微积分(二)_6 向量代数与空间解析几何：向量的乘积与平面方程_

1 实例 2 向量积的定义 3 向量积满足的运算律
1
实例
设O
为一根杠杆L 的支点，有一力 F
作用
于这杠杆上 P 点处．力F 与OP 的夹角为 ，力F
对支点O 的力矩是一向量 M ，它的模
| M || OQ || F |
F
| OP || F | sin
O
P
L M 的方向垂直于OP 与F 所决
Q
定的平面, 指向符合右手系
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB、AC、
AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
V 1 (AB, AC, AD) 6
AB { x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 }
AC { x 3 x 1 , y 3 y 1 , z 3 z 1 }
AD { x 4 x 1 , y 4 y 1 , z 4 z 1 }
by bz
ay by
k)
(c x i
cy
j
czk )
ay by
ax bx
cx
az bz
cx
ax bx
az bz
c
y
ax bx
ay by
cz
ay az by bz cy cz
混合积的坐标表达式
3
（混|1合(）a积,向b的,量c )几混|何合| a意积义b的 |及|几c三何|| c向意os量义共|：面(a的,b充,c要) 条(a件 b)
易得
a
b
| b
|
(
a
)
b
a
b
|b |
(
a
)
b
|
a
,
(
b
)
a
|( a
b)
b
a
|a |
.
关于数量积的说明：
(1)
(
a
)
2
a
a
|
a
||
a
|
|
a
|2
.
由此得
|
a
|
a
a
(2)
a
b
.
(
a
0,b
0 )
a
b
0
3 运算律
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律： （2）分配律：
向量的乘积
向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积
向量的乘积
向量的数量积(I)
1 实例 2 数量积的定义 3 数量积满足的运算律
1 实到W例点MM一| 1F2物，||体以s在| scso表常 Fs 示力位FM移作(2其，用中则下力沿为F直F所线与作从Ws的的点夹功MF角为1移s) 动
启示： 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
a
(a
b
b )
b
c
a
;
a
c
b
c
;
验证：
(a
b)c
|
c
|
(a
b
)
c
|
c
|
(
(a
)
c
(
b
)c
)
|
c
|
(a
)
c
|
c
|
(b
)
c
a c b c
（3）若 若
为数：
(
a
)
、 为数：(
b
a
)
a
(
(b)
b
) (
a(ba).b
),
即数量积与数的乘法满足结合律
证明：显然 当
ax ay az bx by bz
cx cy cz
所以, 混合积的其他形式：
a
(a,b , c )
(a
b)
c
a
(
b
c
)
b
c
(4)
(a,b ,c )
(b
,a,c
)
(
a ,c ,b
)
( c ,b
,a
)
对调混合积中两个相邻向量，混合积变号
例1 解
[[(([(已aaaa 知 bbbb(a))),cba((,bbcc)(acc)2)b]]c，)((c计bcc算aba0)).cc
c
六面体
底面
六面体
a
b
c
的体积 面积 的高
（2）三向量a、b 、c共面
a
b
(a ,
b,
c )
0.
ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
(3)
((轮aa,,换bb,,c对c) )称(性a(b,:bc),
(b c)
a)
c
a
(c , a , b )
a
(b
c
)
(a,b , c )
c.
ab( ab.
a ba
).
b
b
).
结论：向量积不满足消去律。
b
a
c
a
向量的乘积
向量的混合积
1 混合积的定义 2 混合积的坐标表示式 3 混合积的几何意义及
三向量共面的充要条件
1 向即设 称量已 为的(知 这a混,三 三b合,个 个c)积向 向的量 量(a定的a、 义b混)：b合c、积c，，混记数合为量积((是aa,数b,b量c))！.c
)]
((bcca)
)
c
(a
b
)
a
2(a
b
0
)
c
(
a0
c
)
a
2(a ,
b,
0 c)
4.
0
a
(
0 b
c ) a
(a b)c
例 2 已知空间内不在一平面上的四点 A( x1, y1, z1 )、 B( x2 , y2 , z2 )、C( x3 , y3 , z3 )、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体的 体积.
2 定与 (其义b中的设数为a量a与与积b为b.记的两作夹向a角量b),，即“则点a|积ab ”|| b|、a| |c“| ob内s|c积称os”为.a
b
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
| b | cos
(bBiblioteka )a,为
b在
a上
的
投
影
.
|
a
| cos
(a ) ,
b
为
a
在
b上
的
投
影
.
向量的投影与数量积的关系：
2 混合积的坐标表示式
设
a c
a xi a y j a zk ,
cxi c y j czk ,
b
bxi by j bzk ,
i (a,b ,c ) (a b)c a x
bx
(ay by
az
i
ax
bz
bx
az
j
ax
bz
bx
j k
a y az cxi c y j czk
0时，cos(a,
b)
cos(a,
b ),
同当(理a可|)0a时证b||，b：co||s((aaca(o,||bsb)b(a)|,cboc)so)(s((aaa,b,bb|),a)).||因b| |此c||o有as(|a|b, b| )cos((aa,bb) ),
向量的乘积
向量的向量积(I)
V
1 6
x2 x1 x3 x1
2 (定1)义| c向||量aa||与b |bsi的n向量(其积中为 c为 aa与 bb的夹角)
(2) c的方向既垂直于a，又垂直于b ，指向
符合右手系.
a
b
向量积也称为“叉 积”、“外积”.
b
b
a
a
b
a
关于(1 )向a量 积a的说0 明. ：( 0 sin 0 )
(2)
a //b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积的几何意义
|
a
|ab|表b示|以| aa|和| bb|为si邻n 边
的平行四边形的面积.
c
a
b
bh
a
？ 3问（（（题123）））向：反分若量若若交配积为a换律满、数律：足b：：为下(c数列a(aa：运(a(acbb算) )a律)bb：cb)(aa.bac)b(cabab)cabbc(