微积分(二)_6 向量代数与空间解析几何：向量的乘积与平面方程_

易得

3 运算律

数量积符合下列运算规律：

（1）交换律：;

a

b b a ⋅=⋅（2）分配律：();

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅

验证：()||()c

a b c c a b +⋅=+

||()||()c c

c a c b =+

||(()())c c

c a b =+ a c b c

=⋅+⋅

（3）若为数：λ

()a b λ⋅= ()a b λ⋅ (),

a b λ=⋅

若、

为数：λμ()()a b λμ⋅= ().a b λμ⋅ 即数量积与数的乘法满足结合律

证明：显然0cos(,)cos(,),当时，

a b a b λλ>= 0cos(,)cos(,),当时，a b a b λλ<=-

因此有

) )

= ()a b λ⋅=||||cos(,a b a b λλ||||||cos(,a b a b λλ||||(cos(,))a b a b λ=±± ||||cos(,)a b a b λ=

(),

a b λ=⋅ ().

a b λ=⋅ 同理可证：()a b λ⋅