高中数学竞赛定理

重 心
定义：重心是三角形三边中线的交点，
可用燕尾定理证明，十分简单。

证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB
于F 。

求证：F 为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，
S △AOB=S △AOC ，
又S △AOB=S △BOC ，
∴S △AOC=S △BOC ，
再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。

重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、三角形内到三边距离之积最大的点。

5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：
(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3
外 心
定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。

外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。

设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c )
垂 心
定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

性质：
锐角三角形垂心在三角形内部
直角三角形垂心在三角形直角顶点
钝角三角形垂心在三角形外部
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积。

1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：( 1c /c ，2c /c ，3c /c )
九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线
段的中点〕九点共圆，这个圆为九点圆 〔 或欧拉圆 或 费尔巴哈圆. ）
九点圆性质：
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 即九点圆r ：外接圆r =2：1
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切
设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积
1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c
垂心坐标：：( (3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c ，(3212c c c ++)/4c )
欧拉线
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就
叫三角形的欧拉线。

欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。

2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半。

欧拉线的证法1
如图 作△ABC 的外接圆，连结并延长BO ，交外接圆于点D 。

连结AD 、CD 、AH 、CH 、
OH 。

作中线AM ，设AM 交OH 于点G’
∵ BD 是直径
∴ ∠BAD 、∠BCD 是直角
∴ AD ⊥AB ，DC ⊥BC
∵ CH ⊥AB ，AH ⊥BC
∴ DA//CH ，DC//AH
∴ 四边形ADCH 是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M 是BC 的中点，O 是BD 的中点
∴ OM= 21DC ∴ OM= 21AH ∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴GM AG =1
2 ∴ G’是△ABC 的重心
∴ G 与G’重合
∴ O 、G 、H 三点在同一条直线上
欧拉线的证法2
如图 设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心。

连接AG 并延长交BC 于D, 则可
知D 为BC 中点。

连接OD
O 为外心
∴OD ⊥BC
连接AH 并延长交BC 于E
H 为垂心
∴ AE ⊥BC
∴OD//AE ，有∠ODA=∠EAD 。

由于G 为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG 并延长交BA 于F 则可知F 为AB 中点
同理，OF//CM
∴∠OFC=∠MCF
连接FD
FD//AC,DF:AC=1:2
∴∠DFC=∠FCA ，∠FDA=∠CAD
又∠OFC=∠MCF ，∠ODA=∠EAD
相减可得
∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC
∴△OFD∽△HCA
∴OD:HA=DF:AC=1:2
又GA:GD=2:1
∴OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD
∴△OGD∽△HGA
∴∠OGD=∠AGH
又连接AG并延长
∴∠AGH+∠DGH=180°
∴∠OGD+∠DGH=180°
即O、G、H三点共线
欧拉线的证法3
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.
则OH=OA+OB+OC
OG=（OA+OB+OC）/3，
3 ×OG=OH
∴O、G、H三点共线(注：OH, OA, OB , OC ,OG 均为向量）
费马点
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点性质：
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P 就是所求的费马点.
(3).特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点
(4)特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
证明
(1)费马点对边的张角为120度
在B CC 1∆和B AA 1∆中
BC=1BA ,BA=1BC ,1CBC ∠=∠B+︒60=1ABA ∠,
∴B CC 1∆和B AA 1∆是全等三角形
∴∠PCB=B PA 1∠
同理可得∠CBP=P CA 1∠
由B PA 1∠+P CA 1∠=︒60，得∠PCB+∠CBP=︒60,
∴∠CPB=︒120
同理,∠APB=︒120，∠APC=︒120
(2)PA+PB+PC=1AA
将△BPC 以点B 为旋转中心旋转︒60与1BDA ∆重合，连结PD ，则△PDB 为等边三角形
∴∠BPD=︒60
又∠BPA=︒120
因此A 、P 、D 三点在同一直线上
又∠CPB=DB A 1∠=︒120，∠PDB=︒60，PDA ∠=︒180
∴A 、P 、D 、1A 四点在同一直线上
故PA+PB+PC=1AA
(3)PA+PB+PC 最短
在△ABC 内任意取一点M （不与点P 重合），连结AM 、BM 、CM ，将△BMC 以点B
为旋转中心旋转︒60与1BGA ∠重合，连结AM 、GM 、G A 1(同上)，则
1AA <A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A 、B 、C 的距离最短。

梅涅劳斯定理
内容：如果一条直线与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么FB AF ×DC BD ×EA CE =1。

或 设X 、Y 、Z 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 所在直线上，则X 、Y 、Z 共线的充要条件是ZB AZ ×XC BX ×YA CY =1
证明一：
如图 过点A 作AG ∥BC 交DF 的延长线于G,
则FB AF =BD AG ,DC BD =DC
BD , EA CE =AG DC 。

三式相乘得：
FB AF ×DC BD ×EA CE =BD AG ×DC BD ×AG
DC =1
证明二：
过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则
DC BD =PF FB ，EA CE =AF PF ∴FB AF ×DC BD ×EA CE =FB AF ×PF FB ×AF
PF =1 它的逆定理也成立：若有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足
FB AF ×DC BD ×EA CE =1，则F 、D 、E 三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

证明三：
过ABC 三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
∴AD ：DB=AA'：BB'，
BE ：EC=BB'：CC'，
CF ：FA=CC'：AA'
∴
FB AF ×DC BD ×EA
CE =1
在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上分别取L 、M 、N 三点，
又分比是λ=BL/LC 、μ=CM/MA 、ν=AN/NB 。

于是L 、M 、N 三点共线的充要条件是λμν=1。

第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若E ，F ，D 三点共线，则 FCB ACF ∠∠sin sin ×DAC BAD ∠∠sin sin ×ABE
CBA ∠∠sin sin =1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O ，且EDF 共线，则
DOB AOF ∠∠sin sin ×DOC BOD ∠∠sin sin ×AOE
COA ∠∠sin sin =1。

(O 不与点A 、B 、C 重合)
塞瓦定理
内容:在△ABC 内任取一点O 直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法:
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC 被直线BOE 所截
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD 被直线COF 所截
∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 ②
②÷①:即得：
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD
=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC ③
同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④
AF/FB=S △AOC/S △BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB 、BC 、AC 的垂足分别为D 、E 、F ，
根据塞瓦定理逆定理，
∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA ）
/[(CD*ctgB ）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，
∴三条高CD 、AE 、BF 交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（重心）:
如图5 D , E分别为BC , AC 中点
∴BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
∵AF=BF
∴ AF/FB=1
∴AF=FB
∴三角形三条中线交于一点
可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。

塞瓦定理推论:
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，
则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
∵(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）
∴ (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K （K为未知参数）
又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1
∴(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点
的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证
4..还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，
∵(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*c tgC)/[(AE*ctgB)]=1，
∴三条高CD、AE、BF交于一点。

燕尾定理
燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是一个关于三角形的定理
（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的点，AD、BE、CF 交于O点）
S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD
同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：EA
证法1
下面的是第一种方法：相似三角形法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，
交AC于点E。

求证：AE=CE
证明：如图1，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
图∴PO=QO 1
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）
∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）
∴AE=CE 命题得证。

证法2
下面的是第二种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE
证明：如图2
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC = S△AOB
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
2
图
即S△AOC = S△BOC
∴S△AOB = S△BOC
∵S△AOE:S△AOB=OE:OB,S△COE:S△BOC=OE:OB
∴S△AOE:S△AOB= S△COE:S△BOC
∵S△AOB = S△BOC
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE 命题得证。

证法3
下面的是第三种方法：中位线法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

求证：AE=CE
证明：如图2，延长OE到点G，使OG=OB
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE 命题得证。

证法四：
因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证
托勒密定理
定理的内容：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
证明
一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
∵△ABE∽△ACD
∴ BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE
∴△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又∵BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
∴命题得证
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d) 。

首先注意到复数恒等式：(a− b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；
∵∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

因此△ABK与△DBC相似
同理也有△ABD ~ △KBC
因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD
因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA
两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA
但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。

证毕
三、已知：圆内接四边形ABCD
求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC
证明：如图，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4
∴△ACD∽△BCP
∴AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，
∴△ACB∽△DCP
∴AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②
①＋②得AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC
即AC·BD=AB·CD＋AD·BC
推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

西姆松定理
西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）。

西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

性质：
（1）称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

证明一：
△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，
于是∠FDP=∠ACP ①
∵都是∠ABP的补角且∠PDE=∠PCE ②
而∠ACP+∠PCE=180°③
∴∠FDP+∠PDE=180°④
即F、D、E共线.
反之
当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二：
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，
有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，
有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。

因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，
有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，
有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。

相关性质的证明
连AH延长线交圆于G,
连PG交西姆松线与R,BC于Q
如图连其他相关线段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2
A.G.C.P共圆==>∠2=∠3
PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4==>∠1=∠4
PF⊥BC==>PR=RQ
BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6
A.B.G.C共圆==>∠6=∠7==>∠5=∠7
AG⊥BC==>BC垂直平分GH==>∠8=∠2=∠4
∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10 ==>HQ//DF ==>PM=MH。