疲劳与断裂力学 第4章 结构疲劳分析基础
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若能再补充K，K和Kt间一个关系，即求解、。
2、线性理论 （平面应变）
应变集中的不变性假设： K=/e=Kt
B SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
应变集中的 不变性
S-e 曲线
已知 S 或e
应力 应变 关系
求e 或S
=Kte
s
A
C
0 Ke t
SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
一、缺口应变分析
1、缺口应力集中系数和应变集中系数
已知缺口名义应力S；名义应变e则由应力-应变方程给出。 设缺口局部应力为，局部应变为； 若 ＜ys, 属弹性阶段，则有： =KtS =Kte
若 ＞ys, 不可用Kt描述。 重新定义： 应力集中系数：K=/S；应变集中系数：K=/e 则有： KS； Ke。
其中，a对应于材料S-N曲线中的应力；而Sa对应于构件中 的S-N曲线中的应力。如载荷的平均应力不为零，则还需进 行平均应力修正。
例题一：如图所示一变截面杆，D=39mm，d=30mm，r=3mm。 材料为40CrNiMoA，强度极限b=1100MPa，受到交变载荷的 作用，Pmax=400kN，Pmin=-100kN，试估算其疲劳寿命。 解：（1）名义应力 4 Pmax S max 566 MPa 2 d
疲劳缺口系数Kf 结构构件中缺口引起的应力集中造成的对疲劳强度 的影响系数
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Kf
光滑试样疲劳强度 缺口试样疲劳强度
影响因素： 理论应力集中系数Kt 材料特性 表面状态 载荷特性 。。。。。。
疲劳实验测定
SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
B
D
S-e 曲线 Neuber
双曲线
s
A
C
得到双曲线： =Kt2eS
已知S 或e 求S 或e
0 Ke t
缺口局部应力-应变
应力-应变 关系
Neuber双曲线 应力-应变关系
联立求解 和
图中，Neuber双曲线与材料-曲线的交点D，就是 Neuber理论的解答，比线性解答保守。
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最后，有Miner疲劳损伤累积理论可得：
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D Di ni / Ni
进而可得疲劳寿命Cp为：
Cp
1
i 1
Di
8
36.13
第二节 基于应变的结构疲劳分析方法
名义应力法估算结构疲劳寿命的步骤：
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结构的有 限元分析 确定结构 危险部位 载荷谱
材料的 S-N曲线 危险部位 的名义应 力谱 疲劳损伤 累积理论 危险部位 疲劳寿命
利用名义应力法计算疲劳寿命时需要各种Kt下材料的S-N曲线
名义应力法估算构件疲劳寿命的两种做法：
当D/W=0.16时，查图可得：
Kt=2.6
（3） 插值求出Kt=2.6时的S-N曲线
由前表所示的不同应力集中系数和不同平均应力下 的S-N曲线结果插值得到Kt=2.6时的S-N曲线，见下图：
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（4） 疲劳寿命估算
插值求出各级载荷下的疲劳寿命Ni ，然后计算该级 载荷造成的疲劳损伤Di=ni/Ni：
结构寿命
利用局部应力应变法计算疲劳寿命时一般需要采用弹塑性有 限元方法或其他方法计算局部弹塑性应力应变历程
3、所需材料性能数据 循环-曲线和-N曲线 4、基本假设的讨论
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(a) 大载荷，严重进入塑性；
(b) 小载荷，基本弹性
5、缺口弹塑性应力应变的Neuber解和有限元解的比较 例题：一中心圆孔薄板，孔径D=10mm, 板宽W=50mm, 材 料为2124-T851铝合金，材料的循环应力应变曲线如图。当 名义应力S从0加载到329MPa时，分别用Neuber法和有限元 方法计算缺口根部的最大应力max和最大应变max的变化。
1.8
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轴向和弯曲载荷
1.8
扭转载荷
2、Neuber定义
q 1
1 aN r
其中，r是缺口根部半径；aN是与晶粒大小有关的材料常 数。
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铝合金材料的aN和Su的关系曲线
二、名义应力法
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由缺口敏感系数q的定义式可得
K f 1 ( Kt 1)q
可见，由q和Kt可以求出Kf。
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q的几种典型计算公式：
1、Peterson定义
1 q ap 1 r
其中，r是缺口根部半径；ap是与晶粒大小和载荷有关的 材料常数，表示损伤发生的临界距离（距缺口根部）
再由应力-应变关系 =/E+(/K)1/n 计算局部应力。
缺口局部应力-应变
图中C点即线性理论给出的解。
3、Neuber理论 (平面应力)
如带缺口薄板拉伸。 假定： KK=Kt2 二端同乘eS，有： (Ke)(KS)=(KtS)(Kte)
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可假定拉杆的尺寸效应系数、表面质量系数为1，而 其受载方式与试验载荷一致，则CL=1。由此可由材料的 S-N曲线得到Kt=1.77，Sm=0时拉杆的S-N曲线。进一步得 到Kt=1.77，Sm=212.5MPa时拉杆的S-N曲线，见下图：
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（5） 疲劳寿命
2) Neuber理论
有Neuber双曲线: =Kt2eS =9×0.01×600=54 和应力-应变曲线： =/60000+(/2000)8 联立得到： /60000/2000854/ 可解出： =1245 Mpa； 且有： =54/=0.043 线性理论结果：=0.03，=1138 MPa 可见，Neuber理论估计的,大于线性理论，是偏于 保守的，工程中常用。 修正Neuber理论：以疲劳缺口系数Kf替代理论应力集中 系数Kt，即 =Kf2eS
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解：（1）S-N曲线
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（2） 理论应力集中系数Kt
中心孔板基于净面积的理论应力集中系数Kt 可由下 图查得。
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例题：已知 E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; 若缺口名义 应力S=600MPa, Kt=3，求缺口局部应力 、应变 。
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解：已知 S=600MPa, 由应力-应变曲线： e=S/60000+(S/2000)1/0.125 求得名义应变为： e=0.01+0.380.01 1) 线性理论 有: =Kte=3×0.01=0.03 由应力-应变曲线： =0.03=/60000+(/2000)8 可解出: =1138 MPa
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解： 1) 修正Neuber方法
首先计算缺口的理论应力集中系数Kt，有: Kt=2.518 再由Peterson公式计算疲劳缺口系数Kf，有: Kf=2.348 最后由修正的Neuber公式计算缺口根部的最大应力 和最大应变。 2) 有限元方法
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第四章 结构疲劳分析基础
结构疲劳分析
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材料疲劳性能
循环载荷下结构响应
缺口应力集中 构件尺寸 表面状态 外加载荷形式
疲劳累积损伤 法则
疲劳寿命
第一节 基于应力的结构疲劳分析方法 一、缺口效应
S min 4 Pmin 141MPa 2 d
SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
1 S a S max S min 353 .5MPa 2 1 S m S max S min 212 .5MPa 2
（2） S-N曲线
40CrNiMoA钢的S-N曲线如下图所示。
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ຫໍສະໝຸດ Baidu 二、局部应力应变法
SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
1、基本假设 “若同种材料制成的构件在缺口根部承 受与光滑件相同的应力应变历程，则它 们的疲劳寿命相同”。 缺口根部材料元在局部应力或应变循环下的寿命， 可由承受同样载荷历程的光滑件预测。 问题成为：已知缺口名义应力S,e和弹性应力集中系数 Kt；如何求缺口局部应力， ?
耗时耗材
缺口对S-N曲线的影响
缺口敏感系数q
q
K f 1 Kt 1
q的取值介于0到1之间，即：
0 q 1
如q=0，则：
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Kf 0
如q=1，则：
无缺口效应
K f Kt
则有：
对缺口非常敏感
1 K f Kt
缺口大小和应力梯度对Kf的影响
名义应力法是最早形成的抗疲劳设计方法，它以材料或 零件的S-N曲线为基础，对照结构疲劳危险部位的应力集中 系数和名义应力，结合疲劳损伤累积理论，校核疲劳强度或 计算疲劳寿命。 基本假设
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对于相同材料制成的任意构件，只要应力集中系数KT相 同，载荷谱相同，则它们的疲劳寿命相同。
直接按构件的名义应力和相应的S-N曲线估算该构件的 疲劳寿命； 对材料的S-N曲线进行修改，得到构件的S-N曲线，然 后估算其疲劳寿命。
材料S-N曲线的修正
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Sa
a
Kf
CL
疲劳缺口系数Kf 尺寸系数 表面质量系数 加载方式系数CL
局部应力应变法考虑了塑性应变和加载顺序的影响
2、分析步骤
局部应力应力法估算结构疲劳寿命的步骤： 载荷谱 循环 -曲线 危险部 位名义 应力谱 结构几 何尺寸 损伤累积 理论 累积损伤
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-N曲线
危险点局 部应力应 变谱
结构应力 分析 （有限元）
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高、低强度钢的缺口敏感系数曲线
对高强度钢（Su>560MPa）
2079 a p (mm) 0.0254 S (MP a) u
2079 a p (mm) 0.01524 S (MP a) u
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R=-1
（3） 理论应力集中系数Kt
构件的理论应力集中系数可以查相关手册或利用有 限元方法进行计算。本例可见下图：
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因为D/d=1.3，2r/d=0.2，查图可得：
Kt=1.77
（4） 拉杆的S-N曲线
可由Kt=1.77，Sm=212.5MPa时拉杆的S-N曲线，查 取得到疲劳寿命为：
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N=2.34×105
例 题 二 ： 如 图 所 示 一 含 中 心 孔 的 LY12-CZ 铝 合 金 板 ， 板 宽 W=50mm，孔直径D=8mm。名义应力谱见下表，试求其疲劳 寿命。
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峰值应力相同 材料损伤相同
平均应力水平较高 Kf较大
平均应力水平较低 Kf较小
材料极限强度对Kf的影响
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缺口相同 峰值应力相同
低强度钢损伤区大 平均应力水平较低 Kf较小
高强度钢损伤区小 平均应力水平较高 Kf较大
2、线性理论 （平面应变）
应变集中的不变性假设： K=/e=Kt
B SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY
应变集中的 不变性
S-e 曲线
已知 S 或e
应力 应变 关系
求e 或S
=Kte
s
A
C
0 Ke t
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一、缺口应变分析
1、缺口应力集中系数和应变集中系数
已知缺口名义应力S；名义应变e则由应力-应变方程给出。 设缺口局部应力为，局部应变为； 若 ＜ys, 属弹性阶段，则有： =KtS =Kte
若 ＞ys, 不可用Kt描述。 重新定义： 应力集中系数：K=/S；应变集中系数：K=/e 则有： KS； Ke。
其中，a对应于材料S-N曲线中的应力；而Sa对应于构件中 的S-N曲线中的应力。如载荷的平均应力不为零，则还需进 行平均应力修正。
例题一：如图所示一变截面杆，D=39mm，d=30mm，r=3mm。 材料为40CrNiMoA，强度极限b=1100MPa，受到交变载荷的 作用，Pmax=400kN，Pmin=-100kN，试估算其疲劳寿命。 解：（1）名义应力 4 Pmax S max 566 MPa 2 d
疲劳缺口系数Kf 结构构件中缺口引起的应力集中造成的对疲劳强度 的影响系数
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Kf
光滑试样疲劳强度 缺口试样疲劳强度
影响因素： 理论应力集中系数Kt 材料特性 表面状态 载荷特性 。。。。。。
疲劳实验测定
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B
D
S-e 曲线 Neuber
双曲线
s
A
C
得到双曲线： =Kt2eS
已知S 或e 求S 或e
0 Ke t
缺口局部应力-应变
应力-应变 关系
Neuber双曲线 应力-应变关系
联立求解 和
图中，Neuber双曲线与材料-曲线的交点D，就是 Neuber理论的解答，比线性解答保守。
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最后，有Miner疲劳损伤累积理论可得：
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D Di ni / Ni
进而可得疲劳寿命Cp为：
Cp
1
i 1
Di
8
36.13
第二节 基于应变的结构疲劳分析方法
名义应力法估算结构疲劳寿命的步骤：
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结构的有 限元分析 确定结构 危险部位 载荷谱
材料的 S-N曲线 危险部位 的名义应 力谱 疲劳损伤 累积理论 危险部位 疲劳寿命
利用名义应力法计算疲劳寿命时需要各种Kt下材料的S-N曲线
名义应力法估算构件疲劳寿命的两种做法：
当D/W=0.16时，查图可得：
Kt=2.6
（3） 插值求出Kt=2.6时的S-N曲线
由前表所示的不同应力集中系数和不同平均应力下 的S-N曲线结果插值得到Kt=2.6时的S-N曲线，见下图：
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（4） 疲劳寿命估算
插值求出各级载荷下的疲劳寿命Ni ，然后计算该级 载荷造成的疲劳损伤Di=ni/Ni：
结构寿命
利用局部应力应变法计算疲劳寿命时一般需要采用弹塑性有 限元方法或其他方法计算局部弹塑性应力应变历程
3、所需材料性能数据 循环-曲线和-N曲线 4、基本假设的讨论
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(a) 大载荷，严重进入塑性；
(b) 小载荷，基本弹性
5、缺口弹塑性应力应变的Neuber解和有限元解的比较 例题：一中心圆孔薄板，孔径D=10mm, 板宽W=50mm, 材 料为2124-T851铝合金，材料的循环应力应变曲线如图。当 名义应力S从0加载到329MPa时，分别用Neuber法和有限元 方法计算缺口根部的最大应力max和最大应变max的变化。
1.8
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轴向和弯曲载荷
1.8
扭转载荷
2、Neuber定义
q 1
1 aN r
其中，r是缺口根部半径；aN是与晶粒大小有关的材料常 数。
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铝合金材料的aN和Su的关系曲线
二、名义应力法
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由缺口敏感系数q的定义式可得
K f 1 ( Kt 1)q
可见，由q和Kt可以求出Kf。
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q的几种典型计算公式：
1、Peterson定义
1 q ap 1 r
其中，r是缺口根部半径；ap是与晶粒大小和载荷有关的 材料常数，表示损伤发生的临界距离（距缺口根部）
再由应力-应变关系 =/E+(/K)1/n 计算局部应力。
缺口局部应力-应变
图中C点即线性理论给出的解。
3、Neuber理论 (平面应力)
如带缺口薄板拉伸。 假定： KK=Kt2 二端同乘eS，有： (Ke)(KS)=(KtS)(Kte)
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可假定拉杆的尺寸效应系数、表面质量系数为1，而 其受载方式与试验载荷一致，则CL=1。由此可由材料的 S-N曲线得到Kt=1.77，Sm=0时拉杆的S-N曲线。进一步得 到Kt=1.77，Sm=212.5MPa时拉杆的S-N曲线，见下图：
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（5） 疲劳寿命
2) Neuber理论
有Neuber双曲线: =Kt2eS =9×0.01×600=54 和应力-应变曲线： =/60000+(/2000)8 联立得到： /60000/2000854/ 可解出： =1245 Mpa； 且有： =54/=0.043 线性理论结果：=0.03，=1138 MPa 可见，Neuber理论估计的,大于线性理论，是偏于 保守的，工程中常用。 修正Neuber理论：以疲劳缺口系数Kf替代理论应力集中 系数Kt，即 =Kf2eS
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解：（1）S-N曲线
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（2） 理论应力集中系数Kt
中心孔板基于净面积的理论应力集中系数Kt 可由下 图查得。
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例题：已知 E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; 若缺口名义 应力S=600MPa, Kt=3，求缺口局部应力 、应变 。
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解：已知 S=600MPa, 由应力-应变曲线： e=S/60000+(S/2000)1/0.125 求得名义应变为： e=0.01+0.380.01 1) 线性理论 有: =Kte=3×0.01=0.03 由应力-应变曲线： =0.03=/60000+(/2000)8 可解出: =1138 MPa
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解： 1) 修正Neuber方法
首先计算缺口的理论应力集中系数Kt，有: Kt=2.518 再由Peterson公式计算疲劳缺口系数Kf，有: Kf=2.348 最后由修正的Neuber公式计算缺口根部的最大应力 和最大应变。 2) 有限元方法
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第四章 结构疲劳分析基础
结构疲劳分析
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材料疲劳性能
循环载荷下结构响应
缺口应力集中 构件尺寸 表面状态 外加载荷形式
疲劳累积损伤 法则
疲劳寿命
第一节 基于应力的结构疲劳分析方法 一、缺口效应
S min 4 Pmin 141MPa 2 d
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1 S a S max S min 353 .5MPa 2 1 S m S max S min 212 .5MPa 2
（2） S-N曲线
40CrNiMoA钢的S-N曲线如下图所示。
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ຫໍສະໝຸດ Baidu 二、局部应力应变法
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1、基本假设 “若同种材料制成的构件在缺口根部承 受与光滑件相同的应力应变历程，则它 们的疲劳寿命相同”。 缺口根部材料元在局部应力或应变循环下的寿命， 可由承受同样载荷历程的光滑件预测。 问题成为：已知缺口名义应力S,e和弹性应力集中系数 Kt；如何求缺口局部应力， ?
耗时耗材
缺口对S-N曲线的影响
缺口敏感系数q
q
K f 1 Kt 1
q的取值介于0到1之间，即：
0 q 1
如q=0，则：
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Kf 0
如q=1，则：
无缺口效应
K f Kt
则有：
对缺口非常敏感
1 K f Kt
缺口大小和应力梯度对Kf的影响
名义应力法是最早形成的抗疲劳设计方法，它以材料或 零件的S-N曲线为基础，对照结构疲劳危险部位的应力集中 系数和名义应力，结合疲劳损伤累积理论，校核疲劳强度或 计算疲劳寿命。 基本假设
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对于相同材料制成的任意构件，只要应力集中系数KT相 同，载荷谱相同，则它们的疲劳寿命相同。
直接按构件的名义应力和相应的S-N曲线估算该构件的 疲劳寿命； 对材料的S-N曲线进行修改，得到构件的S-N曲线，然 后估算其疲劳寿命。
材料S-N曲线的修正
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Sa
a
Kf
CL
疲劳缺口系数Kf 尺寸系数 表面质量系数 加载方式系数CL
局部应力应变法考虑了塑性应变和加载顺序的影响
2、分析步骤
局部应力应力法估算结构疲劳寿命的步骤： 载荷谱 循环 -曲线 危险部 位名义 应力谱 结构几 何尺寸 损伤累积 理论 累积损伤
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-N曲线
危险点局 部应力应 变谱
结构应力 分析 （有限元）
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高、低强度钢的缺口敏感系数曲线
对高强度钢（Su>560MPa）
2079 a p (mm) 0.0254 S (MP a) u
2079 a p (mm) 0.01524 S (MP a) u
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R=-1
（3） 理论应力集中系数Kt
构件的理论应力集中系数可以查相关手册或利用有 限元方法进行计算。本例可见下图：
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因为D/d=1.3，2r/d=0.2，查图可得：
Kt=1.77
（4） 拉杆的S-N曲线
可由Kt=1.77，Sm=212.5MPa时拉杆的S-N曲线，查 取得到疲劳寿命为：
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N=2.34×105
例 题 二 ： 如 图 所 示 一 含 中 心 孔 的 LY12-CZ 铝 合 金 板 ， 板 宽 W=50mm，孔直径D=8mm。名义应力谱见下表，试求其疲劳 寿命。
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峰值应力相同 材料损伤相同
平均应力水平较高 Kf较大
平均应力水平较低 Kf较小
材料极限强度对Kf的影响
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缺口相同 峰值应力相同
低强度钢损伤区大 平均应力水平较低 Kf较小
高强度钢损伤区小 平均应力水平较高 Kf较大