电磁场理论第二章

0 0 u G G cos G,


G

u

u u u ey ez 在直角坐标系中： grad u ex x y z
引入Hamilton算子： ex e y ez x y z
矢量不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随 意将坐标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢 量是坐标变量的函数）。 6、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间
变化，矢量函数对时间t求偏导数时，可以将它们作
为常矢量提到偏微分符号之外。 例如，在球坐标系中： E Er E E (er Er e E e E ) er e e t t t t t
例2：求函数 u x 2 y 2 z 2 在点 M (1,0,1) 沿方向 的方向导数。 ex e y 2 ez 2
二、矢量函数的散度
（一）矢量场的矢量线（力线）
1、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切
线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度
由附近矢量线的密度来确定。 2、矢量线方程：

0 称为在点M处，矢量场 F 沿 n 方向上的环量面密度。 （场中某点单位面积的环量）
s
2、旋度的定义：
0 矢量旋度的定义式： (rot F ) n lim
rot F
F d

s 0
s
G

M
环量面密度
n0
u

3、旋度在直角坐标系中的表示式
3、梯度的基本运算公式
梯度的运算法则与一般函数求导数的法则类似
C 0
(Cu) Cu
(u v) u v
(uv) uv vu
u 1 ( ) 2 (vu uv) v v
f (u ) f ' (u )u
2 u y x 的等值线方程和梯度。 例1：求一个二维标量场
2、对于标量函数 f (u )与矢量函数 F (u ) 的乘积 fF ，有：
d ( fF ) ( f f )( F F ) fF lim u 0 du u F f F f lim F lim lim f u 0 u u 0 u u 0 u
(uA) u A A u
（四）高斯散度定理
任何一个矢量 F 穿出任意闭合曲面S的通量，总可 的散度在该面所围体积 的积分。 以表示为 F
F ds F d
s

三、矢量函数的旋度
（一）矢量的环量
1、环量的定义：矢量 F ，沿某一闭合曲线（闭合路 径）的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。
距离的变化率。
u(M ) u(M 0 ) u lim M 0 0
z

（函数在M0 点沿 方向的方向导数）
M0

M
0 x
y
2、计算公式
ez
z


M M0
z
x
y
ey
ex
0 x
y
u u u u cos cos cos x y z
矢量线的数目。
• 如果曲面S为闭合曲面，则通过闭合曲面S的总通量为： 0 F ds F n ds s s 0 对于闭合曲面，一般规定面积元的单位法线矢量 n 由面内
指向面外。
ds2
F2
ds1
2
1
M2
M1
F1
F
• 通量可以迭加
n 如果一闭合曲面S上任一点的矢量场为F F F F Fi 1 2 n i 1 则通过S面的矢量场 F 的通量为：
4、旋度与散度的区别
• • 矢量场的旋度为矢量函数； 矢量场的散度为标量函数。 旋度表示场中各点的场与旋涡源的关系。如果在矢量场所 存在的全部空间内，场的旋度处处为0，则这种场不可能有 旋涡源，因而称它为无旋场或保守场。 散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所 存在的全部空间内，场的散度处处为0，则这种场不可能 有通量源，因而称它为管形场（无头无尾）或无源场。 • 旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的变化规律； 散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。
若 若
若 u 0

u 0 u 0
，则u(M ) u(M 0 ) ，说明沿 方向函数是增加的； ，则 u(M ) u(M 0 ) ，说明沿 方向函数是减小的； u ( M ) u ( M ) ，则 0 ，说明沿 方向函数是不变的。
（三）梯度 gradient
沿该曲面周界 的环量 F
F ds F d
s
几种重要的场：
• 保守场（无旋场，位场） A 0 ，则 A 称为无旋场。 定义： • 无源场（管形场） 定义： B 0 ，则 B 称为无源场。 • 调和场
n n n F ds ( Fi ) ds Fi ds i s s i 1 i 1 s i 1
（三）散度 divergence
1、定义：设有矢量场 F ，在场中任一点M作一包围
该点的任意闭合面S，并使S所限定的体积以任意方 F ds 式趋于0。如果极限 lim s 存在，则称此极限 0
d ( fF ) dF df f F du du du
3、对于多变量函数 F (u1 , u2 , u3 ) 和 f (u1 , u2 , u3 )求偏导数：
( fF ) F f f F u1 u1 u1
2 F F u1u2 u2 u1
对于 F ex Fx ey Fy ez Fz
rot F F ex
x
ey
y
ez
z
Fx Fy Fz Fz Fy Fx Fz Fy Fx ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
2
4、对于矢量函数 E( x, y, z) ex Ex ( x, y, z) ey E y ( x, y, z) ez Ez ( x, y, z)
E Ex E y Ez ex ey ez x x x x
5、在圆柱坐标系和球坐标系中，由于一些坐标单位
1、环量面密度： 0，再过M 在矢量场 F 中点M处，任取一个单位矢量 n 0垂直，周界 点作一微小面积元 s ，在M点上 s与 n 0构成右手螺旋关系，当保持 0不变而使 的环绕方向与 n n （即缩至M点），极限： s 0 F d
s 0
lim

（二）矢量场的通量
1、定义：矢量 F 在场中某一曲面S上的面积分，称为
该矢量场通过此曲面的通量。
n0
0 F ds F n ds
s s
F
Fn ds F cos ds
s s

M
ds
矢量线
2、通量的特性：
• 通量的正负与面积元法线矢量方向的选取有关。
第二章 矢量微分场方程的微分形式
§1 矢量函数的偏导数
矢量函数求导数的运算法则，与标量函数求导相类似。
， 1、定义：对于矢量函数 F (u )
dF F F (u u ) F (u ) lim lim du u 0 u u 0 u
常矢量的导数为0，变矢量的一阶导数仍然为矢量。
F线
F d F cos d


F

d
如果某一矢量场的环量不等于0，则场中必有 产生这种场的旋涡源。 如果在一个矢量场中沿任何闭合路径的环量 恒等于0，则在这个场中不可能有旋涡源，这 种类型的场称为保守场或无旋场。
（二）矢量的旋度
称为该标量函数的等值线方程。
•
根据标量场的定义，空间每一点上只对应于一个场
函数的确定值。因此，充满整个标量场所在空间的许
许多多等值面或等值Байду номын сангаас互不相交。或者说，场中的一
个点只能在一个等值面或等值线上。
（二）方向导数
1 、定义：函数 u u ( x, y, z ) 在给定点 M0 上沿某一方向对
定义： A 0 ， A 0 ，则 A 称为调和场。
1. 位置矢量（矢径）r 是一个矢量场，计算穿过一个 球心在坐标原点，半径为a 的球面的 r 的通量；计
。 算 r 2 2. 已知 A ex x e y xy ez yz ，以每边为单位长度的立
5、旋度的基本运算公式
C 0 (CA) C A ( A B) A B (uA) u A A u
（三）斯托克斯定理
矢量 F 的旋度 F 在任意曲面S上的通量，等于
u u u grad u u ex ey ez x y z
2、梯度的性质
• 一个标量函数的梯度为一个矢量函数
• 函数u在给定点沿 方向的方向导数等于u的梯度在
方向上的投影。
0 u (u )
• 标量场中任一点的梯度的方向为过该点等值面的法 线方向 • 梯度的线积分与积分路径无关
若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于0， 则称该区域内的矢量场为无源场。
2、散度在直角坐标系中的表示式
对于一个矢量 F ex Fx ey Fy ez Fz
Fx Fy Fz div F F x y z
3、散度的基本公式
C 0 (CA) C A ( A B) A B
方体为例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐
0 0 通过面积元 ds的通量元 d F n ds F cos ds
一般规定：凹面指向凸面为 n 的正方向。

0
• 通量可以定性地认为是穿过曲面 S 的矢量线总数 （定性概念）。所以 F 可以称为通量面密度矢量， 它的模 F等于在某点与 F 垂直的单位面积上穿过的
§2 梯度、散度与旋度
一、标量函数的梯度 （一）标量场的等值面和等值线
•对于一个标量函数 u u ( x, y, z ) u (r ) ，令：
u ( x, y, z ) C
（C为任意常数）
称为该标量函数的等值面方程。
•对于二维标量函数V V ( x, y) ，则V ( x, y) C
为矢量场 F 在M点的散度。
div F lim
s
F ds
0
• 散度的定义与坐标系的选取无关
在任一点M上：
若 div F 0，则该点有发出通量线的正源； 若 div F 0，则该点有吸收通量线的负源； 若 div F 0，则该点无源。
1、梯度的定义： 给出三个表达式： 方向导数：
u u u u cos cos cos x y z
方向单位矢量： 0 e x cos e y cos ez cos
定义：
u u u G ex ey ez x y z