倍式。

故()g x 整除()f x ，综上所得()()f x g x =。

因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即Jordan 标准型，所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。

命题7：方阵A 的最小多项式是A 的最后一个不变因子。

证明此定理前先给出一个引理：k 级若当块11a a J a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 的最小多项式为()k x a -。

证明：J 的特征多项式为()k x a -,而
01010J aE ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，
1000()00100k J aE -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,所以J 的最小多项式为()k x a -。

下面证明命题7：
证明：存在可逆矩阵P ，使 121s J J P AP J -⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中 1,1,2,,1i
i i i i n J i s λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 。

由命题6知，J 的最小多项式为的最小多项式的公倍式，且由引理知i J 的最小多项式为()i n i x λ-，1,2,,i s = 。

从而J 的最小多项式
1212()(),(),,()()s n n n J s A g x x x x g x λλλ⎡⎤=---=⎣⎦
为A 的最小多项式。

由于一个初等因子决定一块Jordan 块，且由初等因子的定义知它是不变因子分解在互不相同的一次因式的方幂。

我们知道
1i i d d +整除，1,2,,i n = 。

因此有()()A n g x d x 整除
， 又由最小公倍式定义得()()n A d x g x 整除，且()n d x 与()A g x 都是首一的。

所以可推得()()n A d x g x =。

命题8：数域P 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件为A 的最小多项式是P 上的互素的一次因式的乘积。

证明参见北大教材P323。

推论：复数域上的矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式无重根。

命题9 :设n 阶矩阵A 的全体实系数我项式所成的线性空间W ，则W 的维数等于A 的最小多项式m(x)的次数k 。

证明：假设()W K <维,则1,,,k E A A - 这k 个矩阵必相关，存在不全为零的数011,,,k l l l - ，使 10110k k l E l A l A --+++= 与()m x 为最小多项式矛盾。

则()W K ≥维 .
下证()W K ≤维,只要证明()m A m k ≥，可由1,,,k E A A - 线性表出即可。

若 ()k m x x =，显然成立。

若 ()k m x x ≠，由代余除法知：存在R[x]上的多项式()P x ，()r x ,使得()()()m x P x m x r x =+，次数()r x k <或者()0r x =。

则
()()()()m A P A m A r A r A =+=，即m A 可由1,,,k E A A - 线性表出。

所以()W K ≤维。

综上所得()W K =维。

命题10：设A 是n 阶方阵，则A 的特征多项式f(x)与A 的最小多项式m(x)的根相同，当A 的特征值互异时，则f(x)=m(x). 证明：一方面，因为()()m x f x 整除故A 的最小多项式()m x 的
根是()f x 的根。

另一方面，
由()()n m x d x =，12()()()()n f x xE A d x d x d x =-= 。

设0x 是()f x 的根，则 0()x x -整除()f x 。

于是必有i ，使 0()x x -整除()i d x 。

又是()i d x 整除()n d x ，故0x 为()m x 的根。

综上所得 ()m x 与()f x 有相同的根。

若12()()()()n f x xE A x x x x x x =-=--- ,其中12,,,n x x x 互不相同，由前面知()m x 与()f x 有相同的根。

知 ()()m x f x =。

命题11 :设A 是n 级矩阵，()f x 是次数大于零的多项式，()m x 是A 的最小多项式：
（1）如果()f x 整除()m x ，那么()f A 退化的。

（2）如果()d x 是()f x 和()m x 的最大公因式，那么()f A 与()d A 的秩相等。

（3）()f A 为非退化的充分必要条件是()m x 和()f x 互素。

证明：（1）假设()f A 退化。

由已知存在()q x （()m x <次q(x)次）,
()()()m x f x q x = 则 ()()()0()()0m A f A q A f A q A === 可逆
与()m x 为最小多项式矛盾。

（2）由已知存在(),u x v x ，使 ()()()()()d x u x f x v x m x =+，
()()()()()()()d A u A f A v A m A u A f A =+=，则≥秩（d(A)）秩（f(A)）
又 ()d x 整除()f x ，则存在 ()P x ，使 ()()()f x d x P x = 即 ()()()f A d A P A = ，则≤秩（d(A)）秩（f(A)） 综上可得=秩（d(A)）秩（f(A)）。

（3）必要性：设 ()((),())d x f x m x =，由（2）知， =秩（d(A)）秩（f(A)）=n ，若()0d x >次，由()d x 整除()m x ，
存在 ()q x ，使()()()m x d x q x =，则由 ()()()0m A d A q A == ()()0d A q A = 可逆，而()q x <次次m(x) 与()m x 为最小多项式矛
盾。

所以((),())1f x m x =。

充分性：((),())1f x m x =，则存在 (),()u x v x 使得 ()()()()1
u x f x v x m x +=，则()u A f A +== 则 ()()u A f A E =，则()f A 非退化。

命题12：非奇异（退化）矩阵A 的最小多项式与1A -的最小多项式之间的关系。

证明：设非奇异矩阵A 的最小多项式为11()m m m f x x a x a -=+++ ，设1A -的最小多项式为11()s s s g x x b x b -=+++ 。

由()f x 为A 的最小多项式得()0f A =，即110m m m A a A a E -+++= ，由Ａ非奇异知0m a ≠，则上式可
化为1111(
())0m m m m m
a a A E A A a a --+++= ，得 1111()0m m m
a E A A a a --+++= 。

令11()m m m a P x x x a a =+++ ，由 1()0P A -=，则()g x P 整除（X ）
， 知 ()g x P ≤次次（X ）
，即 ≤s m 。

由1()0g A -=，即 1111()()0s s s A b A b E ---+++= ，两边同时乘
s A ，得10s s E b A b A +++= ，由 0s b ≠ 得
11110s s s s s s
b b E A A A b b b --++++= ，则 ()f x 整除 1111s s s s s s
b b x x x b b b --++++ ，知 ()f x s ≤次，即m s ≤ 综上所述 m s =。

又()P x 与()g x 都是首一多项式且()g x 整除 ()P x ，所以()()P x g x =。

所以1
A -的最小多项式为11()m m m a P x x x a a =+++ 由观察知 ()f x 的系数倒过来排再同除以常数项即为()g x 。

同理可推知，*A 的最小多项式为：
11
11()()()m m m m m m m m A a A a A h x x x x a a a ---=++++ 。

二、几个简单应用。