第六章测量误差理论

(vi/n)/3
2
差
分
布
曲 线


△
f
1
e
2 2 2
2
6.3 衡量精度指标
精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度。
1、中误差: 有限几次观测求得的标准差
m ˆ 12 22 ... 2n []
n
n
在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都 称为同精度的观测值。
d

0.683

2
P 3 3
3
f ()d
1
3
e
2 2 2
d

0.997
P 2 2
3
2
2
f ()d
1
3
2
e
2 2 2
d

0.955
2
2 2
15-18 8 0.037
18-21 21-24 24-27 >27 和
5 0.023 2 0.009 1 0.005 00 108 0.498
负误差
vi vi /n 29 0.134 20 0.092 18 0.083 16 0.073 10 0.046
8 0.037 6 0.028 2 0.009 00 00 109 0.502
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值----- 超限数为零；有限性
ห้องสมุดไป่ตู้2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大
-----小误差大概率：集中性
3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等
-----正负相等；对称性
4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零
----平均理论 。抵偿性
一、观测误差及其产生的原因
- 测量上观测误差如何得到: △ =(D往 D返) –0
△ =(A+B+C) –180 ° △ =(L1+L2+L3+L4) –360°
△ =(hAB+hBA) –0 △ =(h1+h2 + h3+h4) –0
一、观测误差及其产生的原因
2、产生的原因-----观测条件
（1）测量仪器： 仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准测量时,
第六章 测量误差理论
• 6.1 测量误差概述 • 6.2 偶然误差的特性 • 6.3 衡量精度的指标
6.1 测量误差概述
前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器 (经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作， 要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到
的数据不准确，即数据中有误差。
例如：1）高差测量误差 2）角度测量误差 3）距离测量误差
1）、高差测量误差
理论上： h1+h2+h3+h4 =0 实测中：h1+h2+h3+h4 ≠ 0
理论上： hAB+hBA = 0 实测中： hAB+hBA ≠ 0
A B
P1
h1
h4
P2
h2 P4 h3
P3
A L4 D
2）、角度测量误差
L1 B
L2 理论上：∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 =360 L3 C 实测中： ∠L1+∠L2+∠L3+∠L4 ≠360
总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测， 发现粗差，将其剔除或重测。
通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的 粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以 忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计 方法求得观测值的最可靠值。
6.2 偶然误差特性
6.2 偶然误差的特性
即大于2倍中误差的真误差，出现的可能性为5% 即大于3倍中误差的真误差，出现的可能性为0.3%
通常取标准差 的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。
实际中常用中误差代替标准差。即
V允＝2m
3、相对误差
通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。 相对中误差，相对真误差和相对极限误差。
s S

【例】在相同的观测条件下，观测了217个三角形的全部内 角。
Ａｉ
Ｂｉ
Ｃｉ
三角形内角和真误差:△ｉ＝ ∠Aｉ+∠Bｉ+∠Cｉ-180

i=1,2,3 …..217
误 差 正误差
区间
(″) vi vi /n
0-3 30 0.138 3-6 21 0.097 6-9 15 0.069
9-12 14 0.065 12-15 12 0.055
总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数 理统计理论处理，可以求得参数的最佳估值.
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗 差。 3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误 差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。 例如：已知点有误，往返高差相差悬殊，
A
理论上：∠A+∠B+∠C=180
实测中：A+∠B+∠C≠180
B
C
3）、距离测量误差
D往
A
D返
= B 理论上： D往 D返 ≠ 实测中： D往 D返
测量上一般要求: D往- D返/D<=1/K
(K=2000,4000,…..), 测量成果才合格.
一、观测误差产生的原因
观测者 测量仪器 外界观测条件
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测， 若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规 律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。 例如：2）、水准仪I角对测量高差的影响
水准仪I角对测量高差的影响---系统误差
在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观 测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性， 或为一常数，这种误差就称为系统误差。
例如：1）、钢尺量距，钢尺的名义长度为30m，而鉴定后的实 际长度为30.006m,测量时,每量一个整尺,就比实际 长度小0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度 成正比, 而且正负号始终一致. 系统误差
a1
视准轴
a
水i准管轴
b1 i
b B
A
SA
SB
hAB

(a1 b1)
i

S A

SB
SA=SB时，△hAB=0
总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对 观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消 或消弱.
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。
2.偶然误差： 在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若 各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该 误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定 的统计规律，这种误差就称为偶然误差。
1 K
ms 1 SK
例:测量两条直线，一条100m，另一条50m， 其中误差均为10mm试问两条直线的观测精
度相同吗？哪条直线的观测精度高？
精度不相同 100m的直线的观测精度高
例如： 1)、距离测量
Δ
D
9.5
0
10
o
•
• •
••
•
•
N
12 345 67
9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6
0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
例如: 2）、 读数误差(水准测量)
1.5
1.6 1.7
1591 中丝读数： 1592
1593
例如: 3）、 照准误差 例如: 4）、 整平误差
例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四 等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得 闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观 测精度高？
精度相同
2、容许误差（限差）
P

f ()d
1

e
2 2 2
水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等. （2）观测者：
人的感官上的局限性、操作技能、工作态度； 仪器的安置\瞄准\读数 （3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、 日照、湿度、气压、大气折光等。
仪器、人和环境，总称为观测条件。
一、观测误差及其产生的原因
2、 产生的原因-----观测条件 观测成果的精确度称为“精度”。
lim 0
n n
其中
n
1 2 n i
i 1
(vi/n) 每一误差区间上方的长方形面积，
直
代表误差出现在该区间的相对个
方
数
图
△
- 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
误
1
如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相 同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风 力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。
在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的 因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的， 故称此时的测量为同精度观测或等精度观测。
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差：
二、观测误差的种类
系统误差 偶然误差 粗 差
一、观测误差及其产生的原因
1、观测误差：指被观测值(或其函数)与未知量的真 实值(或函数的理论值)间的差值。
观测误差=观测值-真值
一般用符号△表示。即：△= L观– L理 =L-X
✓真值：代表观测值L 真正大小的数值，用 X 表示。
✓真误差: 观测值L 与 真值X 之间的差值，用 △ 表示。 △=L–X
合计
vi vI /n 59 0.272 41 0.189 33 0.152 30 0.138 22 0.101
16 0.074 11 0.051 4 0.018 1 0.005 00 217 1.000
6.2 偶然误差的特性
通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测
次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：